精品解析：安徽六安市独山中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

独山中学2025-2026年第二学期高二数学期中考试卷 一、单选题 1. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 2. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 4. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则， 所以. 故选：A 6. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围． 【详解】函数，， 若在递增，则在恒成立， 可得,解得， 故选：D 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 8. 同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案. 【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片, 故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法, 所以共有种分配方式. 故选：B. 二、多选题 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为， 因为，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以， 所以和均为的最大值，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 13. 已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 14. 已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由二项式系数之和的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故答案为： 四、解答题 15. 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： （1）共有多少种不同的取法？ （2）如果不取红球，共有多少种不同的取法？ （3）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 【答案】（1）56 （2）21 （3）35 【解析】 【分析】（1）根据组合的定义直接解题； （2）从红球中运用组合定义解题； （3）红球必选1个，再从白球中选择4个，运用组合定义解题. 【小问1详解】 解：因为共有8个球， 所以共有不同的取法种数为； 【小问2详解】 因为不取红球， 所以只要在7个白球中取5个球即可， 因此共有不同的取法种数为； 【小问3详解】 因为必须取红球， 所以只需在7个白球中再取4个球即可， 因此共有不同的取法种数为． 16. 设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前n项和，且，，求数列的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，利用等差数列前项和公式求出和公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】不妨设数列的公差为，且， 则由可得， ①， 由可得， ②， 联立①②可得，，， 从而. 17. 已知在R上是减函数，求a的取值范围. 【答案】. 【解析】 【分析】在R上单调递减对恒成立，即恒成立，则从而可求出a的取值范围， 【详解】函数的导数. 等价于对恒成立.即， 即得 综上，所求a的取值范围是. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【小问1详解】 因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. 【小问2详解】 由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 19. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山中学2025-2026年第二学期高二数学期中考试卷 一、单选题 1. 记为等差数列的前n项和.若则（ ） A. B. C. D. 2. 已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 6. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、多选题 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 三、填空题 12. 若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 13. 已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 14. 已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则__________. 四、解答题 15. 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： （1）共有多少种不同的取法？ （2）如果不取红球，共有多少种不同的取法？ （3）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 16. 设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前n项和，且，，求数列的通项公式． 17. 已知在R上是减函数，求a的取值范围. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $