精品解析：安徽黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测数学试题

屯溪一中2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】根据导数的定义得到. 2. 函数y=xsin2x的导数是 A. y′=sin2x﹣xcos2x B. y′=sin2x﹣2xcos2x C. y′=sin2x+xcos2x D. y′=sin2x+2xcos2x 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：运用导数的乘法法则展开，然后对sin2x进行简单的复合函数求导运算． 解：由y=xsin2x， 则y′=（xsin2x）′=x′sin2x+x（sin2x）′=sin2x+xcos2x•（2x）′=sin2x+2xcos2x． 故选D． 点评：本题考查了导数的乘法与除法法则，考查了简单的复合函数求导运算，此题虽是基础题题型，但求解时极易忽略对复合函数sin2x的内层求导．是易错题． 3. 某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 188种 D. 156种 【答案】B 【解析】 【分析】分别分析甲在第一位、第二位和第三位三种情况，结合捆绑法，分析计算，即可得答案. 【详解】甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的3个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有（种）方案． 故选：B． 4. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率加法公式求出同时患感冒和患鼻炎的概率，再由条件概率公式计算即可得解. 【详解】设某人在春季里鼻炎发作为事件A，某人在春季里感冒发作为事件B， 则， 则, 由概率加法公式知， 可得 则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为：. 故选：B 5. 已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】令函数，则，， 函数在R上单调递增，不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 6. 《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理证明除17余数为即可得. 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数​，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小. 【详解】由题意设函数​， 则，，， 又因为（）， 令，得， 所以当​时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，,故B不正确； 对于C,，故C正确; 对于D，,故D正确； 故选：CD 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确. 【详解】由题意得：，， 故，A正确； ，，D错误； ，， 故，B错误； ，C正确. 故选：AC 11. 已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D． 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即，， 所以， 所以，， 所以，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】解：由题，则，解得. 13. 已知集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为_________． 【答案】130 【解析】 【分析】 由题意可得只能取0或1，且5个数值中有2个0,3个0和4个0三种情况，用组合数分别计算其值相加即可. 【详解】解：由题意可得只能取0或1， 因为，所以5个数值中有2个0,3个0和4个0三种情况： （1）有2个0：另外三个从-1,1中取共有 （2）有3个0：另外2个从-1,1中取共有 （3）有4个0：另外1个从-1,1中取共有 所以总共有 故答案为：130 【点睛】组合问题常有以下两类题型变化： （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； （2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 14. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使函数的值域是； ②存在实数a，使得有最小值； ③对任意实数a，至少存在两个零点； ④存在，有，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合指数函数的性质即可判断①；根据时，根据二次函数的性质，结合函数性质即可判断②，根据即可判断③，构造，利用导数求解函数的单调性即可判断④. 【详解】当时，当时，为开口向上的二次函数，， 故此时的值域为的子集， 而时，，且当时，，故此时值域不可能为， 当时，当时， 为开口向下的二次函数，， 故此时的值域为的子集，而时，，故此时值域不可能为， 当时，值域为，不为， 因此值域不可能为，故①错误； 当时，当时，为开口向上的二次函数，， 故此时，当时，， 综上可得时，，故②正确， 当时，当时，，此时在单调递减，此时只有一个零点， 当时，，此时无零点， 故当时，只有一个零点，故③错误， 当时，，若，则，所以， 令（），则， 故在上单调递增，故， 故当时，此时在上有实数根，因此存在，使得，④正确， 故答案为：②④ 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间既有最大值又有最小值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，得到，得出切线的斜率为，进而求得切线的方程； （2）由（1）知，求得函数的单调性和极值，由，求得，结合和，即可求得实数a的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意，函数，可得， 则，切线的斜率为， 所以函数在点处的切线方程，即. 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，即，解得或， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值， 又由，解得， 经验证：若时，此时区间为，此时，可得， 此时函数在处取得最小值； 当时，此时区间为，此时，此时， 此时函数在处取得最大值， 所以函数在区间既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围. 