期末提优特训4《特殊的平行四边形》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“定义-性质-判定”逻辑链为核心，通过对比记忆、模型归纳（折叠/动点）和分层训练，系统突破特殊平行四边形高频考点，提升几何直观与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点突破|3道经典例题+选择/填空基础题|性质对比表、判定路径图|从概念辨析到简单计算，构建基础认知链| |模型应用|折叠/动点中档解答题|折叠勾股方程、最值对称转化|以全等/勾股为工具，实现性质到模型的迁移| |综合提优|压轴证明/探究题|分类讨论+几何变换|整合中点四边形/折叠等模型，培养综合推理能力|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训4 《特殊的平行四边形》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.熟记矩形、菱形、正方形定义、性质、判定定理，区分三者与普通平行四边形性质差异；熟练利用对角线、边角关系进行线段、角度、面积计算，掌握面积两类公式（底乘高/对角线乘积一半）；掌握折叠、中点四边形、简单动点三类必考模型的解题方法。 2.经历 “ 性质识记 → 判定辨析 → 真题演练 → 模型归纳 ” 复习流程，学会用全等、勾股定理解决几何综合题，建立几何模型思维。 3.克服特殊四边形判定混淆易错点，养成规范几何书写步骤的习惯。 4.提升几何直观、逻辑推理、数学运算三大数学核心素养。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频期末考点（全卷占比12～18分，选择+填空+解答） 1.考点1：性质辨析（选择题必考，3分）：矩形、菱形、正方形独有性质区分（对角线相等/垂直、四角直角、四边相等），近三年各地期末选择第3～6题高频考查。 2.考点2：简单计算（填空必考，3分）：利用对角线、内角求边长、角度、面积，依托矩形斜边中线、菱形对角线平分内角出题。 3.考点3：判定补充条件（选择/填空）：已知平行四边形，添加一个条件判定矩形/菱形；已知四边形添加两个条件判定正方形。 4.考点4：基础证明（简答6分）：证明四边形为矩形、菱形，期末必考基础大题。 5.考点5：折叠综合（中档解答8分）：矩形/正方形折叠+勾股定理列方程求边长，近三年期末高频中档题。 6.考点6：动点/最值（压轴10分）：菱形、正方形边上动点线段最值、存在性问题，期末压轴必考。 （二）应试应对策略 1.性质辨析题：列表对比记忆：矩形（对角线相等、四个直角）；菱形（四边相等、对角线垂直平分对角）；正方形兼具二者全部性质，做题逐项排除。 2.判定类：牢记判定路径： （1）矩形： ① 平行四边形+一个直角； ② 平行四边形+对角线相等； ③ 三个直角的四边形 （2）菱形： ① 平行四边形+邻边相等； ② 平行四边形+对角线垂直； ③ 四边相等四边形 （3）正方形：矩形+邻边相等 / 菱形+一个直角 3.折叠题万能套路：折叠 → 全等 → 对应边相等，设未知数，Rt △ 勾股定理列方程求解。 4.最值题：菱形/正方形最值优先用垂线段最短、对称转化找最短路径。 ) 三．经典例题 例1（2023春·江苏无锡·期末）如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于O，AE⊥BD于E，∠DAE:∠BAE=2:1，求∠EAC度数。 【答案】：30° 【解析】：∵矩形ABCD，∠DAB=90°，∠DAE:∠BAE=2:1，∴∠BAE=30°，∠DAE=60° AE⊥BD，Rt△ABE中，∠ABE=60°；矩形OA=OB，△AOB为等边三角形，∠OAB=60° ∴∠EAC=∠OAB−∠BAE=60°−30°=30°。 例2（2022春·江苏泰州·期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，O是AD中点，EF⊥AD交AB、AC于E、F，求证：四边形AEDF是菱形。 证明：∵AO=OD，EF⊥AD，AD平分∠BAC，可证△AEO≌△DFO→AE∥DF、AE=DF，∴AEDF是平行四边形；又EF⊥AD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴四边形AEDF为菱形。 例3．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，求的度数。 解：∵在正方形中，，，∴，∴， 由折叠可得，∵在正方形中，， ∴． 四．强化基础 （一）选择题 1.（2023春·苏州期末）矩形独有而菱形没有的性质（ ） A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对边平行 【答案】C 【解析】：矩形对角线相等；菱形对角线垂直，其余为共有性质。 2.（2022春·徐州期末）菱形周长20，一条对角线6，则面积（ ） A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】A 【解析】：边长5，对角线一半3、4，另一条对角线8，S=×6×8=24。 3.（2024春·镇江期末）平行四边形ABCD，补充条件判定菱形（ ） A.AB=CD B.AC=BD C.AB=BC D.∠A=∠C 【答案】C 【解析】：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 4.（2025春·盐城射阳期末）矩形区别于菱形的独有性质（ ） A.对边平行 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角相等 【答案】：C 【解析】：矩形对角线相等；菱形对角线互相垂直，A、B、D是平行四边形共有性质。 5.（2025春·苏州吴江区期末）平行四边形ABCD，添加一个条件判定菱形（ ） A.AC=BD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.AB∥CD 【答案】：B 【解析】：一组邻边相等的平行四边形是菱形；A、C判定矩形。 6.（2025春·徐州铜山区期末）下列命题正确的是（ ） A.对角线垂直的四边形是菱形 B.对角线相等四边形是矩形 C.对角线垂直平分且相等是正方形 D.四边相等是正方形 【答案】：C 【解析】：A缺平分；B缺平分；D四边相等是菱形。 7．（2026•预测）如图，已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA′上时，∠1与∠2的数量关系是（　） A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．∠2﹣∠1＝90° 【答案】A 【解析】：∵将长方形纸条，分别沿着EF，GH折叠，DC恰好落在EA′上， ∴，∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°， ∴∠A′EA+∠D′GD＝180°﹣∠D′EG+180°﹣∠D′GE＝360°﹣90°＝270°， ∴，故选：A． 8．（2026•预测）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE＝4，连接BE，线段BE的垂直平分线MN恰好经过点C，则矩形的边AB的长为（　　） A．4 B．4 C．5 D．4 【答案】D 【解析】如图在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE＝4，连接CE，∴AB＝CD，AD＝BC，∠D＝90°，DE＝AE＝4，∴AD＝2AE＝8，∴BC＝AD＝8，∵MN垂直平分BE，∴CE＝BC＝8，在Rt△CDE中，由勾股定理得：，∴．故选：D． 9．（2026•预测）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP，AC．若△APB是等边三角形，则∠ACP的度数为（　　） A．75° B．60° C．30° D．15° 【答案】：C 【解析】：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°，∴∠ACB＝45°， ∵△PAB是等边三角形，∴∠PBA＝∠APB＝60°，PB＝AB，∴∠CBP＝30°，PB＝BC， ∴∠BCP=（180°﹣∠CBP）＝75°，∴∠ACP＝∠BCP﹣∠ACB＝30°．故选：C． 10．（2026•预测）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），选项①正确；若∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），选项②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD（角平分线的定义），又DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选：D． （二）填空题 11.（2022春·盐城期末）菱形内角60°，边长3，较短对角线长____ 【答案】3 【解析】：含60°内角菱形，短对角线与两边构成等边三角形。 12.（2025·淮安淮安区期末）矩形ABCD，对角线交于O，OA=3，则BD=____。 【答案】：6 【解析】：矩形对角线相等且互相平分，BD=2OA=6。 13.（2025·常州武进区期末）菱形有一个内角60°，边长5，较短对角线长____。 【答案】：5 【解析】：60°内角+邻边相等构成等边三角形，短对角线=边长。 14.（2025·扬州江都区期末）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是____。 【答案】：矩形 【解析】：菱形对角线垂直，中点四边形各边平行对角线，四个内角直角，为矩形。 15．（2026·预测）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 【答案】 【解析】过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合， ∴MN＝AM′＝，故答案为：． 16．（2026·预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 【答案】或8 【解析】如图1中，当∠DA′P＝90°时，由翻折的性质可知，∠PA′B＝∠A＝90°，BA＝BA′＝8，∴∠BA′P+∠DA′P＝180°，∴B，A′，D共线，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝15， ∴BD＝＝＝17，∴DA′＝17﹣8＝9，设AP＝PA′＝x，则PD＝15﹣x，∵PD2＝PA′2+DA′2，∴（15﹣x）2＝x2+92，解得x＝，∴PA＝．如图2中，当∠A′PD＝90°时，四边形ABA′P是正方形，此时PA＝AD＝8．综上所述，满足条件的PA 的值为或8． 17．（2026·预测）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【答案】8 【解析】如图，设交于点O．由作图可知：，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，，在中，，∴，∴．故答案为：8． 18．（2026·预测）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 【答案】15 【解析】：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB＝BC＝x，则EB＝9﹣x，AE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2＝AB2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得 x＝5，∴S菱形ABCD＝5×3＝15， 19．（2026·预测）如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 【答案】6﹣6． 【解析】如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，∵四边形DEFG是正方形，GF=6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，∴F点到AC的距离为6﹣6．故答案为：6﹣6． 20．（2026·预测）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 【答案】3﹣6 【解析】如图，根据题意可知：∵E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，∴AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，CE＝BE＝3，∴AE＝＝＝3，以A为圆心，AD为半径画弧交AE于点F，由AD＝AF，F运动轨迹为圆弧，∴线段EF长的最小值等于AE﹣AF＝3﹣6．故答案为：3﹣6． （三）解答题 21.如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F. (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长. 解：(1)，，，，四边形是平行四边形，点E在的延长线上，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形； (2)四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，，是等边三角形，，，，， ，的长是. 22.如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连结BE，EF，FB. (1)求证：BE＝BF； (2)求EF的最大值与最小值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，∴△ABD，△CBD都是边长为4的等边三角形，∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE，又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，∴△BDE≌△BCF(SAS)，∴BE＝BF (2)∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC，∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF，∴∠EBF＝∠DBC＝60°，又∵BE＝BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝BF，当动点E运动到点D或点A时，BE最大，最大值为4；当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE最小，最小值为2.∵EF＝BE，∴EF的最大值为4，最小值为2 23．如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H． (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明； (2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？ 解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD．∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°．在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形． (2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°， ∴∠FAP＝∠HDP＝45°．又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形． 24.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．[来源:学科网ZXXK] （2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3， ∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2． 25．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点； ②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E； ③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F． （1）请在图中直线标出点F并连接CF； （2）求证：四边形BCFD是平行四边形； （3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形． 解：（1）如图所示： （2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，∴AE＝EC,∵∠AED＝∠ACB＝90°,∴ED∥CB,∴AD＝DB,∴D、E为线段AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，∴EF＝ED，∴DF＝BC，∵DE∥BC，∴四边形BCFD是平行四边形； （3）当∠B＝60°时，四边形BCFD是菱形；∵∠B＝60°，∴BC＝AB，∵DB＝AB，∴DB＝CB，∵四边形BCFD是平行四边形，∴四边形BCFD是菱形． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴，在△CDF和中，， ∴，∴． （2）如图，连接，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴， 故答案为：； （3）存在，理由：连接，∵，∴， ∴，在和中，，∴， ∴，，∵，， ∴，在和中，，∴， ∴，∵，∴，∴． （4）如图，当时，∵，，∴A、E、C在一条直线上，∵，∴，，；如图，当时， 同理可证得：，∴，∴，，∴B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M，∵，，∴，∴，∴，∴，， ∴，综上所述，的长为或4． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025春·南通海门区期末）矩形对角线夹角60°，短边=5，则对角线长（ ） A.5 B.10 C.5 D.10 【答案】：B 【解析】：对角线与短边构成等边三角形，对角线=2×短边=10。 2.（2025春·泰州兴化市期末）下列能判定正方形的条件（ ） A.对角线相等的四边形 B.对角线垂直的平行四边形 C.邻边相等的矩形 D.一个直角的平行四边形 【答案】：C 【解析】：矩形+邻边相等→正方形。 3. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】如图所示，连接CE,OD∵点D的坐标是，∴，∵四边形是矩形，∴，故选：C． 4.如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】：B 【解析】：由折叠得，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴， ∴，设，则，在中，由勾股定理得，，解得，，∴.故选：B. ∴；∴的长为或，故选：C. 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】四边形是菱形，，，，， ，，在中，根据勾股定理可得： ，是菱形的高，， ，故选：． 6.边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（  ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【解析】如图所示，由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形， 边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线，则利用勾股定理可得高为：，边长为a的等边三角形的面积为：，则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：，则阴影部分的面积为：，则有，故选：C． 7．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作点关于的对称点，连接，∴，∴，当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形，点在AD上，，，，由， 得，解得：，即的最小值是；故选：B． 8．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm ∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选：C． 9．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A． 10．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝3，∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．故选：C． （二）填空题 11.（2025春·连云港东海县期末）正方形边长6，E是BC中点，P在AC上，PB+PE最小值=____。 【答案】：3 【解析】：B、D关于AC对称，连接DE，DE2=62+32=45，DE=3。 12.（2025春·淮安涟水县期末）矩形ABCD，AB=5，对角线夹角120°，则BD=____。 【答案】：10 【解析】：夹角120°，短边AB=5，对角线=2×5=10。 13.（2025春·徐州睢宁县期末）菱形面积48，一条对角线长8，则另一条对角线____。 【答案】：12 【解析】：S=d1d2，48=×8×d2→d2=12。 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是 　 　． 【答案】（5，0） 【解析】连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的坐标为（5，0），故答案为：（5，0）． 15．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC，垂足为E，且平分∠CBD，则BE的长为 　 　． 【答案】 【解析】∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，在△BEO和△BEC中，，∴△BEO≌△BEC（ASA），∴BO＝BC，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝OC，∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BAC＝30°，∴BE＝AB＝，故答案为：． 16．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为BC的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边AD上，记折痕为MN，则折痕MN的长为　 　． 【答案】2或． 【解析】设B点沿过点M的直线翻折后落在AD上的对应点为点B′，①过点M作ME⊥AD交AD于点E，N在AB上，可得四边形ABME为矩形，∴EM＝AB＝4，AE＝BM，∵M为BC中点，BC＝10，∴由折叠可得：B′M＝BM＝BC＝×10＝5，在Rt△B′EM中，由勾股定理得，B′E＝＝＝3，∴AB′＝AE﹣B′E＝5﹣3＝2，设AN＝x，则NB＝AB﹣AN＝4﹣x，在Rt△ANB′中，由勾股定理得，AN2+AB′2＝x2+22＝NB′2＝NB2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴NB＝AB﹣AN＝4﹣＝，在Rt△NBM中，由勾股定理得，MN＝ ＝＝， ②过点M作ME⊥AD交AD于点E，N在AD上，可得，四边形ABME为矩形，∴ME＝AB＝4，AE＝BM，又∵BC＝10，M为BC中点，∴由折叠得，B′M＝BM＝×BC＝×10＝5，在Rt△EMB′，由勾股定理得，B′E＝＝＝3， AB′＝AE+B′E＝5+3＝8，设AN＝A′N＝y，则EN＝AE﹣AN＝5﹣y，则NB′＝NE+B′E＝5﹣y+3＝8﹣y，在Rt△A′NB′中，∠NA′B′＝90°，由勾股定理得，NA′2+A′B′2＝y2+AB2＝y2+42＝NB′2＝（8﹣y）2，y＝3，则NE＝5﹣y＝5﹣3＝2，在Rt△NEM中，∠EMN＝90°，由勾股定理得，MN＝＝＝2，综上所述，MN＝2或，故答案为：2或． 17．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    【答案】75° 【解析】连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°． 18．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　 　． 【答案】（）n﹣1 【解析】连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．AC⊥DB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝，同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1， 故答案为（）n﹣1． 19．如图正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是____. 【答案】 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：， 即，，，．∴，，． 20．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　． 【答案】1 【解析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD， 在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD， ∴CG＝CD＝，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝， ∴FG＝＝2，∴MN＝1，故答案为：1． （三）解答题 21．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数． （2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度． 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∠1+∠2＝180°．又∵∠EFG＝55°，由对称性可知∠GEF＝∠DEF＝55°．∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝70°．∴∠2＝180°﹣∠1＝110°． （2）设DE＝xcm，则有DE＝BE＝x．∵AD＝12cm，∴AE＝（12﹣x）cm．在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2，即x2＝42+（12﹣x）2，x2＝16+144﹣24x+x2；24x＝160．解得x＝， ∴BE的长为cm． 22.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； （ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 23．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G． （1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果） （2）连接BG，若，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵点E，F是AB，AD的中点，∴AE=AB，DF=AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°， ∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，DE⊥CF；； （2）延长DE交CB的延长线于H，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵，∴； 【初步探究】证明：如图2，过点C作，交AD于H，交DE于N，∵，， ∴四边形FHCG是平行四边形，∴，∵，，∴， ∴，∴，又∵，，∴，∴； 【基本应用】如图3，过点Q作于H，则四边形ABQH中，由翻折变换的性质得，∵，，∴ ∵四边形ABCD是正方形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵点M是CD的中点，∴，在中，由勾股定理得，， ∴的长为. 24．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 解：（1）∵C的坐标为（0，4），∴OC＝4，∵OA＝2OC，∴OA＝2×4＝8，在矩形OABC中，BC＝OA＝8，∵D点坐标为（3，4），∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5； （2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则∠DCO＝∠COH＝∠DHO＝90°，∴四边形OHDC是矩形， ∴OH＝CD＝3，DH＝OC＝4，由折叠可得，DE＝BD＝5，在Rt△DHE中，HE＝＝＝3，∴OE＝OH+HE＝3+3＝6，∴E点坐标为（6，0）； （3）OE＝2CD，理由如下：如图2，设直线DF与x轴交于I点，∵B点坐标为（b，n），D点坐标为（m，n），∴CD＝m，BC＝b，∴BD＝BC﹣CD＝b﹣m，由折叠的性质可得，DE＝BD＝b﹣m，∠BDF＝∠EDF，∵BC∥x轴，∴∠EID＝∠BDF＝∠CDG，∴∠EID＝∠EDF，∴EI＝DE＝b﹣m，在△GCD和△FAI中，，∴△GCD≌△FAI（AAS），∴AI＝CD＝m， ∴AE＝EI﹣AI＝b﹣m﹣m＝b﹣2m，∴OE＝OA﹣AE＝b﹣（b﹣2m）＝2m，∴OE＝2CD． 25．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． 解：理解发现∶ （1）如图①，由定义可知，∵为四边形的分角点，＝，∴，故答案为∶； （2）分角点在四边形的对角线上，理由如下∶如图①，，，∴∴点，，共线， ∴分角点在四边形的对角线上； （3）如图1，菱形有无数个分角点，理由如下∶∵四边形是菱形，∴．∴．∴∴．即．∴点是四边形的分角点，∵为BD上任意一点，∴菱形有无数个分角点， 尝试思考： （1）如图2（2）如图3，找出点A关于BD的对称点E，作射线CE，交BD于点T，则点T就是求作的图形． 26．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训4 《特殊的平行四边形》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.熟记矩形、菱形、正方形定义、性质、判定定理，区分三者与普通平行四边形性质差异；熟练利用对角线、边角关系进行线段、角度、面积计算，掌握面积两类公式（底乘高/对角线乘积一半）；掌握折叠、中点四边形、简单动点三类必考模型的解题方法。 2.经历 “ 性质识记 → 判定辨析 → 真题演练 → 模型归纳 ” 复习流程，学会用全等、勾股定理解决几何综合题，建立几何模型思维。 3.克服特殊四边形判定混淆易错点，养成规范几何书写步骤的习惯。 4.提升几何直观、逻辑推理、数学运算三大数学核心素养。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频期末考点（全卷占比12～18分，选择+填空+解答） 1.考点1：性质辨析（选择题必考，3分）：矩形、菱形、正方形独有性质区分（对角线相等/垂直、四角直角、四边相等），近三年各地期末选择第3～6题高频考查。 2.考点2：简单计算（填空必考，3分）：利用对角线、内角求边长、角度、面积，依托矩形斜边中线、菱形对角线平分内角出题。 3.考点3：判定补充条件（选择/填空）：已知平行四边形，添加一个条件判定矩形/菱形；已知四边形添加两个条件判定正方形。 4.考点4：基础证明（简答6分）：证明四边形为矩形、菱形，期末必考基础大题。 5.考点5：折叠综合（中档解答8分）：矩形/正方形折叠+勾股定理列方程求边长，近三年期末高频中档题。 6.考点6：动点/最值（压轴10分）：菱形、正方形边上动点线段最值、存在性问题，期末压轴必考。 （二）应试应对策略 1.性质辨析题：列表对比记忆：矩形（对角线相等、四个直角）；菱形（四边相等、对角线垂直平分对角）；正方形兼具二者全部性质，做题逐项排除。 2.判定类：牢记判定路径： （1）矩形： ① 平行四边形+一个直角； ② 平行四边形+对角线相等； ③ 三个直角的四边形 （2）菱形： ① 平行四边形+邻边相等； ② 平行四边形+对角线垂直； ③ 四边相等四边形 （3）正方形：矩形+邻边相等 / 菱形+一个直角 3.折叠题万能套路：折叠 → 全等 → 对应边相等，设未知数，Rt △ 勾股定理列方程求解。 4.最值题：菱形/正方形最值优先用垂线段最短、对称转化找最短路径。 ) 三．经典例题 例1（2023春·江苏无锡·期末）如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于O，AE⊥BD于E，∠DAE:∠BAE=2:1，求∠EAC度数。 例2（2022春·江苏泰州·期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，O是AD中点，EF⊥AD交AB、AC于E、F，求证：四边形AEDF是菱形。 例3．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，求的度数。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2023春·苏州期末）矩形独有而菱形没有的性质（ ） A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对边平行 2.（2022春·徐州期末）菱形周长20，一条对角线6，则面积（ ） A.24 B.30 C.48 D.60 3.（2024春·镇江期末）平行四边形ABCD，补充条件判定菱形（ ） A.AB=CD B.AC=BD C.AB=BC D.∠A=∠C 4.（2025春·盐城射阳期末）矩形区别于菱形的独有性质（ ） A.对边平行 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角相等 5.（2025春·苏州吴江区期末）平行四边形ABCD，添加一个条件判定菱形（ ） A.AC=BD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.AB∥CD 6.（2025春·徐州铜山区期末）下列命题正确的是（ ） A.对角线垂直的四边形是菱形 B.对角线相等四边形是矩形 C.对角线垂直平分且相等是正方形 D.四边相等是正方形 7．（2026•预测）如图，已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA′上时，∠1与∠2的数量关系是（　） A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．∠2﹣∠1＝90° 8．（2026•预测）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，且AE＝4，连接BE，线段BE的垂直平分线MN恰好经过点C，则矩形的边AB的长为（　　） A．4 B．4 C．5 D．4 9．（2026•预测）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP，AC．若△APB是等边三角形，则∠ACP的度数为（　　） A．75° B．60° C．30° D．15° 10．（2026•预测）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 11.（2022春·盐城期末）菱形内角60°，边长3，较短对角线长____。 12.（2025·淮安淮安区期末）矩形ABCD，对角线交于O，OA=3，则BD=____。 13.（2025·常州武进区期末）菱形有一个内角60°，边长5，较短对角线长____。 14.（2025·扬州江都区期末）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是____。 15.（2026·预测）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 　 　． 16.（2026·预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝15，点P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点A'处，当△A'DP为直角三角形时，AP的长为　 　． 17．（2026·预测）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 18．（2026·预测）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 19．（2026·预测）如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 20．（2026·预测）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． （三）解答题 21.如图，在中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F. (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长. 22.如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝4，连结BE，EF，FB. (1)求证：BE＝BF； (2)求EF的最大值与最小值． 23．如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H． (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明； (2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？ 24.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD． 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O． （1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； （2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积． 25．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图： ①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点； ②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E； ③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F． （1）请在图中直线标出点F并连接CF； （2）求证：四边形BCFD是平行四边形； （3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025春·南通海门区期末）矩形对角线夹角60°，短边=5，则对角线长（ ） A.5 B.10 C.5 D.10 2.（2025春·泰州兴化市期末）下列能判定正方形的条件（ ） A.对角线相等的四边形 B.对角线垂直的平行四边形 C.邻边相等的矩形 D.一个直角的平行四边形 3. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 4.如图，矩形沿着直线折叠，使点C落在点处，，，则的长度为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 6.边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（  ） A．3 B．4 C．2 D．1 7．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是(   ) A．6 B． C． D． 8．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　） A． B． C． D． （二）填空题 11.（2025春·连云港东海县期末）正方形边长6，E是BC中点，P在AC上，PB+PE最小值=____。 12.（2025春·淮安涟水县期末）矩形ABCD，AB=5，对角线夹角120°，则BD=____。 13.（2025春·徐州睢宁县期末）菱形面积48，一条对角线长8，则另一条对角线____。 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是 　 　． 15．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC，垂足为E，且平分∠CBD，则BE的长为 　 　． 16．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为BC的中点，沿过点M的直线翻折，使点B落在边AD上，记折痕为MN，则折痕MN的长为　 　． 17．如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是__________.    18．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　 　． 19．如图正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是____. 20．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　． （三）解答题 21．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG＝55°，求∠1、∠2的度数． （2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C′位置，若AB＝4cm，AD＝12cm，求BE的长度． 22.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 23．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G． （1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果） （2）连接BG，若，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 24．【问题初现】 （1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为（0，4），OA＝2OC，D是BC边上的点，且D的坐标是（3，4），求线段BD的长． 【问题延伸】 （2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将△BDF沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标． 【问题拓展】 （3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为（b，n）、D点坐标为（m，n），在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当CG＝AF时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明． 25．借助平移、旋转、轴对称等操作，本学期我们研究了特殊平行四边形的性质．深入探究会发现四边形还有很多神奇之处． 定义：四边形内一点与四个顶点连线形成的四个角中，如果相邻的两个角相等，且其余两个角也相等，那么称这个点为四边形的“分角点”． 【理解发现】 （1）如图①，由定义可知， ∵为四边形的分角点，＝， ∴______． （2）如果一个四边形存在分角点，那么它在四边形的对角线上吗？ （3）一个菱形共有多少个分角点？ 【尝试思考】 （1）请按照给出的作法，用尺规作图的方法作出四边形的一个分角点： 作法 图形 1．连接． 2．以所在的直线为对称轴，作点的对称点． 3．作射线，交于点． 为四边形的一个分角点． （2） 如图②，四边形的顶点都在格点上，请在图②中画出它的一个分角点． 26．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $