2025-2026学年苏科版八年级数学下册期末测试卷（6-11章）

**基本信息** 以道路抢修车、中国结等真实情境为载体，分层考查分式、四边形等核心知识，融合推理运算与创新应用，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|分式运算、二次根式意义、中点四边形|第4题密码因式分解解码，渗透应用意识| |填空题|8/16|统计样本容量、菱形周长最值、分形规律|第15题谢尔宾斯基三角形，考查空间观念| |解答题|11/68|分式化简求值、四边形证明、方案设计|第21题中国结编制，融合文化传承与模型意识|

2026学年八年级数学下册期末测试卷（6-11章） 一、选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．已知，则整式应该是（    ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则实数应满足的条件是（） A． B．且 C． D．且 3．分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 4．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 5．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 6．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 7．我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．某学校为了了解七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共500名学生中，每班随机抽取了6名进行分析，在这个问题中样本容量是________． 10．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 11．定义新运算：对于正实数a，b，定义．若，则__________． 12．平行四边形的对角线，相交于点．若，，，则的周长为___________． 13．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 14．阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即：．人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：_____． 15．谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____________． 16．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 三、解答题（11小题，共68分） 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 19．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 20．如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 21．在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． (1)若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ (2)若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 22．为响应国家政策要求，保证学生睡眠时长，某校从八年级随机抽取部分学生，统计其某天睡眠时长（单位：小时），部分信息如下： 信息1：得到如下表格： 等级 睡眠时长 频数 频率 严重不足 20 不充足 140 0.35 基本充足 c 充足 80 0.2 信息2：通过对睡眠不足或严重不足学生的进一步调查，得到各种因素的如下统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：___________，___________； (2)信息2的统计图中的___________； (3)根据睡眠不足的原因调查，请你对家庭教育和学校管理两个方面提出合理建议． 23．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 24．我们知道，和这样的式子可以运用完全平方公式进行因式分解．有些多项式不是完全平方式，我们可以用配方法将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：①分解因式：； 解：原式 ； ②求代数式的最小值． 解：原式， ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)当x为何值时，有最小值？最小值为多少？ (3)求证：无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 25．阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 26．【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 27．【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 参考答案 一、选择题 1．A 解：∵ ∴. 2．D 解：∵在实数范围内有意义， ∴需同时满足二次根式和分式有意义的条件，可得， 解不等式得， 解不等式得， ∴应满足的条件是且． 3．D 解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 4．B 解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 5．C 解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 6.C 解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 7．D 解：∵设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，则一名工人每小时修复速度为公里．依题意得： ． 8．D 解：过点Q作，交于点M， 点Q的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点P的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点H的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得． 二、填空题 9．60 解：由题意得，共抽取了名学生，则样本容量为． 10．()() 解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 11． 解：∵，， ∴， ∴， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 12． 解：∵平行四边形的对角线，相交于点， ∴，， ∵， ∴的周长为． 13． 解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 14． 解：， ， ， ． 故答案为：． 15． 解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ， ∴第5次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为． 16．或 解：设时间为， ∵点从点出发沿方向以的速度匀速运动，点从点出发沿方向以的速度匀速运动， ∴，， ∵当点运动到点时，点、点同时停止运动，， ∴，即， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 分类讨论： ①在线段上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图，在线段的延长线上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为或． 三、解答题 17．解： ． ， ， 原式． 18．（1）解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； （2）解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 19．（1）解： （2）解： 20．（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③； 解法二，选的条件为②，③，结论为①． （2）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 解法二，选的条件为②，③，结论为①， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 21．（1）解：设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人， 根据题意，可列，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴编制B种中国结的有（人）， 答：应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结； （2）解：设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结， 老师的编制速度为A种每人每小时2个，B种每人每小时4个， A种任务：，整理得，解得， 即16位同学参与A种任务，剩余位同学参与B种任务； B种任务：n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个， 则，整理得，解得， 答：至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务． 22．（1）解：调查人数为， ∴； ； （2）解：生活环境的占比为：， ∴ ∴； （3）解：家庭教育方面：1、控制孩子使用电子产品的时间，睡前避免接触手机、平板等设备；2、营造安静、舒适的睡眠环境，督促孩子养成规律的作息习惯； 学校管理方面：1、合理控制作业量，减轻学生学业负担，避免占用过多休息时间；2、开展睡眠健康主题教育，引导学生认识充足睡眠的重要性． 23．（1）解：， ∴①的一个有理化因式是； ②的一个有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式 ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴． 24．（1）解： ； （2）解： ∵ ∴ 当时，代数式取最小值； （3）解： ∵， ∴ ∴无论x，y取任何实数，代数式的值恒为正数． 25．（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 26．（1）解：，． 证明：连接并延长，交的延长线于点G， ∵， ∴，， ∵就是梯形的中位线， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． （2）解：梯形的面积为，高为， ∴ ∴ 则梯形的中位线． 27．（1）解：如图， 四边形是矩形，， ∵， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， 连接，连接，交于O， 点M、N分别是、的中点， ， 当时，最小，从而最小， 四边形是菱形， ，，， ， ， 由， ， ， ； （3）解：如图2， 取的中点T，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形， ，，， ，为的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， 是矩形，， ，， 米， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 作于V， 则最小值是的值， 米， 米， 米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 学科网（北京）股份有限公司 $