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）采用赋值法，取 ，直接整体代入多项式一次性算出代数式的值； （2）求二项展开式的通项，进而求出的通项，把问题转化为求中所有系数和，再利用赋值法，取，即可求解； （3）令 ，求导，再利用赋值法求解． 【小问1详解】 取，得 ； 取 ，可得 ． 【小问2详解】 二项展开式通项：，， 即为中所有系数和， 取，则． 【小问3详解】 令 ， 则 ， 取，可得， 又， l． 17. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1,现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点. （1）若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率； （2）为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：. 【答案】（1）0.82 （2）7 【解析】 【分析】（1）记“节点收到信号1”，“节点收到信号”，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，节点收到信号1的概率，则，求得，结合对数的运算，即可求解. 【小问1详解】 解：记“节点收到信号1”，“节点收到信号”， 则， 且. ， 所以节点2收到信号1的概率为. 【小问2详解】 解：不妨计算信号源发出信号1，求节点收到信号1的概率： 记，则， 则， 即， 构造得，又， 所以， 即节点收到信号1的概率为. 由，得， 两边取以10为底的对数，， 所以，即的最大值为7. 18. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，函数有两个不同的零点，求证：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，根据导数与单调性的关系求解即可. （2）根据题意及函数的单调性得到，通过构造函数，求导，结合单调性证明即可. 【小问1详解】 函数，定义域为，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 证明：由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由题知，， 不妨设，则， 设，， 则. 当时，，. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 故，即， 所以，所以单调递减，， 所以，即. 因为，所以，又，， 所以，即. 19. 已知函数 （1）若函数区间上存在极值点，求实数的取值范围； （2）当时，不等式，恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：（，为自然对数的底数，……）． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由函数定义域为，，得到在上单调递增，在上单调递减，得到为的极值点，再由区间上存在极值点得到关于的不等式组，求得的取值范围即可； （2）把转化为，令，进而转化为，利用导数求得即可； （3）由（2）得，即，令，得，令，得到个式子，对这个式子进行累加后，根据对数的运算性质即阶层的定义即可得到结论. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以为的唯一极值点. 因为，函数区间上存在极值点， 所以应满足，解得：， 故所求实数的取值范围为. （2）当时，不等式化为：，即. 令，由题意，在恒成立, 所以只需. ， 令，则，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，所以 因此， 在上单调递增， 因此，，即实数的取值范围为； （3）由（2）知，当时，不等式在上恒成立， 即，整理得： 令，则有 分别令，则有 ，…， 将这n个不等式左右两边分别相加，得 故， 所以 从而，从而得证. 【点睛】本题主要考查根据函数的极值求参数的取值范围，恒成立问题，不等式的证明，综合性比较强，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 屯溪一中2025～2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 9 D. 3 2. 函数y=xsin2x的导数是 A. y′=sin2x﹣xcos2x B. y′=sin2x﹣2xcos2x C. y′=sin2x+xcos2x D. y′=sin2x+2xcos2x 3. 某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 188种 D. 156种 4. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，则此人在患鼻炎的条件下患感冒的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为R，是的导函数，，对任意的x都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为_________． 14. 已知函数.给出下列四个结论： ①存在实数a，使函数的值域是； ②存在实数a，使得有最小值； ③对任意实数a，至少存在两个零点； ④存在，有，使得； 其中所有正确结论的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求函数在点处的切线方程； （2）若函数在区间既有最大值又有最小值，求a的取值范围. 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 17. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于技术原因，每次传输信号的准确率为，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1,现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点. （1）若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率； （2）为确保信号传输的有效性，要求节点收到信号的准确率不低于，求的最大值.参考数据：. 18. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）当时，函数有两个不同的零点，求证：. 19. 已知函数 （1）若函数区间上存在极值点，求实数的取值范围； （2）当时，不等式，恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：（，为自然对数的底数，……）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $