专题04函数和一次函数（期末真题汇编，云南专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 聚焦函数与一次函数核心考点，精选云南各地期末真题，融合生活实践（如泳池排水、父子骑行）与地域特色（云南咖啡、乡村振兴），梯度设计覆盖基础概念到综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约30题|函数概念、图象性质、方程不等式综合|以枇杷下落、气温变化等情境考查函数图象判断| |填空题|约10题|自变量取值、函数平移、对称|结合几何图形动态变化（如三角形平移）设置考点| |解答题|约15题|待定系数法、实际应用、几何综合|以云南咖啡销售、乡村文旅等为背景设计方案优化问题，几何综合题结合坐标系与图形变换|

专题04 函数与一次函数 高频考点概览 考点01函数的概念及表示 考点02一次函数的概念以及用待定系数法求一次函数表达式 考点03一次函数的图象和性质 考点04一次函数与方程（组）、不等式 考点05一次函数与实际问题 考点06一次函数与几何的综合应用 考点01 函数的概念及表示 1．(24-25八下·云南普洱·期末)函数自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负． 【详解】解：函数中，分母不能为0，即； 二次根式的被开方数需满足，即， 因此，自变量的取值范围是， 故选：B． 2．(24-25八下·云南个旧·期末)下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应． 结合图象，利用“垂直于x轴的直线与图象最多有一个交点”这一性质进行判断即可．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴在图象上，作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只能有一个交点． A. 图象是一条直线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B. 图象是折线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； C. 观察图象可知，存在垂直于x轴的直线与图象有3个交点，即对于同一个x值，有3个y值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意； D. 图象是抛物线，对于每一个x值，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意. 故选：C． 3．(24-25八下·云南红河州金平县·)下列表示y与x关系的图象中，y不是x的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由图象判定函数．熟练掌握函数定义，是解题的关键．对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，则y是x的函数． 根据函数定义逐一判断即得． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应， ∴只有选项C不满足条件． 故选 C． 4.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族自治州·模拟)枇杷熟了，从树上落下来．下图中能大致刻画出下落过程中枇杷在落地前的速度随时间变化情况的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用图象表示变量之间的关系，理解问题的过程成为解答本题的关键．根据自由落体运动速度与事件的关系进行判定即可． 【详解】解：枇杷熟了，从树上落下来，基本是自由落体运动， 速度越来越快，v随t的增大而增大． 符合条件的只有C． 故选：C． 5．(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果工作人员以固定的速度排水，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理，则下面能表示水的深度厘米与时间分的关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了函数的图象，在做题时要明确游泳池上宽下窄，因此函数的图象也不相同． 由于游泳池不规则，上面宽，下面窄，因此在相同时间内上半部分下降缓慢，图象比较平稳．下半部分下降快，图象比较陡，据此即可解答． 【详解】解：由图知游泳池上宽下窄，深度h和放水时间t的比不一样，前者慢后者快，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理 分析各选项知只有A正确． 故选：A 6．(24-25八下·云南昆明五县区·期末)如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 7．(24-25八下·云南楚雄彝族·期末)某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点的距离与时间的关系示意图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．应根据时间的不断变化，来反映离家的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，要通过图象反映出来． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除C． 故选∶B． 8．(24-25八下·云南昆明东川区·期末)如图是一台自动测温记录仪测得中卫市冬季某天的气温T与时间t的图像，观察图像得到下列信息，其中错误的是（ ） A．从14时至24时，气温随时间增长而下降 B．凌晨4时气温最低，为 C．从4时至24时，气温随时间增长而上升 D．14时气温最高，为 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据所给函数图象，逐一分析对应选项即可得到答案． 【详解】解：A、由函数图象可知，从14时至24时，气温随时间增长而下降，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，凌晨4时气温最低，为，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，从4时至24时，气温随时间增长先上升，后下降，原说法错误，符合题意； D、由函数图象可知，14时气温最高，为，原说法错误，符合题意； 故选：C． 9．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度．如图是甲，乙两种蔗糖的溶解度与温度之间的对应关系，下列说法错误的是（   ） A．温度为时，甲，乙两种蔗糖的溶解度都小于 B．甲，乙两种蔗糖的溶解度都随着温度升高而增大 C．当温度为时，甲，乙两种蔗糖的溶解度一样 D．当温度大于时，相同温度下，甲蔗糖的溶解度小于乙的溶解度 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象信息的读取，根据函数图象横纵坐标表示的意义，分析甲、乙两种蔗糖的溶解度与温度的关系，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A项：根据函数图象可知，当温度为时，甲，乙两种蔗糖的溶解度均小于，故A说法正确，不符合题意； B项：甲，乙两种蔗糖的溶解度在图象中均随着温度的升高而增大，故B说法正确，不符合题意； C项：当温度为时，根据图象可知，甲，乙两种蔗糖的溶解度一样，故C说法正确，不符合题意； D项：当温度大于时，相同温度下，由函数图象可知，此时甲的蔗糖溶解度大于乙的蔗糖溶解度，故D说法错误，符合题意， 故选：D． 10．(24-25八下·云南临沧市凤庆县·模拟)如图（1），在中，是直角，，是中位线，点从点出发，沿→→的方向以的速度运动到点，图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象，与三角形的中位线有关的计算，含30度角的直角三角形的性质，根据图象可知，当点到达点时，的面积为3，此时，中点得到，含30度角的直角三角形的性质，得到，中位线定理得到，根据的面积为3，列出方程求出的值，进行计算即可． 【详解】解：∵是直角，，是中位线， ∴，，， ∴， 由图象可知，当点与点重合时，的面积为3， 由题意，得：， ∴， ，， ∴的面积， ∴， ∵当时，点与点重合， ∴， ∴； 故选：D． 11．(24-25八下·云南临沧中学·期末)在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解；∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题． 13．(24-25八下·云南昭通·期末)函数中，自变量的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式分母不为零和二次根式被开方数非负的条件． 【详解】解：根据二次根式有意义条件得，解得． 根据分式有意义条件得，解得． 和，即． 因此，自变量的取值范围是， 故选C． 考点02 一次函数的概念以及用待定系数法求一次函数的表达式 1．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)如果是正比例函数，则a的值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义得到即可求解． 【详解】解：是正比例函数， ， 解得：， 故选：A． 2．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)若点在正比例函数（k为常数，且）的图象上，则（   ） A．8 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的概念，已知点的坐标求比例系数，将点的坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴， ∴． 故选：C． 3．(24-25八下·云南个旧·期末)已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 4．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据常数项是函数中不含变量的常数部分，对于一次函数形式 中为常数项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 故选：． 5．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族自治州·模拟)如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为（ ） A．– B． C．–2 D．2 【答案】A 【分析】根据已知可得点C的坐标为（–2，1），把点C坐标代入正比例函数解析式即可求得k． 【详解】∵A(–2，0)，B(0，1)， ∴OA=2，OB=1， ∵四边形OACB是矩形， ∴BC=OA=2，AC=OB=1， ∵点C在第二象限， ∴C点坐标为（–2，1）， ∵正比例函数y＝kx的图像经过点C， ∴–2k=1， ∴k=–， 故选：A. 【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求正比例函数解析式，根据已知求得点C的坐标是解题的关键． 6．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)若点是一次函数图象上的点，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先利用点A坐标求出一次函数的表达式，再验证各选项是否满足函数表达式． 【详解】解：将点代入函数，得， ， 因此，函数表达式为， A、代入，计算得，故在此函数图象上； B、代入，计算得，故不在此函数图象上； C、代入，计算得，故不在此函数图象上； D、代入，计算得，故不在此函数图象上； 故选：A． 7．(24-25八下·云南曲靖·期末)已知函数图象上存在两点，，则（   ） A． B． C． D．a、b大小无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据解析式可得y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴y随x增大而增大， ∵点，在正比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 8．(24-25八下·云南昆明五华区·期末)六个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点是其中一个正方形的顶点，经过点的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形等内容，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点，因为直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，所以每一部分的面积是，根据求出，即，由题意得，根据、两点的坐标求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：过点作轴，交轴于点，设直线与轴交于点， 直线将这六个正方形分成面积相等的两部分， 每一部分的面积是， ， ，， ，即， 由题意得， 设直线的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， 直线的函数表达式为， 故选：A． 9．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)当时，函数（b为常数）的函数值．已知点在该函数图象上，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为________． 【答案】 【分析】题目主要考查待定系数法确定一次函数解析式，轴对称的性质，熟练掌握是解题关键． 先根据已知条件求出函数解析式，再求点A的坐标，最后利用关于x轴对称的性质求点B的坐标． 【详解】解：当时，，代入函数，得， 解得． 所以函数解析式为． ∵点在函数图象上， ∴，即点A坐标为． ∵点A与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 10．(24-25八下·云南曲靖·期末)在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，求解自变量的值； （1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）把代入可得，再利用整体思想解题即可. 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中得： ， 解得， 即一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）知，， ， ，则有，即：， ，即， ； 考点03 一次函数的图象和性质 1．(2025·湖南省长沙市·)若点在第二象限，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数的关系，第二象限内的点的坐标特点，第二象限内的点，横坐标为负，纵坐标为正，则，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有B选项的函数图象符合题意， 故选：B． 2．(24-25八下·云南丽江·期末)下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 3.(24-25八下·云南丽江地区·模拟)正比例函数函数值y随x的增大而增大，则的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与正比例函数的图象，直接利用正比例函数的性质得出的取值范围，进而得出一次函数经过的象限． 【详解】正比例函数函数值随的增大而增大， ， 的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 4．(24-25八下·云南临沧市·模拟)若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：∵， ∴当，，则一次函数是减函数，交y轴的正半轴，（为常数）是增函数，交y轴的负半轴，D选项符合； 当，，则一次函数是增函数，且交y轴负半轴，（为常数）是减函数，且交y轴的正半轴，D选项符合； 故选：D． 5．(24-25八下·云南个旧·期末)关于一次函数的图像，下列结论正确的是（   ） A．图像与轴的交点坐标为 B．若点、点在函数图像上，则 C．图像经过第二、三、四象限 D．点在图像上 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据函数解析式逐项判断即可． 【详解】解：函数为 ， 对于A：令 ，则 ， 解得，与轴交点为 ，不是 ，故不符合题意； 对于B：点 在图像上，则 ；点 在图像上，则 ；，故，故不符合题意； 对于C：，，图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故不符合题意； 对于D：当 时，，故点 在图像上，故符合题意． 故选D． 6．(24-25八下·云南红河州金平县·)对于一次函数，下列结论不正确的是（   ） A．它的图象一定经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解． 【详解】解：对于A：∵当时，，∴图象经过点，正确； 对于B：∵，∴y随x的增大而减小，正确； 对于C：∵，解得，∴当时，，故错误； 对于D：当时，则有；当时，则有，即， ∴与x轴交点为，与y轴交点为， ∴三角形面积，正确； 故选C． 7．(24-25八下·云南红河州金平县·)把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图像的平移规律，上加下减，左加右减． 根据一次函数图像的平移规律作答即可． 【详解】解：把正比例函数的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像的解析式为． 故选：D． 8．(24-25八下·云南临沧市凤庆县·模拟)如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A．12 B．24 C．15 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平移的性质，根据平移性质先求出平移的距离，再根据勾股定理求出长，继而求出线段扫过的面积即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴在中，， ∴， ∴在函数中，当时，，即， ∴， ∴， ∴三角形平移距离为6个单位长度， ∴平移中扫过的面积为：． 故选：B． 9．(24-25八下·云南普洱·期末)已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的增减性是解题关键． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 10．(24-25八下·云南临沧中学·期末)已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，先求出此直线交轴于，交轴于，画出图象，结合一次函数的增减性，逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，，则此直线交轴于， 当时，，解得：，则此直线交轴于， 画出一次函数的图象如图所示： ， 若，且， ，， 此时，但的正负无法判断，故A选项错误，不符合题意； 若，且， ，， 此时，，故，故B选项正确，符合题意； 若，且， 或， 当时，，此时的正负无法判断，故C选项错误，不符合题意； 若，且， ，，此时，但的正负无法判断，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 11．(24-25八下·南昆明五华区·期末)已知一次函数的图象不经过第二象限，但过点，则的值可能是（   ） A． B．0 C．2 D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，根据题意可得一次函数图象经过第一，三，四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，但过点， ∴一次函数图象经过第一，三，四象限， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 12．(24-25八下·云南昆明五华区·期末)若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 13．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)一次函数的值随x的增大而减小，满足条件的m的值可以是________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，当时，函数值随x的增大而减小，因此需满足． 【详解】解：∵一次函数的值随x的增大而减小， ∴，解得．故m的值可以是小于的所有实数． 故答案为：（答案不唯一）． 14．(24-25八下·云南个旧·期末)将直线向上平移5个单位长度后所得直线的解析式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移的性质．根据一次函数图象的平移法则，“上加下减”，直线向上平移5个单位，得，即可作答． 【详解】解：将直线向上平移5个单位长度后所得直线的解析式是． 故答案为 ． 15．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)将一次函数（b是常数且）的图象向上平移3个单位后，该一次函数图象经过原点，则________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的解析式，把原点坐标代入解方程即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移3个单位为：， ∵平移后的图象经过原点． ∴， ∴ 故答案为： ． 16．(24-25八下·云南临沧中学·期末)将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是____________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 17．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 18．(24-25八下·云南个旧·期末)已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出和时的自变量的值，根据一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ，解得， ∴； （2）∵，， ∴随着的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴当时，． 19．(24-25八下·云南大理州·模拟)已知关于的一次函数的图象为直线． (1)证明：无论为何值，直线总经过点； (2)当时，函数最大值与最小值的差为6，求的解析式． 【答案】(1)见解析 (2)的解析式为或． 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将整理得，当时，，即可求解； （2）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； （2）解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 20．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点；直线交轴于点，与直线相交于点． (1)求和的值； (2)若点是直线上的一个动点，且始终在点的下方，请你在直线上描点，连接．若（为常数），求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)描点见解析，的值为． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解二元一次方程组，代数式求值等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线解析式为，直线解析式为，然后把点，点，结合（为常数），代入得，解得，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点， ∴，解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：如图，因为，，所以轴， 由（）得， ∴直线解析式为， ∵点在直线图象上， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵点在直线图象上， ∴， ∴，即， ∵点是直线上的一个动点，且始终在点的下方， ∴， ∵点，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴ ， ∴的值为． 考点04 一次函数与方程（组）、不等式 1．(24-25八下·云南红河州金平县·)如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握“两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解”是解题的关键． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解对应两函数图象的交点坐标，直接利用交点坐标得到方程组的解． 【详解】解：∵函数与的图象交于点 ∴方程组的解是 故选：B． 2．(24-25八下·云南德宏州·期末)如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 3．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 根据图象得：当时，函数图象位于轴上方，此时，即可求解． 【详解】解：根据图象得：当时，函数图象位于轴上方，此时， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 4．(24-25八下·云南昆明东川区·期末)如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握利用数形结合的思想解决一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围，结合函数图象即可解决． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴关于的不等式的解集即为在上方时对应的自变量的取值范围， ∴关于的不等式的解集 故选：A． 5．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（  ） A． B．时， C． D．的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程的应用，依据题意，根据所给函数图象的分布及两直线的交点的横坐标为-5进而逐个判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵直线的图象经过第二、三、四象限， ∴，故A正确，不合题意． ∵直线与直线的交点的横坐标为， ∴方程的解是，故B正确，不合题意． ∵直线的图象与y轴交于正半轴， ∴，故C正确，不合题意． 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， ∴不等式的解集为，即不等式的解集是，故D错误，符合题意． 故选：D． 6．(24-25八下·云南临沧中学·期末)如图，直线经过点．当时，的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，利用图象法进行求解，判断即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴直线经过点， ∵直线经过点， ∴点为直线和直线的交点， 由图象可知：当时，的取值范围为； 故选C． 7．(24-25八下·南昆明五华区·期末)在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（   ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意； D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 8．(24-25八下·云南个旧·期末)如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：在点A左侧时，函数的图象在图象的上方 ∵ ∴关于的不等式的解集是x＜-1 故答案为：x＜-1． 【点睛】此题考查的是一次函数与不等式，掌握数形结合的数学思想是解题的关键． 9．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)函数与的图象如图所示，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式；先求出交点坐标，再求k即可． 【详解】解：如图，设两直线交于， 当时，， ， 把代入得， 解得， 故答案为：2． 考点05 一次函数与实际问题 1．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)某吊绳承受的最大拉力对应的重物质量不超过6吨．在吊绳的弹性限度内，通过实验测得吊起重物后吊绳的长度y（米）与所吊重物的质量x（吨）之间的部分数据如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 y 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意即可得到函数关系式，熟知相关等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格发现当每增加1时，增加， 故可设函数关系式为：， 当时，，故， 且吊绳承受的最大拉力对应的重物质量不超过6吨，故， ∴函数关系式为：， 故选：A． 2．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力和所悬挂物体的重力的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结论不正确的是（   ） A．是的一次函数 B．当拉力时，物体的重力 C．拉力随着物体重力的增加而增大 D．当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、函数图象等知识点，由函数图象直接可以判断选项，设拉力与重力的函数解析式为，用待定系数法求出函数解析式，把时，代入函数解析式求值即可判断选项，掌握数形结合思想以及从函数图象上获取信息是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，是的一次函数，原选项正确，不符合题意； 、设拉力与重力的函数解析式为， ∴，解得， ∴拉力与重力的函数解析式为， 当拉力时，，物体的重力，原选项不正确，符合题意； 、拉力随着物体重力的增加而增大，原选项正确，不符合题意； 、当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为，原选项正确，不符合题意； 故选：． 3．(24-25八下·云南昆明五华区·期末)某班同学在做弹簧总长单位：与所挂砝码质量单位：变化关系的实验时，记录的相关数据如表． 所挂砝码质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧总长 3 4 5 6 7 8 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，根据表格的数据，结合实际问题，利用数形结合的方法是解答本题的关键．根据表格信息，再对比图象中的折点即可选出答案． 【详解】解：由题意可知，所挂砝码质量小于或等于时，每增加弹簧总长增加；当所挂砝码质量等于或大于时，弹簧总长为， 适合表示y与x的对应关系的是选项C． 故选：C． 4．(24-25八下·云南红河州金平县·)小明骑自行车去上学，所走的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（   ） A．小明家距学校4千米 B．小明提速后的速度为1千米/分钟 C．小明走完全程用了10分钟 D．小明上学的平均速度为0.4千米/分钟 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是理解图象所表示的实际意义；因此此题可根据函数图象逐一判断选项即可． 【详解】解：由图象可知：小明家距学校4千米，且走完全程用了10分钟，故A、C正确； 前6分钟小明骑行了2千米，所以速度为（千米/分钟），后4分钟走了2千米，所以速度为（千米/分钟），故小明提速后的速度为0.5千米/分钟，故B错误； 小明上学的平均速度为（千米/分钟），故D正确； 故选B． 5．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)小明家、学校、书店在同一条直线上，某日小明骑车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去学校．下图反映了这个过程中，小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系，根据图象，下列判断正确的是（   ）． A．小明家到学校的路程是 B．小明在书店停留了 C．小明一共行驶了 D．在整个上学的途中小明骑车的最快速度是． 【答案】A 【分析】本题考查了利用函数图象获取相关的信息，解决本题的关键是理解函数图象中横轴与纵轴表示的量，本题中横轴表示行驶的时间，纵轴表示小明离家的距离，根据小明离家的时间与距离确定出小明行驶的时间、速度、路程即可． 【详解】解：A选项：图象表示的是小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系，由图象可知当小明到达学校时离家的距离是，所以小明家到学校的路程是，故A选项正确； B选项：由图象可知，小明从到与家的距离没有发生变化，表示小明在书店买书，所以小明在书店停留的时间是，故B选项错误； C选项：由图象可知小明先行驶了，又返回书店行驶的路程是，买完书又行驶了到达学校，所以在整个上学途中小明骑行的路程是，故C选项错误； D选项：小明从出发到分钟时行驶的速度是， 从到行驶的速度是， 从到行驶的速度是， 从到行驶的速度是， 在整个上学的途中小明骑车的最快速度是， 故D选项错误． 故选：A． 6．(24-25八下·云南丽江地区·模拟)甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．甲的骑行速度是 B．两地的总路程为 C．乙出发后追上甲 D．甲比乙晚到达B地 【答案】C 【分析】根据函数与图象的关系依次计算即可判断． 【详解】甲骑行1250m，故速度为1250÷5=，A正确； 设乙的速度为x，则有20×250-15x=2000 解得x=200 ∴乙的速度为， 甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200=继续骑行， ∵乙先到达B地， ∴由题意可得两地的总路程为15×200+（85-20）×300=22500m=，B正确； 设乙出发t后追上甲 依题意可得2000= 解得t=30 ∴乙出发后追上甲，C错误； 85甲的路程为85×250=21250m ∴甲比乙晚 到达B地，D正确 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考的压轴题． 7．(24-25八下·云南临沧中学·期末)嘉嘉和琪琪住在同一小区，星期六嘉嘉和琪琪相约去体育场，嘉嘉骑车前往，路过一个超市购买了一些食品，然后以相同速度继续前行；琪琪直接乘公交车前往目的地．如图所示是两人从小区到体育场所走路程（米）与所用时间（分钟）之间的关系图象，则嘉嘉比琪琪晚到（    ） A．5分钟 B．6分钟 C．7分钟 D．8分钟 【答案】C 【分析】先求出嘉嘉骑车的速度，再根据速度算出嘉嘉到达体育场的时间，接着确定琪琪到达的时间，最后计算嘉嘉比琪琪晚到的时间．本题主要考查函数图象的实际应用，熟练掌握从图象中获取信息、计算速度和时间是解题的关键． 【详解】解：嘉嘉骑车速度：速度（米/分钟） 嘉嘉到达体育场的时间：嘉嘉总共用时分钟． ∴晚到分钟． 故选：C ． 8．(24-25八下·云南大理州·模拟)3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑-2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：其中，错误的说法是（   ） A．起跑后小时内，甲在乙的前面 B．第小时两人都跑了千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了千米 【答案】C 【分析】由图象可知起跑后1小时内，甲在乙的前面；在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了21千米；乙比甲先到达终点；根据纵坐标，可得两人跑的距离，则可求得答案． 【详解】解：根据图象得： 起跑后1小时内，甲在乙的前面，故选项A正确，不符合题意； 在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了21千米，故选项B正确，不符合题意； 乙比甲先到达终点，故选项C错误，符合题意； 两人都跑了42.195千米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息．解题的关键是根据题意理解各段函数图象的实际意义，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程． 9．(24-25八下·云南玉溪·期末)某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力与弹簧的伸长量之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到弹力（N） 0 30 60 90 120 150 弹簧的长度（） 6 8 10 12 14 16 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量为横轴，弹簧弹力为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量弹簧受力后的长度弹簧原长度）， ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力与弹簧的伸长量的函数关系式________；（不要求写自变量的取值范围） (2)如果该弹簧受到超过的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为18，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)不会发生永久形变；见解析． 【分析】题目主要考查函数图象及函数解析式的缺点，理解题意，熟练掌握基础知识点是解题关键． （1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长1，弹力增加15 N，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． 【详解】（1）解：①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到弹力（N） 0 30 60 90 120 150 弹簧的伸长量（） 0 2 4 6 8 10 如图所示； ； ②根据题意得：每伸长1，弹力增加15 N， ∴； （2）不会发生永久形变． 理由如下： 当弹簧的长度为18时，弹簧的伸长量， 当时，． ， 不会发生永久形变． 10．(24-25八下·云南昆明东川区·期末)2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》以创新手法重塑传统故事，结合世界级特效技术，不仅在国内创下票房纪录，更在全球引发热议．某漫画社准备购进“哪吒”毛绒玩具和“敖丙”钥匙扣共20个作为奖品奖励获奖学生，在某官方旗舰店看到“哪吒”毛绒玩具每个180元，“敖丙”钥匙扣每个70元．若设该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，购买奖品的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若购进“敖丙”钥匙扣的数量不超过“哪吒”毛绒玩具数量的3倍，则应购进“哪吒”毛绒玩具和“敖丙”钥匙扣各多少个使购买奖品的总费用最少？此时购买奖品的最少费用为多少元？ 【答案】(1)； (2)应购进“哪吒”毛绒玩具5个，“敖丙”钥匙扣15个，此时购买奖品的总费用的最小值为1950元． 【分析】（1）该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，则“敖丙”钥匙扣个，根据费用=单价乘以数量，列出等式即可． （2）根据题意，得，确定x的取值范围，再根据，利用一次函数的性质，确定最值即可． 本题考查了函数解析式的表示，不等式的应用，一次函数性质求最值，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，则“敖丙”钥匙扣个， 根据题意，得， 整理，得． （2）解：该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，则“敖丙”钥匙扣个， 购进敖丙钥匙扣的数量不超过哪吒毛绒玩具数量的3倍， ， 解得： ， 随的增大而增大， 当，时，取得最小值，且为. 答：应购进“哪吒”毛绒玩具5个，“敖丙”钥匙扣15个，此时购买奖品的总费用的最小值为1950元． 11．(24-25八下·南昆明五华区·期末)为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. (1)分别求，关于的函数关系式； (2)两图象交于点，求点坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【答案】(1)y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙= (2)（600，510） (3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算． 【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式； （2）根据（1）的结论列方程组解答即可； （3）由点A的意义并结合图象解答即可． 【详解】（1）由题意可得，y甲=0.85x； 乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x； 当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90， 由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙= （2）由，解得， 点A的坐标为（600，510）； （3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元， 结合图象可知， 当x＜600时，选择甲商店更合算； 当x=600时，两家商店所需费用相同； 当x＞600时，选择乙商店更合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 12．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型卡每块15万元，乙型卡每块10万元 (2)采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购甲型卡a块，则乙型卡块，先得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，再设总费用为，得到关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元， 根据题意，得， 解得， 答：每块甲型卡15万元，每块乙型卡10万元； （2）解：设采购甲型卡a块，则乙型卡块， 由题意得，， 解得， 设总费用为， 则， ∵， ∴C随a增大而增大， ∴当时，C最小， 此时， （万元）， ∴采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元． 13．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场．2025年3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫瑰需90元． (1)求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价； (2)该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫瑰共80捆，在当天下午就全部销售完，且获得了最大利润．已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆 (2)该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式、一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w，根据题意列出不等式确定，然后列出一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆， 由题意得， 解得， 答：康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w， 根据题意得：， ， ∵1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元， ∴利润为：， ∴当时，利润取得最大值为：， ∴该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元． 14．(24-25八下·云南红河州金平县·)2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的，现在国外也是受欢迎的．”某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡的信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 x 60 乙 y 75 若该专卖店购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花费1230元． (1)求x，y的值； (2)该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的．设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的利润为w元，求w的最大值． 【答案】(1) (2)w的最大值为23000 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系和不等关系，列出方程组和不等式求解． （1）由题意得甲种咖啡的采购单价是元，乙种咖啡的采购单价是元，根据购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花费1230元，列出方程组求解即； （2）设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒，根据“甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的”，列出不等式求解出a的取值范围，再根据，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得 ； （2）解：设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒， ， 解得 又∵ ∴，且a为正整数， ， 随a的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 答：w的最大值为23000． 15．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)某房地产开发公司计划建A，B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表： 户型 A B 成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套） 30 34 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ (2)若该公司所建的两种户型住房按计划全部售出．请问哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润 【答案】(1)共有三种建房方案，具体见解析 (2)建造A型住房48套，B型住房32套，可以获得最大利润，最大利润是432万元 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据结合公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，再建立不等式组可以解答本题； （2）根据题意可以得到利润与住房户型的函数关系式，再利用一次函数的性质从而可以解答． 【详解】（1）解：（1）设建造A型的住房x套，则建造B型住房套，由题意，得 解得 ∵x为整数， ∴x可以取48，49，50. ∴共有三种建房方案， 方案一：建造A型住房48套，B型住房32套； 方案二：建造A型住房49套，B型住房31套； 方案三：建造A型住房50套，B型住房30套． （2）解：设利润为w元，由题意，得 ∵w是关于x的一次函数且 ∴w随x的增大而减小 又∵ ∴当时，w取最大值，． 答：采用方案一建房，即建造A型住房48套，B型住房32套，可以获得最大利润，最大利润是432万元． 16．(24-25八下·云南个旧·期末)根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为村民小组设计总费用最少的购进方案？ 背景 2025年3月15日，“花开四季，‘香’约云南·住在梨香花海里”网络主题宣传活动在红河州个旧市博泰小院正式启动．东风知春意，万亩梨花开，个旧市加级寨、哨冲万亩梨花迎来盛花期，“梨园春晓·万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏．某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，若购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 问题解决 任务1 确定单价 求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ 任务2 拟定总费用最少的购进方案 若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】任务1：所以梨膏每瓶元，梨醋每瓶元；任务2：购进梨膏瓶，梨醋瓶，最少费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 任务1通过解二元一次方程组求得单价； 任务2通过建立总费用函数，利用一次函数的单调性在约束条件下确定最值． 【详解】任务1：设梨膏每瓶元，梨醋每瓶元， 由题意得方程组， 得：， 得：， 解得； 把代入中得：，解得； 所以梨膏每瓶元，梨醋每瓶元． 任务2：设购进梨膏瓶，梨醋瓶，则，且，； 由得， 代入不等式得，解得，且，解得， 所以； 总费用，由于随增大而减小，所以当时最小，此时，（元）； 答：购进梨膏瓶，梨醋瓶，最少费用为元． 17．(24-25八下·云南曲靖·期末)今年，土瓜冲村在云南备受瞩目，这个位于曲靖市马龙区通泉街道杨官田社区的村落，因打造乡村旅居示范点，在乡村振兴之路上的卓越表现而备受赞誉．我市某村走访了土瓜冲村，学习、了解土瓜冲村的发展模式，并决定充分利用乡村资源，结合先进理念，平衡群众、集体和企业的利益，从而推动文旅产业的新发展，助力乡村振兴．经过深入的调查研究，该村决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品． 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千克，乙种原料254千克． 素材二 生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） A商品 3 2 100 B商品 2 3 180 设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你利用不等式的相关知识说明有多少种生产方案； 任务二 （2）求y与x的函数解析式，并求出当x取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本y最小？最小成本为多少元？ 【答案】（1）共有25种生产方案；（2）；当生产种商品70千克时，B商品千克时，成本有最小值，最小成本为12400元 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设生产种商品千克，则生产种商品千克；根据表格信息建立不等式组求解即可； （2）由题意可知，总成本为元．再建立一次函数，结合一次函数的性质解答即可. 【详解】解：（1）设生产种商品千克，则生产种商品千克； 则有：， 解得：， 答：共有25种生产方案． （2）由题意可知，总成本为元． 则， ， ， 随的增大而减小，且 当时，有最小值，即：， 答：当生产种商品70千克时，B商品千克时，成本有最小值，最小成本为12400元． 18．(24-25八下·云南临沧中学·期末)某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，若每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750件；若用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件，卖出时，甲种商品可盈利，乙种商品可盈利． (1)求甲、乙两种商品的购进价和卖出价； (2)因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，那么该商人应采取怎样的购货方式才能获得最大的利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲、乙两种商品的购进价分别为12元和8元，卖出价分别为14.4元和10元 (2)购进甲商品200件，乙商品600件才能获得最大利润，最大利润是1680元 【分析】本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲、乙两种商品购进价分别为元和元．根据等量关系：①每种商品均用去一半的钱，则一共可购进750件；②用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件，列方程组求得两种商品的购进价；根据，分别求得两种商品的售价． （2）要获得最大利润，因为总钱数是一定的，乙商品的利润最大，所以应让乙商品的件数达到最多，即600件，然后求得甲商品的件数，从而求得最大利润． 【详解】（1） 解：设甲、乙两种商品购进价分别为元和元． ， 解得 经检验，是原分式方程组的解， 即甲、乙两种商品的购进价分别为12元和8元； 设甲、乙两种商品的卖出价分别为元和元． 则：元，元， 解得：，． 答：甲、乙两种商品的购进价分别为12元和8元，卖出价分别为14.4元和10元； （2） 设购进甲商品件，那么购进乙商品件， 总利润为， 而，， ， 当，，总利润最多． 购进甲商品200件，乙商品600件总利润最多， 总利润为：（元． 答：购进甲商品200件，乙商品600件才能获得最大利润，最大利润是1680元． 考点06 一次函数与几何的综合应用 1．(24-25八下·云南丽江地区·模拟)如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理得，求出，由即可求解；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 故选：B． 2．(24-25八下·云南普洱·期末)如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为______． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征求得A点和B点的坐标，易得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，则，即；当时，，则，即； ∴的面积为． 故答案为：3． 3．(24-25八下·云南昆明五华区·期末)如图，直线l1：y＝﹣x﹣3与过点A（0，3）的直线l2交于点C（m，1），与y轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点P在直线l1上，PQ∥x轴，交直线l2于点Q，若PQ＝AB，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x＋3；（2）P（﹣6，3）或（﹣2，﹣1） 【分析】（1）把点C的坐标代入y＝﹣x﹣3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由已知条件得出P、Q两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出P的坐标． 【详解】解：（1）把C（m，1）代入y＝﹣x﹣3得 ， ∴m＝﹣4， ∴C（﹣4，1）， 设直线l2的解析式为y＝kx＋b， 把A（0，3），C（﹣4，1）代入得 ， 解得， ∴直线l2的解析式为； （2）在直线l1：y＝﹣x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设P（﹣b﹣3，b），由PQ∥x轴，得Q（2b﹣6，b）， ， 解得b＝3或b＝﹣1， ∴P（﹣6，3）或（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题关键． 4．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度后，所得的直线分别与轴，轴交于点A，B，与直线交于点．直线交轴于点，是的中点，连接． (1)求，的值； (2)是线段上的一动点，是关于轴的对称点，当在内部时（不含边界），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数解析式的确定、对称点的性质、中点坐标公式以及直线交点的求解．解题的关键是熟练运用一次函数的相关知识，结合对称点和三角形内部点的特征，通过联立直线方程求出交点，进而确定变量的取值范围． （1）利用点C在直线上，代入求出a的值；根据直线平移规律得到解析式，再将点C代入，求出b的值． （2）确定与坐标轴交点的坐标，得到M的坐标范围；求出M关于y轴的对称点的坐标；确定中点E的坐标，求出直线和直线的解析式，联立求出交点F；根据在内部的条件，得出m的取值范围． 【详解】（1）解析：∵点在直线上， ∴，即． ∵直线向上平移3个单位长度后得到直线， 根据平移规律“上加下减”，的解析式为． 又因为过点， 将其代入的解析式，得， 解得； （2）由（1）知，所以的解析式为． 令，则，解得 ∴； 令，则， ∴； ∵是M关于y轴的对称点， ∴． 已知，E是的中点，，根据中点坐标公式，E的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 代入上式得， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，作点A关于y轴的对称点，则，连接，并与交于点F． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得，， ∴，则直线的方程为， 联立直线与直线的方程得到方程组：， 解得，则点F的坐标为， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ∵点，， ∴得到点横坐标的范围是， ∴． 5．(24-25八下·云南红河州金平县·)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 6．(24-25八下·云南临沧市凤庆县·模拟)如图，直线l是一次函数的图象． (1)求这个一次函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象直接写出的解集． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，再根据计算求解即可； （3）结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可得的解集为． 7．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)如图所示，直线与直线相交于点C，并且与两坐标轴分别交于A，B两点． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (2)2 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把分别代入两个函数解析式即可求出点A，B的坐标，再联立函数解析式得到点C的坐标； （2）求出的长度，利用面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：由， 当时，， ∴点A的坐标为． 由， 当时，， ∴点B的坐标为． 由 得 ∴点C的坐标为． （2）由点A，B的坐标知， ∴． 8．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为． (1)求直线的函数表达式； (2)若为直线上一动点，的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标分别为， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 9．(24-25八下·云南保山腾冲·期末)如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或． 【分析】本题主要考查了求一次函数的交点坐标，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两条直线的表达式构造方程组，解答即可； （2）先求出点C和点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）连接，首先求出，然后求出，然后根据得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴； （2）解：把代入得，， ∴点C的坐标为， 把代入得，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，如图所示： ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为． 综上可知，或． 10．(24-25八下·南昆明五华区·期末)如图，点分别是轴上位于原点两侧的两点，点在第一象限，直线 交轴于点，直线交轴于点，. (1)求; (2)求点的坐标及的值; (3)若，求直线的函数表达式. 【答案】(1) 三角形的面积为2；(2) ，；(3) . 【分析】（1）已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解； （2）求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值； （3）根据S△AOP=S△BOP，可以得到OB=OA，则A的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得BD的解析式． 【详解】(1)作PE⊥y轴于E， ∵P的横坐标是2，则PE=2. ∴ (2)∴ ∴,即 ∴OA=4， ∴A的坐标是(−4,0). 设直线AP的解析式是y=kx+b，则 ， 解得： 则直线的解析式是 当x=2时，y=3，即p=3； (3)∵ ∴OB=OA=4,则B的坐标是(4,0)， 设直线BD的解析式是y=mx+n，则 解得 则BD的解析式是：. 【点睛】属于一次函数综合题，考查待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式等，注意数形结合思想在解题中的应用. 11．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形面积关系的应用以及平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题；解题的关键是熟练运用待定系数法、理解同高三角形面积比等于底边比的性质，以及分类讨论等腰三角形的不同构成情况；易错点是计算过程中的符号与准确性，以及在讨论等腰三角形时可能遗漏其中一种情况． （1）利用待定系数法，将已知点，的坐标代入一次函数解析式，建立方程组求解即可； （2）由​且两三角形有公共高，可得，即点是线段的中点，据此利用中点坐标公式求解； （3）等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，分别以点为顶点或点为顶点的三种情况，进行讨论，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 12．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)已知直线与轴，轴分别交于点，，交直线于点．求： (1)直线的解析式； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，求直线的解析式即可； （2）求得交点M的坐标，利用解答即可； 本题考查了待定系数法求解析式，方程组求交点，分割法求面积，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，分别代入直线， 得 解得， 故直线的解析式为； （2）解：根据题意，得 ， 解得 故； 与x轴的交点为C，则， 根据题意，得 ． 13．(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)3．已知直线：交x轴于点B，交y轴于点A． (1)如图1，若点A的坐标为，求直线的解析式； (2)在（1）的条件下，若点P在y轴上，且，求满足条件的点P的坐标； (3)如图2，若直线：交于点D，点C的横坐标为，以下结论：，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)正确，见解析 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，两点间的距离公式的应用，解题的关键是掌握上述知识． （1）把代入即可求解； （2）设，根据解析式确定，由面积建立方程求解即可； （3）根据题意得出，联立两个函数确定，，利用勾股定理分别求出，，．代入求解计算即可 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设，则， 在中，令得， ∴，即， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：正确，证明如下： 在中，令得， ∴， 联立， 解得， ∴， 在中，令得，令得， ∴， 过点C作轴于点，如图所示： ∴， ∴， 同理得：，， ∴． 14．(24-25八下·云南丽江·期末)如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，且． (1)求点的坐标． (2)求直线的函数解析式，并判断点是否在直线上． (3)在平面直角坐标系内是否存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在直线上 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识点． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （2）先由待定系数法求直线表达式，求出与坐标轴的交点，然后根据，求出点坐标，再由待定系数法求直线表达式，即可判断点是否在直线上； （3）分三种情况讨论，根据平行四边形和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线， 代入点，，则， 解得：， ∴直线， 当， ∴，即， 当，则， 解得：， ∴，即， ∵， ∴，， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 当时，， ∴点在直线上； （3）解：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形， 如图，当时，则， ∴点向点的平移方式与点向的平移方式一样， ∵，，， ∴点向左平移8个单位，向下平移6个单位至点， ∴； 当时，则，同理可求：； 当时，则，同理可求：， 综上：存在动点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 15．(24-25八下·云南临沧市·模拟)【建立模型】 （1）如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，，求证：． 【类比迁移】 （2）如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． 写出点的坐标是______； 求直线的解析式； 写出的面积是______． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③ 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： （1）同角的余角相等，得到，利用证明即可； （2）过作轴于，先求出的坐标，证明，求出点坐标即可；②待定系数法求出函数解析式即可；③直接利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ，， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故答案为：； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； 在中，令得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：．    (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； (3)如图4，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且．若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)、；、；， 【分析】（1）如图1，过点轴于E．证明推出，，可得； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式； （3）分、、三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图2，过点轴于E，    ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，    ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点， ， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ①如图4， 当时，（点M在x轴上方），    分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 由（1）的模型可得：， ∴，， 即：，， 解得：，； 故点、点； 同理当点M在x轴下方时， ∴，，解得：（舍去）； ②当时，如图5，    同理可得：，， 解得：，， ∴、； ③当时，如图5， 同理可得：，， 解得：，， ∴，； 综上，、；、；，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数与一次函数 ☆高频考点概览 考点01函数的概念及表示 考点02一次函数的概念以及用待定系数法求一次函数表达式 考点03一次函数的图象和性质 考点04一次函数与方程（组）、不等式 考点05一次函数与实际问题 考点06一次函数与几何的综合应用 目目 考点01 函数的概念及表示 1.(24-25八下云南普洱期末)函数y-x-2 变量x的取值范围是() A.X>2 B.X≥2 C.x>-2且X≠0 D.X≥-2且x≠0 2.(24-25八下·云南个旧·期末)下列图象中，不能表示y是x的函数的是() 3.(24-25八下·云南红河州金平县)下列表示y与x关系的图象中，y不是x的函数是() 试卷第1页，共3页 D 4.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族自治州·模拟)枇杷熟了，从树上落下来.下图中能大致刻画出下落过程 中枇杷在落地前的速度随时间变化情况的是() 速度小 速度A 速度A 速度A 0 时间B. 时间C. 时间D. 时间 5.(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如 果工作人员以固定的速度排水，并在深水区留下一定高度的水方便后续的泳池清理，则下面能表示水的深 度h(厘米)与时间t(分的关系的图象大致是( 777 77 7777777777777 h(厘米) h(厘米) 0 t(分) t(分) A. B. h(厘米)A h(厘米)A C. t(分) D. 分) 6.(24-25八下·云南昆明五县区·期末)如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯 试卷第2页，共3页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止.能刻画水杯中水面的高度h(厘米) 与注水时间t(分)的函数关系的图象大致是() 个h(厘米) 个h(厘米) (分) t分) A B 个h(厘米) 个h(厘米) 0 t(分) t(分) c. D. 7.(24-25八下·云南楚雄彝族·期末)某父子骑自行车沿直线骑行，孩子先前进了一段长距离，在休息亭休息 了一段时间后未见爸爸，又按原路原速度返回一段短距离，相遇后，又再前进一段距离，则孩子离出发点 的距离s与时间t的关系示意图是() S S D 8.(24-25八下·云南昆明东川区·期末)如图是一台自动测温记录仪测得中卫市冬季某天的气温T与时间t的 图像，观察图像得到下列信息，其中错误的是() 试卷第3页，共3页 ◆T/℃ 14 24x/时 A.从14时至24时，气温随时间增长而下降 B.凌晨4时气温最低，为-3℃ C.从4时至24时，气温随时间增长而上升 D.14时气温最高，为8C 9.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的 溶质的质量，叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度.如图是甲，乙两种蔗糖的溶解度y(g)与温度t(°C)之 间的对应关系，下列说法错误的是() 个yg 甲 60 5 40 0片 20 10E 0 t∥c A.温度为0°C时，甲，乙两种蔗糖的溶解度都小于20g B.甲，乙两种蔗糖的溶解度都随着温度升高而增大 C.当温度为t1°C时，甲，乙两种蔗糖的溶解度一样 D.当温度大于t1°C时，相同温度下，甲蔗糖的溶解度小于乙的溶解度 10.(24-25八下·云南临沧市凤庆县·模拟)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C是直角，∠A=30°，DE是 中位线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1Cms的速度运动到点B,图(2)是点P运动时， △DEP的面积ycm2随时间xs变化的图象，则ab的值为（） b x (2) A.3V3 B.12 c.3+6V3 D.12+6V3 试卷第4页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25八下·云南临沧中学.期末)在函数y=√X+7中，自变量x的取值范围是 12.(2425八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)函数y=2x-3中自变量X的取值范围是 13.(24-25八下…云南昭通期末)函数y= x-2中，自变量x的取值范围为(） 2-X A.X≠2 B.X≤2 C.x>2 D.X≥0且x≠2 目目 考点02 一次函数的概念以及用待定系数法求一次函数的表达式 1.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学.模拟)如果y=x+2a-1是正比例函数，则α的值是() B.0 c D.-2 2.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)若点(2,4)在正比例函数y=k心(k为常数，且k≠0)的图象上，则 k=() A.8 B.6 C.2 D.1 3.(24-25八下·云南个旧·期末)己知函 y=m-2X-3是关于x的一次函数，则m的值为() A.-2 B.2 C.±2 D.4 4.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)常数项是2025的函数是() A.y=X-2025B.y=x+2025 C.y=2025x D.y=-2025x 5.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族自治州·模拟)如图，在矩形AOBC中，A(-2,0),B(0,1),若 正比例函数y=的图象经过点C,则k的值为() B A C.-2 D.2 6.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)若点A-3,6是一次函数y=2x+b图象上的点，则下列各 点在此函数图象上的是() A.-2,8 B.2,4 c.0,1 D.1,7 7.(24-25八下·云南曲靖·期末)已知函数y=mxm>0图象上存在两点Aa,1,Bb,-2,则() A.a>b B.a=b C.a<b D.a、b大小无法确定 试卷第5页，共3页 8.(24-25八下·云南昆明五华区·期末)六个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点A是其 中一个正方形的顶点，经过点A的一条直线将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数表达 式为() A.y=- 4 3 x+ C.y=- D.y=12x+4 9.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)当x=-2时，函数y=-x+b(b为常数)的函数值y=2.已知点 A(2,n)在该函数图象上，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为 10.(2425八下·云南曲靖期末)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点 A(0,1)和点B(3,-5)」 (1)求这个一次函数的表达式： ②)当y=V6666时，求(4X-669x-66666s的值. 目目 考点03 次函数的图象和性质 1.(2025·湖南省长沙市)若点a,b在第二象限，则函数y=aX+b的图象大致是() D 2.(24-25八下·云南丽江期末)下列表示一次函数y=kx+b(k,b是常数，且kb≠0)的图象与正比例函数 y=bx的图象可能的是() 试卷第6页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 3.(24-25八下·云南丽江地区·模拟)正比例函数y=kx(k≠0)函数值y随x的增大而增大，则y=ax-k的图 象大致是() 4.(24-25八下·云南临沧市·模)若mn<0,则函数y=mx+n与y=nx+m在同一平面直角坐标系中的图象 可能是() 试卷第7页，共3页 5.(24-25八下·云南个旧·期末)关于一次函数y=3x-5的图像，下列结论正确的是() A.图像与x轴的交点坐标为0，-5 B.若点A-3,m、点B1,n在函数图像上，则m>n C.图像经过第二、三、四象限 D.点3,4在图像上 6.(24-25八下·云南红河州金平县)对于一次函数y=-2x+1,下列结论不正确的是() A.它的图象一定经过点(1，-1)】 B.y随x的增大而减小 c.当x心时，y0 D.它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是} 7.(24-25八下·云南红河州金平县)把正比例函数y=-2x的图像向下平移1个单位长度，得到的函数图像 的解析式为() A.y=-2(x+1) B.y=-2(x-1) C.y=-2x+1 D.y=-2x-1 8.(24-25八下·云南临沧市凤庆县·模拟)如图，△ABC的顶点坐标分别为A-4,0,B-1,0,CA⊥x轴， BC=5,蒋△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x上时，线段BC扫过的面积为() A.12 B.24 C.15 D.30 9.(24-25八下·云南普洱·期已知点-1，m和点2，n都在直线y=~2x-2上，则m与n的大小关系是 试卷第8页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n 10.(24-25八下·云南临沧中学期)已知X1,y,(X,y,X3,y,为直线y=2x-1上的三个点， 且x1<X,<x3 则以下判断正确的是() A.若x1X3<0,则y1y2>0 B.若x2X3<0,则y1y2>0 C.若x1X2>0,则y2y3>0 D.若X2X3<0,则y1y3>0 11.(24-25八下·南昆明五华区·期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0的图象不经过第二象限，但过点2,0， 则b的值可能是() A.-2 B.0 C.2 D.2025 12.(24-25八下·云南昆明五华区期末)若点m,n在直线y=-2x+4上，则代数式2m+n-1的值是 13.(24-25八下，云南临沧镇康县·期末)一次函数y=(m+1)x-3的值随x的增大而减小，满足条件的m的 值可以是 14.(24-25八下·云南个旧·期末)将直线y=3x向上平移5个单位长度后所得直线的解析式是 15.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学.模拟)将一次函数y=4x+b(b是常数且b≠0)的图象向上平移3 个单位后，该一次函数图象经过原点，则b= 16.(24-25八下·云南临沧中学.期末)将直线y=3x-1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、 第二、第一象限，则m的值可以是」 (写出一个即可)· 17.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)在平面直角坐标系中，点E是函数y=3x+2的图象上的一 点，将函数y=3x+2的图象向左平移4个单位长度，平移后，点E的对应点为点F,若点E,F关于y轴对 称，则点E的坐标为 18.(24-25八下·云南个旧·期末)已知一次函数y=kx+b(k≠0)，它的图象经过点1,9和2,13. (1)求y与x之间的函数表达式： (2)当-5≤y≤21时，直接写出自变量x的取值范围. 19.(24-25八下·云南大理州模拟)已知y关于x的一次函数y=kx-3k+1的图象为直线L. (1)证明：无论k为何值，直线l总经过点3,1： (②)当m≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为6，求l的解析式. 20.(24-25八下·云南红河州屏边县期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y1=kx+b交X轴于点 试卷第9页，共3页 A-2,0,交y轴于点B0,4:直线CD交x轴于点C4,0,与直线AB相交于点De,6. B E (1)求k和b的值： (②)若点Em,t是直线AB上的一个动点，且始终在点D的下方，请你在直线CD上描点Fn,t,连接EF, 若EF=2a(a为常数)，求m2-an+3a+2025的值， 目目 考点04 次函数与方程（组）、不等式 1.(24-25八下·云南红河州金平县)如图，函数y=x+1与y=ax+2的图象交于点P(2,3),则关于x,y的 方程组乙的解是() y=ax+2 x=2 x=3 D. x=3 B. y=3 c.{y=2 y=6 2.(24-25八下·云南德宏州·期末)如图，已知一次函数y=ax+b(a≠0)的图象为直线，则关于x的方程 ax+b=0的解x为() 2 y=ax+b -2-10 A.X=1 B.X=2 C.X=3 D.X=4 3.(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)如图是一次函数y=ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b>0 的解集为() 试卷第10页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.X>1 B.x<1 C.x>2 D.X<2 4.(24-25八下·云南昆明东川区·期末)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点2,3，则关于x的不等式 kx+b>3的解集为() y=kx+b 3 A.X>2 B.X<2 C.x>3 D.x<3 5.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)如图所示，已知直线y1=aX-2与直线y2=x+b的交点 的横坐标为-5，根据图象，下列结论中错误的是() A.a<0 B.X=-5时，y1=y2 C.b>0 D.y2≥y1的解集是X≤-5 6.24-25八下云南临沧中学期末)如图，直线y=kx+bk<0经过点A3,1.当kx+b<号x时，X的取值 范围为() 试卷第11页，共3页 A.X<0 B.X<3 C.x>3 D.x<1 7.(24-25八下·南昆明五华区·期末)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+na<m<0 的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是() y=ax+b y=mx+n 2 A.在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B.方程组 y-ax=b x=-3 y-mx=n 的解为y=2 C.方程mx+n=0的解为X=2 D.当ax+b>mx+n时，x>-3 8.(24-25八下·云南个旧期末)如图，函数y1=-2x和y2=ax+3(a≠0)的图象相交于点A-1,2,则关于 X的不等式-2x>ax+3的解集是 y1=-2x v2=ax+3 9.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县期末)函数y=kx与y=6-x的图象如图所示，则k=· 1y=6-x y=kx 目目 考点05 一次函数与实际问题 1.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)某吊绳承受的最大拉力对应的重物质量不超过6吨.在吊绳的弹性限 度内，通过实验测得吊起重物后吊绳的长度y(米)与所吊重物的质量x(吨)之间的部分数据如下表所示： 试卷第12页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 6 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 y与x的函数关系式为() A.y=0.2x+4(0≤x≤6 B.y=0.2x-40≤x≤6 C.y=4-0.2x0≤x≤6) D.y=4x+0.2(0≤x≤6 2.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)小兴进行滑轮组的拉力测试实验时，将实验得到的无数组拉力 FN和所悬挂物体的重力GN的关系绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），根据图象判断以下结 论不正确的是() FN 3 2.5 1.5 0.51 O12345GN A.F是G的一次函数 B.当拉力F=2N时，物体的重力G=2.5N C.拉力F随着物体重力G的增加而增大 D.当滑轮组未悬挂物体在空中静止时，所用拉力为1N 3.(24-25八下·云南昆明五华区·期末)某班同学在做弹簧总长y(单位：cm与所挂砝码质量x(单位：g变化 关系的实验时，记录的相关数据如表， 所挂砝码质量 15 25 40 0 50100 200 300 500 x/ 0 0 0 弹簧总长y/ 4 6 > P 8.5 8.5 8.5 cm 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是() 试卷第13页，共3页 y/cm 8.5 Ay/cm 8.5… 3 3 250 A x/g B.O 275x/g y/cm y/cm 8.5 8.5 C. 300x/g D. 350x/g 4.(24-25八下.云南红河州金平县)小明骑自行车去上学，所走的路程S(单位：千米)与时间t(单位： 分)之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是() S/千米 3 0123456789101/分 A.小明家距学校4千米 B.小明提速后的速度为1千米/分钟 C.小明走完全程用了10分钟 D.小明上学的平均速度为0.4千米/分钟 5.(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)小明家、学校、书店在同一条直线上，某日小明骑车上学，当他 骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续骑行去学校.下图反映了这 个过程中，小明离家的距离与骑行时间之间的对应关系，根据图象，下列判断正确的是()， 试卷第14页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ◆离家距离（米） 学校 1500 1200 900 600 300 09 2468101214时间（分钟） A.小明家到学校的路程是1500m B.小明在书店停留了2min C.小明一共行驶了2100mD.在整个上学的途中小明骑车的最快速度是300m/min. 6.(24-25八下·云南丽江地区·模拟)甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往 B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟.甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继 续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程 y(单位：m)与甲骑行的时间x(单位：mn)之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（) y/m↑ 2000 1250 520 85 x/min A.甲的骑行速度是250m/min B.A,B两地的总路程为22.5km c.乙出发60min后追上甲 D.甲比乙晚5min到达B地 7.(24-25八下·云南临沧中学期末)嘉嘉和琪琪住在同一小区，星期六嘉嘉和琪琪相约去体育场，嘉嘉骑车 前往，路过一个超市购买了一些食品，然后以相同速度继续前行；琪琪直接乘公交车前往目的地.如图所 示是两人从小区到体育场所走路程s(米)与所用时间t(分钟)之间的关系图象，则嘉嘉比琪琪晚到 () s(米) 琪琪嘉嘉 3600---- 1200-- 0 5811 分钟) A.5分钟 B.6分钟 C.7分钟 D.8分钟 8.(24-25八下·云南大理州·模拟)3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑-2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园 门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(时)变化的图象（全程）如图所示.有下列说法： 其中，错误的说法是() 试卷第15页，共3页 y/千米 乙甲 42.195 21 1 2.16x/时 A.起跑后1小时内，甲在乙的前面 B.第1小时两人都跑了21千米 C.甲比乙先到达终点 D.两人都跑了42.195千米 9.(24-25八下·云南玉溪期末)某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力F与弹簧的伸长量x之间的关 系，设计如图所示的实验装置.弹簧在未悬挂钩码时长度为6Cm,在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下 弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得 数据填入下表： 弹簧 钩码 铁架台 刻度尺 弹簧受到弹力 0 30 60 120 150 (N) 0 弹簧的长度(cm) 6 8 10 14 16 请帮该兴趣小组解决下列问题： (1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量X为横轴，弹簧弹力F为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧 伸长量=弹簧受力后的长度一弹簧原长度)， 个FN 180 150 120 90 60 30 0246810121416x/cm ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线： 试卷第16页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②写出弹簧弹力F与弹簧的伸长量的函数关系式 ；(不要求写自变量的取值范围) (②)如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久 形变.实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为18C,该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由. 弹簧受到弹力(N) 0 30 母 90 120 150 弹簧的伸长量(cm) 0 2 4 6 8 10 10. (24-25八下·云南昆明东川区·期末)2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》以创新手法重塑传统故事， 结合世界级特效技术，不仅在国内创下票房纪录，更在全球引发热议.某漫画社准备购进“哪吒”毛绒玩 具和“敖丙”钥匙扣共20个作为奖品奖励获奖学生，在某官方旗舰店看到“哪吒”毛绒玩具每个180元， “敖丙”钥匙扣每个0元.若设该漫画社购进“哪吒”毛绒玩具x个，购买奖品的总费用为y元， (I)求y与x之间的函数关系式： (②)若购进“敖丙”钥匙扣的数量不超过“哪吒”毛绒玩具数量的3倍，则应购进“哪吒”毛绒玩具和“敖 丙”钥匙扣各多少个使购买奖品的总费用最少？此时购买奖品的最少费用为多少元？ 11.(24-25八下·南昆明五华区·期末)为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两 个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售： 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折. 设需要购买体育用品的原价总额为X元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付yz元，其函数图象 如图所示. 甲 A 300 0300 (1)分别求y甲，yz关于x的函数关系式： (2)两图象交于点A,求点A坐标： (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算. 12.(2425八下·云南临沧镇康县·期末)在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动 各行业变革的关键力量.为提升AI模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的GPU卡.已知购 买6块甲型GPU卡和8块乙型GPU卡共需170万元，购买5块甲型GPU卡和4块乙型GPU卡共需115万 试卷第17页，共3页 元 (1)每块甲型GPU卡和乙型GPU卡的价格各是多少万元？ (②)该实验室预计采购甲、乙两种类型的GPU卡共40块，甲型GPU卡的数量不少于乙型GPU卡数量的4 倍，如何分配两种GPU卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 13.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场.2025年 3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1 捆玫瑰需90元. (1)求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价： (2)该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫 瑰共80捆，在当天下午4：00就全部销售完，且获得了最大利润.已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别 是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 14.(24-25八下·云南红河州金平县)2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与 游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的，现在国外也 是受欢迎的.”某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡的信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 60 乙 y 75 若该专卖店购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花 费1230元. (I)求x,y的值： (2)该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量 的 设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的利润为w元，求的最大值. 15.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)某房地产开发公司计划建A,B两种户型的经济适用住 房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的 建房成本和售价如下表： 户型 B 试卷第18页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 成本（万元/套》 25 28 售价（万元/套)》 30 34 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ (2)若该公司所建的两种户型住房按计划全部售出.请问哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润 16.(24-25八下·云南个旧·期末)根据以下素材，完成探究学习任务 如何为村民小组设计总费用最少的购进方案？ 2025年3月15日，“花开四季，‘香’约云南·住在梨香花海里”网络主题宜传活动在红河州个旧 背 市博泰小院正式启动.东风知春意，万亩梨花开，个旧市加级寨、哨冲万亩梨花迎来盛花期，“梨 景 园春晓·万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏.某村民小组计划购 进梨膏和梨醋进行销售。 素 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，若购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元. 材 问题解决 任 务 确定单价 求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ 1 任 若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多 拟定总费用最 务 50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费 少的购进方案 用 17.(24-25八下·云南曲靖·期末)今年，土瓜冲村在云南备受瞩目，这个位于曲靖市马龙区通泉街道杨官田 社区的村落，因打造乡村旅居示范点，在乡村振兴之路上的卓越表现而备受赞誉.我市某村走访了土瓜冲 村，学习、了解土瓜冲村的发展模式，并决定充分利用乡村资源，结合先进理念，平衡群众、集体和企业 的利益，从而推动文旅产业的新发展，助力乡村振兴.经过深入的调查研究，该村决定利用当地盛产的甲、 乙两种原料开发A、B两种商品。 如何设计合理的生产方案 素材一 为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料270千 试卷第19页，共3页 克，乙种原料254千克. 生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示： 甲种原料（单位：千克） 乙种原料（单位：千克） 生产成本（单位：元） 素材二 A商品 J 100 B商品 2 3 180 设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元. 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 (1)请你利用不等式的相关知识说明有多少种生产方案： (2)求y与x的函数解析式，并求出当x取何值时，应如何安排生产方案才能使总成本y最 任务二 小？最小成本为多少元？ 18.(24-25八下·云南临沧中学期末)某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，若每种商品均用去 一半的钱，则一共可购进750件：若用的钱买甲种商品，其余的钱买乙种商品，则要少购进50件，卖出 时，甲种商品可盈利20%，乙种商品可盈利25%. (1)求甲、乙两种商品的购进价和卖出价； (2)因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，那么该商人应采取怎样的购货方式才能获得最大 的利润？最大利润是多少？ 目目 考点06 一次函数与几何的综合应用 1.(24-25八下·云南丽江地区·模拟)如图，直线AO⊥OB,垂足为O,线段AO=6,BO=8,以点A为圆 心，AB的长为半径画弧，交射线AO于点C,则OC的长为() B A.3 B.4 c.5 D.6 试卷第20页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 2.(24-25八下·云南普洱期末)如图，一次函数y=二X-2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,则 3 △OAB的面积为 B 3.(24-25八下·云南昆明五华区·期末)如图，直线1：y=-x-3与过点A(0,3)的直线2交于点C(, 1),与y轴交于点B. (1)求直线2的解析式： (2)点P在直线上，PQx轴，交直线2于点Q,若PQ=AB,求点P的坐标. Bl 4.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自期末)在平面直角坐标系中，将直线y=- x+b向上平移3个单 3 位长度后，所得的直线l1分别与x轴，y轴交于点A,B,与直线l2:y=x+5交于点C-3,a.直线 y=x+5交x轴于点D-5,0,E是AD的中点，连接CE. (1)求a,b的值： ②Mm,n是线段AB上的一动点，M是M关于y轴的对称点，当M在△CDE内部时（不含边界），求 m的取值范围， 5.(24-25八下·云南红河州金平县·)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为(2,0)，(0,4). 试卷第21页，共3页 B (I)求直线AB的函数解析式： (2)求AB的长： (3)若P为坐标轴上一点，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标. 6.(24-25八下·云南临沧市凤庆县·模拟)如图，直线1是一次函数y=kx+b的图象. (1)求这个一次函数的解析式： (2)连接OA,求△ABO的面积： 3)根据图象直接写出0<kx+b≤2的解集， 7.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)如图所示，直线y=2x+3与直线y=-2x-1相交于点 C,并且与两坐标轴分别交于A,B两点. (1)求两直线与y轴交点A,B的坐标及交点C的坐标： (2)求△ABC的面积. 8.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为 2,0,0,4. 试卷第22页，共3页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y B A） (1)求直线AB的函数表达式： (②)若P为直线AB上一动点，△AOP的面积为6，求点P的坐标. 9.(24-25八下·云南保山腾冲期末)如图，函数y=3x+6的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B,函数 y=-X+2的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C,直线AB,CD相交于点M. y=、x+2 M 3p1@1人 4 y=3x+6-2 (1)请直接写出点M的坐标： (2)求△BCM的面积： 3)点N在直线CD上，使得S△BMN=4 SA AMC,求点N的坐标. 10.(2425八下·南昆明五华区·期末)如图，点A,B分别是x轴上位于原点两侧的两点，点P(2,p)在第 象限，直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,SAAOP=6. (1)求SACOP; (2)求点A的坐标及p的值； 3)若S44op=S4BOP,求直线BD的函数表达式. D B 试卷第23页，共3页 11.(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)如图，在平面直角坐标系中xOy,过点B(6,0)的直线AB与直 线OA相交于点A(4,2). y个 (1)求直线AB的解析式： 1 (②)点D在线段AC上，当S△oDC=2 SAAOC,求点D的坐标： 3)在X轴上是否存在一点P,使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理 由 12.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自：期已知直线1：y=ax+ba≠0卢x轴，y轴分别交于点 A4,0,B0,2,交直线l2y=2x+7于点M.求： (1)直线1的解析式： (②)四边形COBM的面积. 13.(24-25八下·云南昆明盘龙区期末)3.已知直线AB:y=kx-2k(k<0)交x轴于点B,交y轴于点 A. 试卷第24页，共3页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 图1 图2 (1)如图1，若点A的坐标为0,4，求直线AB的解析式： (②)在(1)的条件下，若点P在y轴上，且SAAB即=8，求满足条件的点P的坐标： 3)如图2，若直线CD: =女x-交AB于点D,点C的横坐标为-1，以下结论：ADAC<2, 2-2 BD AD-AC=2,AD-AC>2,你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论， BD BD 14.(24-25八下·云南丽江·期末)如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，∠AOB=90°， 点A的坐标为-7,1，直线AB分别交X轴、y轴于点C,D,直线EF分别交x轴、y轴于点F,E,且 OC=OE,OD=OF. D B F六衣 1)求点B的坐标. (②)求直线EF的函数解析式，并判断点B是否在直线EF上. (3)在平面直角坐标系内是否存在动点P,使得以A,B,O,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 15.(24-25八下·云南临沧市模拟)【建立模型】 (I)如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥BD,垂足分别为C,B,D, AB=BE,求证：△ACB≌△BDE 【类比迁移】 (2)如图2，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B,将线段AB绕点B逆时针旋转 90°得到BC、直线AC交x轴于点D. 试卷第25页，共3页 ①写出点C的坐标是 ②求直线AC的解析式： ③写出△ADB的面积是 B 图1 图2 16.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学模拟)美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰 Rt△ACB的直角顶点C作直线l,过点A作AD⊥I于点D,过点B作BE⊥I于点E,研究图形，不难发 现：△ADC≌△CEB. AO B武 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB,∠ACB=90°，AC=BC,点C的坐标为0，-1，A 点的坐标为2,0，求B点坐标： (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线1：y=2x+6分别与y轴，x轴交于点A,B,将直线l绕点A顺时 针旋转45°得到2，求l2的函数表达式： 3)如图4，直线y=2x+2分别交x轴、y轴于点A,C,直线BC过点C交x轴于点B,且∠CBA=45°， 若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为 顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标. 试卷第26页，共3页