专题07 复数（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

专题07 复数 题型1 复数的分类 题型6 复数的模（重点） 题型2 复数的四则运算（重点） 题型7 复数的轨迹问题 题型3 复数的乘方运算 题型8 复数方程 题型4 复数与点坐标（重点） 题型9 复数的三角形式 题型5 复数的相等（重点） 题型10 复数多选题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 复数的分类 1．已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 2．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 3．复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 4．写出虚部为的纯虚数为__________. 5．已知，A为的一内角，若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围． 题型2 复数的四则运算 6．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 7．设为虚数单位，若，则（   ） A．0 B．4 C． D． 8．若复数，则（   ） A． B． C． D． 9．计算___________． 10．复数，则的虚部是_____． 11．设复数，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 题型3 复数的乘方运算 12．复数的虚部为（     ） A．4 B． C．3 D． 13．______. 14．若，则（     ） A． B． C． D． 15．（    ） A．1 B． C． D．2 16．已知，则复数的虚部是______． 题型4 复数与点坐标 17．设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（多选）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 19．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 20．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 题型5 复数的相等 22．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 23．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 24．已知，则______. 25．已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 26．设实数，，满足，则的最大值为_________． 27．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________. 题型6 复数的模 28．___________. 29．已知，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 30．若，则（    ） A． B． C． D． 31．已知复数，则______ 32．已知是共轭复数，若是纯虚数，则______． 33．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 题型7 复数的轨迹问题 34．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 35．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 36．已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 37．若复数满足，则的取值范围是___________． 38．在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 题型8 复数方程 39．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 40．已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 41．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 42．已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 43．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 题型9 复数的三角形式 44．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 45．任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 46．任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 47．（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 48．计算：. 题型10 复数多选题 49．（多选）已知复数，，下列选项正确的是（     ） A．对应复平面内的点为 B．若，则对应的点构成的集合围成的图形面积为 C．若，则， D．是方程的一个根，则 50．（多选）已知复数，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则． B．在复平面内对应的点为，且满足，则． C．若，则． D．若，则． 51．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 52．（多选）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（多选）已知复数，满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 54．（多选）设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 $专题07 复数 题型1 复数的分类 题型6 复数的模（重点） 题型2 复数的四则运算（重点） 题型7 复数的轨迹问题 题型3 复数的乘方运算 题型8 复数方程 题型4 复数与点坐标（重点） 题型9 复数的三角形式 题型5 复数的相等（重点） 题型10 复数多选题（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 复数的分类 1．已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：为正实数，虚部为0，不符合纯虚数定义，排除； 选项B：，实部为0，虚部不为，是纯虚数，符合要求； 选项C：复数的实部为， 当时（如时，），实部不为0，不是纯虚数，排除； 选项D：的实部为，属于虚数但不是纯虚数，排除. 2．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 3．复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________. 【答案】 【详解】由复数为实数，则，得. 4．写出虚部为的纯虚数为__________. 【答案】 【详解】复数的一般形式为，虚部为的纯虚数中，，因此答案为. 5．已知，A为的一内角，若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围． 【答案】 【详解】令，则，，其中， ∵当时，， ∴的值域为， ∴当时，恒成立，即当时， 不论A为何值，恒成立，z总是虚数． 题型2 复数的四则运算 6．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则. 7．设为虚数单位，若，则（   ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】，所以，所以. 8．若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 所以． 9．计算___________． 【答案】 【详解】. 10．复数，则的虚部是_____． 【答案】/ 【详解】先化简：，. 所以，共轭复数. 的虚部为. 11．设复数，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】设，则， 设，则， ， ， 因为， 所以. 题型3 复数的乘方运算 12．复数的虚部为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】，虚部为． 13．______. 【答案】1 【详解】. 14．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 15．