8.1 同底数幂的乘法 课件 2025--2026学年冀教版七年级数学下册

该初中数学课件围绕“同底数幂的乘法”展开，从乘方定义及实例（如10⁸、2³）入手，通过“10⁹×10²等于多少”的问题引导探索，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解法则形成过程。 其亮点在于结合“天河二号”运算、天问一号飞行等实际问题，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过活动探究（观察算式发现底数不变指数相加）培养推理意识与运算能力，体现数学思维。小结系统总结法则、逆用及推广，助学生用数学语言表达规律，学生能提升应用能力，教师可高效开展教学。

8.1 同底数幂的乘法 素养目标 1. 理解并掌握同底数幂的乘法法则； 2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关运算. 重点 2 108 知识回顾 =10×10×10×……×10 =10×10 8个10 求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方. 底数 指数 乘方 幂 ≈ n a 探 索 108×102等于多少呢？ 108×102 =10×10×10×……×10 8个10 ×10×10 2个10 =1010 =108+2 即108×102=108+2 an n个a 底数 指数 幂 (乘方的结果) an = a × a × … × a (n个a相乘) 23表示的意义是什么？其中2和3分别表示什么？ 表示3个2相乘，2为底数，3为指数 活动一 探究同底数幂的乘法法则 1.请你试着用幂表示下列各式的结果： 27 220 a5 (1) 23×24 =________； (2) 210×210=________； (3) _______； (4) a3·a2= ________； 通过上面的计算，关于两个同底数幂及其相乘的结果，你发现了什么？ 2.结果中幂的指数等于等号左边式子中幂的指数之和 1.结果的底数与原来两个幂的底数相同 2.若m，n是正整数，根据你发现的规律，用幂的形式表示am·an 的结果为 . amn am · an = am+n (m，n是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂的乘法法则 一般地，对于正整数m，n，有 结果：①底数不变；② 指数相加. 前提：①相乘；② 底数相同. 同底数幂乘法法则的逆用 反过来，am+n = · . am+n = am· an (m，n 都是正整数). am an 探究新知 (1) 23×24 =________； (2) 210×210=________； (3) _______； (4) a3·a2= ________； 回顾乘方的意义：23 = ( )， 24 = ( ). 2×2×2 2×2×2×2 请你试着用幂表示下列各式的结果： 27 220 24×23 =( )； 2×2×2×2×2×2×2 = 27 a5 探究新知 通过上面的计算，关于两个同底数幂相乘的结果，你有什么发现？ 2.结果中幂的指数等于等号左边式子中幂的指数之和 1.结果的底数与原来两个幂的底数相同 (1) 23×24 =________； (2) 210×210=________； (3) _______； (4) a3·a2= ________； 27 220 a5 探究新知 【思考】若m，n是正整数，根据你发现的规律，用幂的形式表示am·an 的结果. am·an 个 a · ( a · a · … · a ) 个 a = a · a · … · a 个 a = a( ). m n m + n m + n = ( a · a · … · a ) 一般地，对于正整数m，n，有 探究新知 22×24＝ （2×2）×（2×2×2×2） ＝2×2×2×2×2×2 ＝26. 2个2 4个2 （2＋4）个2 a2×a4＝ （a·a）·（a·a·a·a） ＝a·a·a·a·a·a ＝a6. 2个a 4个a （2＋4）个a a2·am＝ （a·a）·（a·a·····a） ＝a·a·a·····a ＝a2+m. 2个a m个a （2＋m）个a 通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？ 22×24＝____________; a2·a4＝____________; a2·am＝____________（m是正整数）; 做一做 底数不变，指数相加. am·an ＝ am+n. am·an＝ （ a·a·····a ）·（a·a·····a） ＝a·a·a·····a （m，n都是正整数）. 证明： m个a （m＋n）个a n个a ＝am+n am+n ←乘方的意义 ←乘法结合律 ←乘方的意义 我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即 归纳总结 同底数幂乘法运算法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 结果：① 底数不变 ② 指数相加 条件：① 乘法 ② 底数相同 am · an = am+n (m，n 都是正整数). 13 1.把下列各式表示成幂的形式： (1) 26×23； (2) a2·a4； (3) xm·xm+1(m是正整数)； (4) a·a2·a3. (1) 26×23 =26+3 =29 . (2) a2·a4 = a2+4 =a6 . (3) xm·xm+1 = xm+(m+1) = x2m+1. 解： (4) a·a2·a3=a1·a2·a3=a6. 1.当三个或三个以上的同底数幂相乘时，幂的运算性质仍然适用，即 am· an· ap = am+n+p （m，n，p都是正整数) 2.不要漏掉单独字母的指数1. 小贴士 当底数互为相反数的幂相乘时，如何把它们表示成幂的形式呢？ 2.变式训练：用幂的形式表示(-a)·(-a)2·(-a)3. 解： (-a)·(-a)2·(-a)3= (-a)1· (-a)2· (-a)3= (-a)6=a6. 同底数幂相乘，首先确定符号，负因数出现奇数个就取负号，出现偶数个就取正号，然后按照同底数幂的乘法法则进行计算． 小贴士 我国国防科技大学成功研制的“天河二号”超级计算机以每秒33.86千万亿（3.386×1016）次运算.问：它工作103s可进行多少次运算？ （1）怎样列式？ 3.386×1016 ×103 我们观察可以发现，1016 和103这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式. （2）观察这个算式，两个乘数1016与103有何特点？ 所以我们把1016 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法. 归纳总结 公式 am · an = am+n 中的底数 a 不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子. 当底数为互为相反数的幂相乘时，可先把底数统一，再进行计算． (n 为偶数) (n 为奇数) 18 探究新知 天问一号行驶的路程为(3×104)×(2×107) = 6×1011m. 已知天问一号的速度约为3×104m/s，经过约2×107s后，于2021年2月10日成功进入环火轨道，期间大约飞行了[(3×104)×(2×107)]m. 那么怎么计算(3×104)×(2×107)呢？ 探究新知 同底数幂乘法法则的逆用 【思考】am+n 可以写成哪两个因式的积？ am+n = am · an. am+n = ___ · an (m，n 都是正整数). am 同底数幂乘法运算法则： am · an = am+n (m，n 都是正整数). 把下列各式表示成幂的形式： (1)(x－y )3·(y－x )5； (2)(a－b)3·(b－a)4. 提示：先将不是同底数的幂转化为同底数的幂，再运用法则计算． 解： ＝－(x－y )8. ＝－(x－y )3＋5 ＝(x－y )3·[－(x－y )5] (1)(x－y)3·(y－x )5 ＝(a－b)7. ＝(a－b)3＋4 ＝(a－b)3·(a－b)4 (2)(a－b)3·(b－a)4 试一试 将(x－y )3·(x－y )2·(y－x )表示成幂的形式. (x－y )3·(x－y )2·(y－x )＝(x－y )3·(x－y )2·[－(x－y )]＝－(x－y )3＋2＋1＝－(x－y )6. 活动二 探究底数互为相反数的幂 同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用，并且底数不变，指数相加.公式 am · an = am+n 中的底数 a 不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子. 底数互为相反数的幂相乘时，可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂，再按法则计算，统一底数时尽可能地改变偶次幂的底数，这样可以减少符号的变化． (n 为偶数) (n 为奇数) 22 同底数幂相乘 一 （1）103表示的意义是什么？ 其中10，3，103分别叫什么？ =10×10×10 3个10相乘 103 底数 幂 指数 ( 2 )10×10×10×10×10可以写成什么形式? 10×10×10×10×10=105 忆一忆 1016×103=？ =(10×10×…×10) （16个10） ×(10×10×10) (3个10) =10×10×…×10 (19个10) =1019 =1016+3 (乘方的意义) (乘法的结合律) (乘方的意义) 议一议 探究新知 【拓展】当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ m个a n个a (mnp)个a p个a am· an· a p = a m + n + p (m、n、p 都是正整数) 同底数幂乘法运算法则： am · an = am+n (m，n 都是正整数). 当三个或三个以上同底数幂相乘时，幂的运算性质仍然适用. 练一练 太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为2×104s，光的速度约为3×105km/s.求太阳系的直径. 解：2×3×105×2×104 = 12×109(km). 答：太阳系的直径为12×109km. 例1：把下列各式表示成幂的形式： (1) 26×23； (2) a2·a4； (3) xm·xm+1； 例题示范 太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为2×104 s，光的速度约为3×105 km/s.求太阳系的直径. 解：2×3×105×2×104 = 12×109(km). 答：太阳系的直径为12×109 km. 当含有a×10n的式子相乘时，常把10n看作底数相同的幂参与运算，而把其他部分看作常数参与运算，然后把两者再相乘. 活动三 同底数幂乘法法则的实际应用 小结 am· an· a p = a m + n + p (m、n、p 都是正整数) am+n = am · an (m，n 都是正整数). 同底数幂乘法运算法则： 同底数幂乘法法则的逆用 三个及以上的同底数幂乘法 am · an = am+n (m，n 都是正整数). 课堂小结 同底数幂的乘法 法则 am·an=am+n (m,n都是正整数） 注意 同底数幂相乘，底数不变，指数 相加 am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数） 直接应用法则 常见变形：(－a)2=a2, (－a)3=－a3 底数相同时 底数不相同时 先变成同底数, 再应用法则 $