（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由，则， 所以． 16．已知，则复数的虚部是______． 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以，所以， 所以，即复数的虚部是． 题型4 复数与点坐标 17．设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为，在复平面上对应的点为，位于第一象限，故A正确. 18．（多选）已知复平面内表示复数的点在虚轴上，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】复平面内的点在虚轴上，则实部为，即， 化简得，解得或或. 19．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 【答案】－2＋i 【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为. 20．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数表示的点在第四象限，且，且，解得. 21．在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或； （2）由复数对应的点在第二象限，则，即，则； （3）由复数对应的点在的图象上，则，即，则. 题型5 复数的相等 22．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 23．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 24．已知，则______. 【答案】3 【详解】因为， 则，解得. 故答案为：3. 25．已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 26．设实数，，满足，则的最大值为_________． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 27．若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为____________. 【答案】 【详解】令， 所以，可得 ，其虚部为. 故答案为： 题型6 复数的模 28．___________. 【答案】 【详解】， 所以. 29．已知，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】依题意有，，所以． 30．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则． 31．已知复数，则______ 【答案】 【详解】因为，，，，，， 所以周期为4，则，， 所以. 故. 32．已知是共轭复数，若是纯虚数，则______． 【答案】 【详解】由题意设， ，即，解得， 若是纯虚数，即是纯虚数，得 则 33．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 题型7 复数的轨迹问题 34．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 35．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 36．已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】D 【详解】由，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 则集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由，若，，不合题意； 若，则，即， 此时，即，不合题意； 故，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 即集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由集合中有且仅有一个元素，则两圆相切， 若两圆相内切，则有，解得（负值舍去）； 若两圆相外切，则有，解得； 故的所有取值之积为. 37．若复数满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】在复平面内，设对应的点为，由， 得的集合是以为圆心，以4为半径的圆，是点到点的距离， 因为，所以， 即的取值范围是． 38．在复平面内，若复数满足，则复数对应的点所形成的图形是______． 【答案】 过原点且斜率为的直线 【详解】设，则复数在复平面内对应的点为， 根据复数模的计算公式，由可得： ， 将等式两边同时平方消去根号： ， 展开左右两侧并化简： ，消去两侧相同项后整理得， 该方程对应过原点、斜率为的直线，即复数对应的点所形成的图形为过原点且斜率为的直线. 题型8 复数方程 39．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 40．已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为________． 【答案】 8 【详解】因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以，解得， 根据实系数一元二次方程虚根的共轭性质，方程的另一个根为的共轭复数， 由韦达定理，又，且，所以. 41．已知是虚数单位是关于的方程（其中）的一个根，则=__________. 【答案】 【详解】由题目可得另一个根为，原式可化为， 则，故. 42．已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 【答案】或或 【详解】设，那么，得到. 由此可知. 若，.因为，所以，解得. 又因为，所以. 若，.因为，所以或.那么或. 综上所述或. 43．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1） 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. （2）当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 题型9 复数的三角形式 44．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 45．任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 46．任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C 47．（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 48．计算：. 【答案】 【详解】 . 题型10 复数多选题 49．（多选）已知复数，，下列选项正确的是（     ） A．对应复平面内的点为 B．若，则对应的点构成的集合围成的图形面积为 C．若，则， D．是方程的一个根，则 【答案】ACD 【详解】复数，对应复平面内的点为，故A正确； 若，则对应的点构成的集合是以原点为圆心，半径为的圆上， 则围成的图形面积为，故B错误； ，又， ，解得，，故C正确； 是方程的一个根，则是方程的另一个根， ，解得，故D正确． 50．（多选）已知复数，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则． B．在复平面内对应的点为，且满足，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】ACD 【详解】对于选项A，取，，则，但不全为0，故A错误. 对于选项B，先化简，在复平面对应点为，模长，条件，点的轨迹是以为圆心，以1和2为半径的圆环，故的最大值是，最小值是，所以可得，故B正确. 对于选项C.复数不能比较大小，仅实数可比较，故仅能说明为正实数，不能保证为实数，若不为实数，则无意义，故该命题错误. 对于选项D.，若，等式成立，不满足，故D错误. 51．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 52．（多选）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设，由， 所以，， 所以，故A正确； 由，，所以不一定成立，故B错误； 由，，所以，故C正确； 由，， 所以不一定成立，故D错误. 53．（多选）已知复数，满足，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设，则，所以，则与不一定相等，A错误； 因为，，所以，B正确； ，C正确； ，所以，D正确. 54．（多选）设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，， 而，因此，B正确； 对于C，，由，得，C错误； 对于D，由，即， 得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确. $