专题02勾股定理（期末真题汇编，云南专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 勾股定理专题汇编，涵盖5大考点，精选云南多地期末模拟题，注重古算文化（如赵爽弦图、《九章算术》问题）与实际应用（楼梯地毯、最短路径），梯度覆盖基础到综合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20道|勾股定理应用、逆定理、命题判断|结合赵爽弦图面积计算、古算折竹问题| |填空|约5道|直角三角形边长计算、坐标系距离|融入矩形折叠、数轴表示无理数| |解答|约10道|最短路径、综合证明与计算|设计台风影响、四边形面积等真实情境，考查定理综合运用|

专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01勾股定理以及勾股定理的实际应用 考点02勾股定理最短路径问题 考点03命题与定理 考点04勾股定理逆定理 考点05勾股定理与勾股逆定理综合运用 考点01 勾股定理以及勾股定理的实际应用 1．(24-25八下·云南大理州·模拟)如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 2．(24-25八下·云南昆明五华区·期末)如图是屋架设计图的一部分，如果斜梁 、横梁 ，那么从横梁上的任意一点D支一根木头顶往屋顶A处，这根木头的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于点E，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，，即， 故这根木头需要长度可能是， 故选：C． 3.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族自治州蒙自市·模拟)如图，在中，，，点是上的一点，连接，当，时，的长为（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，在中，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，在中，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选∶C． 点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 4．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为，．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股弦图、完全平方公式等知识点，熟练掌握公式变形以及弦图的几何意义是解题的关键． 根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴． ∴大正方形的边长为． 故选D． 5．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（   ） A． B．8 C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解． 【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6， ∴，， ∴ ∴， 由题意知：， ∴， ∴正方形的面积为8， 故选：B． 6．(24-25八下·云南临沧市中学等学校模拟)赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，找出图形中的全等图形是解题关键．根据正方形的性质，先证明，再根据四个全等的直角三角形，证明出，从而推出，设，则，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：正方形， ， 正方形， ，， M是的中点， ， 在和中， ， ， ，， 由题意可知，， ，，， ，， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：C． 7．(24-25八下·南昆明五华区·期末)已知的周长为，斜边的长为，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理，掌握勾股定理是解答本题的关键． 根据已知列方程组，再根据完全平方公式即可求得两直角边的积，从而求得三角形的面积． 【详解】解：设，， ∴， ∴， ， ， 的面积为 ． 故选：D． 8．(24-25八下·云南德宏州·期末)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 9.(24-25八下·云南昆明市五华区·模拟)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈尺，1尺寸)如图，若设门的高为尺，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．高是尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设门的高为尺，则宽为尺，根据勾股定理得， ， 故选：B． 10．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 11．(24-25八下·云南个旧·期末)如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 12．(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理解应用题，由题意可知，，，，在中，由勾股定理得到，数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，，， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 故选：B． 13．(24-25八下·南昆明五华区·期末)如图，在Rt中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 14．(24-25八下·云南个旧·期末)如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 15．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这只铅笔在笔筒外面部分的长度为，则这只铅笔的长度可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理求出这只铅笔在笔筒的内部的长度范围，进而求出这只铅笔的长度范围，然后判断即可． 【详解】解：∵笔筒的内部底面直径是，内壁高， ∴这只铅笔在笔筒的内部的长度最短为，最长为， ∴这只铅笔的长度最短为，最长为， 只有D符合题意， 故选：D． 16．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及勾股定理，根据勾股定理，计算原点O到点A的距离． 【详解】解：点A的坐标为，由勾股定理得． 故答案为：． 17．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)若直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足，则该直角三角形的第三边长为______． 【答案】或 【分析】根据得，分类计算即可． 本题考查了实数的非负性，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 当4为斜边时，第三边长为； 当都是直角边时，第三边长为， 故答案为：或． 18．(24-25八下·云南普洱·期末)8．如图，在矩形中，，，边在数轴上，点表示的数为0．以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点，则点所表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、实数与数轴的关系、勾股定理的应用等知识点，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方是解题的关键． 先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据O点为原点，可得M点表示的数． 【详解】解：∵矩形中， ∴，，， ∴． ∵O点为原点， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 19．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，绳子长度比木棍高度多3尺，当绳子拉直时，木棍高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：设绳子长度为尺，则木棍高度为尺， 依题意，当绳子拉直底端着地时，有， 解得， 答：绳长为尺 20．(25-26八上·湖南常德外国语学校·期末)小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A作于点E，在中，由勾股定理得出的长可推出结果； （2）假设能上升，如图，延长至点F，使，连接，根据勾股定理求出的长，可推出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， 则，，， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 不能上升． 21．(24-25八下·云南临沧中学·期末)在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即， 答：这棵树高米． 22．(24-25八下·云南个旧·期末)勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． （2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 23．(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)【背景介绍】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，用它可以证明勾股定理．图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简得：．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，求边上的高； (2)如图3，在中，，，，是边的中线．在中，用a，b，c表示． 【答案】(1)边上的高为 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形的面积公式，解题的关键是熟练运用这些知识． （1）先用割补法求出的面积，再用底高表示面积，根据“双求法”列式，即可求出边上的高； （2）过点作于点，如图3，由是边的中线，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作边上的高， ， ， ， ， 解得， （2）过点C作于点F，如图3， ∵是边的中线， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：，， 即，得： ， ， ， ， ， 即， ． 考点02 勾股定理最短路径问题 1．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路线问题及勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．将圆柱侧面展开图如图所示，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程即为的长，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱高为，底面圆的周长为， ， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程为的长， 在中， ． 故选：B． 2．(24-25八下·云南文山·)如图，圆柱体的底面直径为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点处觅食，则爬行的最短路程为________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题，解题的关键是将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】如图所示，将圆柱展开， ∵圆柱体的底面直径为， ∴ ∵高为 ∴ ∴爬行的最短路程为． 故答案为：13． 3．(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要______厘米． 【答案】13 【分析】本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 考点03 命题与定理 1．(24-25八下·云南个旧·期末)下列命题是假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．菱形的对角线平分一组对角 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理和命题真假判断，掌握判定定理是解题关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质判断即可． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，故为真命题； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故为假命题； 菱形的对角线平分一组对角，故为真命题； 对角线相等且互相垂直平分的四边形同时满足菱形和矩形的性质，故为正方形，故为真命题； 故选：． 2．(24-25八下·云南曲靖·期末)下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题的是（   ） A．两直线平行，同位角不相等 B．同位角相等，两直线平行 C．同位角不相等，两直线不平行 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查命题的逆命题的概念．逆命题是将原命题的条件和结论互换后的命题，据此解答即可． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故选：B 3．(24-25八下·云南昆大理州·模拟)下列命题是假命题的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定和性质．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定和性质定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则原命题是真命题，本选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，则原命题是真命题，本选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，则原命题是真命题，本选项不符合题意； D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，则原命题是假命题，本选项符合题意； 故选：D． 考点04 勾股定理逆定理 1．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)已知四组数据：①；②；③；④．以每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形三边关系， 对于每组数据，先判断是否能构成三角形（任意两边之和大于第三边），再判断是否满足勾股定理． 【详解】解：①，故不能构成直角三角形； ②，故能构成直角三角形； ③，不能构成三角形； ④，故能构成直角三角形； ∴能构成直角三角形的组数为②和④， 共2组， 故选：C． 2．(24-25八下·云南昆明东川区·期末)在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】A．∵， ∴ ∴是直角三角形，则A不符合题意； B．∵ ， ∴， 所以是直角三角形，则B不符合题意； C．∵， ∴ ∴不是直角三角形，则C符合题意； D．∵， ∴， ∴是直角三角形，则D不符合题意． 故选：C． 3．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)下列各组3个整数是勾股数的是（    ） A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数问题，首先勾股数都是正整数，且两个较小的正整数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴6，8，9不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴13，14，15不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，15，17是勾股数，符合题意； 故选；D． 4．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 5．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了勾股定理的应用及勾股定理逆定理证明．通过勾股定理求出、、的长度，再根据勾股定理的逆定理来证明结论． 【详解】证明：在网格图中，在一个直角边分别为2和2的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 同理，在一个直角边分别为3和3的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 在一个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ∴． 6．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)在军事和航海上经常要确定方向和位置．从而经常需要使用一些数学知识和方法．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“龙腾”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ∴， ∴“海天”号沿北偏西（或西北）方向航行． 考点05 勾股定理与勾股逆定理的综合运用 1．(24-25八下·云南普洱·期末)如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 2．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 3．(24-25八下·云南文山·)如图，在四边形中，，，，，，求的面积．    【答案】的面积是30． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明为直角三角形，然后根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 即的面积是30． 4．(24-25八下·南昆明五华区·期末)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得； （2）当时，台风正好影响海港，利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用除以台风的速度即可得． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响． （2）解：如图，当时，台风正好影响海港， ∴， ∴， ∵台风的速度为， ∴， 答：台风影响该海港持续的时间为． 5．(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是234 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ． 答：空地的面积是． 6．(24-25八下·云南大理州·模拟)如图，在中，，，点是边上的一点，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，发现是一组常见的勾股数，故易证是直角三角形； （2）由（1）易得是直角三角形，再根据勾股定理列出关于直角三角形的三边关系式，结合，可以将关系式转为是关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形． （2）解：是直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 解得， 故的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 勾股定理 ☆高频考点概览 考点01勾股定理以及勾股定理的实际应用 考点02勾股定理最短路径问题 考点03命题与定理 考点04勾股定理逆定理 考点05勾股定理与勾股逆定理综合运用 目目 考点01 勾股定理以及勾股定理的实际应用 1.(24-25八下·云南大理州模拟)如图，在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 要() 13m 5m A.8m B.13m C.17m D.18m 2.(24-25八下·云南昆明五华区·期末)如图是屋架设计图的一部分，如果斜梁AB=AC=5m、横梁 BC=8m,那么从横梁BC上的任意一点D支一根木头顶往屋顶A处，这根木头的长度可能是() B D A.2.5m B.2.9m C.4m D.6m 3.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族自治州蒙自市模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°，点D是AC上的一点，连接BD,当∠BDC=60°，CD=2时，AB的长为() 试卷第1页，共3页 D C B A.6 B.45 c.4v3 D.10 4.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学模拟)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长 度分别为m,(m>.若小正方形的面积为9，(m+n2=21,则大正方形的边长为() m n A.25 B.V13 c.14 D.15 5.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族蒙自·期末)我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”.如图是用 四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形 EFGH的面积为() E B C A.2V2 B.8 C.20 D.25 6.(24-25八下·云南临沧市中学等学校模拟)赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形 ABCD,中间是一个小正方形EFGH,连接DE与FG相交于点M,延长DE交BC于点N,若M是DE的中 点，AB=8,则EN的长() 试卷第1页，共3页 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B N A. B. C.2 D.6 7.(24-25八下南昆明五华区期末)已知Rt△ABC的周长为4+2W3,斜边AB的长为2W3,则Rt△ABC 的面积为() A.2 B.25 c.5 D.1 8.(24-25八下·云南德宏州期末)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10 尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺， 根据题意，可列方程为() x尺 63尺 A.x2+32=(10-x)2 B.x2+32=102 C.(10-x)2+32=x2 D.(10-x2+x2=32 9.(24-25八下·云南昆明市五华区模拟)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高 多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺8寸，门 对角线的长度恰好为1丈，问门的高和宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如图，若设门的高为x尺， 则根据题意可列方程为() x尺 A.x2+(x+6.8)2=102 B.x2+(x-6.8)2=102 C.(x+6.8)2-x2=102 D.(x-6.8)2-x2=102 10.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)如图，小宇将2.6米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此 试卷第1页，共3页 时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是() A.1.5米 B.1.6米 C.2米 D.2.4米 11.(2425八下·云南个旧·期末)如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一 根芦苇，高出水面2尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦 苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为() A.x2+62=122 B.(12-1)2+62=x2 C.x2+62=(x-2)2 D.(x-2)2+62=x2 12.(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇模拟)如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图 所示，遮阳糊收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面90cm(即CE=90cm),将其展开至 点B距离墙面140cm的位置时（即水平距离BD=140cm),AB=180cm,则此时棚骨外端B离地面的 垂直高度为() 》 D E A.（270-80v5)cm B.（270-80W2)cm c.(90+80V2)cm D.（90+10W3)cm 13.(24-25八下·南昆明五华区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,分别以各边为 直径作半圆，则图中阴影部分的面积为() 试卷第1页，共3页 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.6 B.25 C.4π-6 D.器m 14.(24-25八下·云南个旧期末)如图，长方形纸片ABCD中，BC=2,DC=1,将它沿对角线AC折叠， 使点D落在点E处，则BF为() E A. B.2 C.1 D.3 15.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直 径是9cm,内壁高12cm,若这只铅笔在笔简外面部分的长度为3cm,则这只铅笔的长度可能是() A.9cm B.12cm C.14cm D.18cm 16.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)在平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为(4,2)，则线段0A的长为 17.(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)若直角三角形的两边的长分别为m、n,且满足 Vm-3+(n-4)2=0,则该直角三角形的第三边长为· 18.(24-25八下·云南普洱·期末)8.如图，在矩形ABC0中，0C=1,BC=3,边0A在数轴上，点0表 示的数为0.以点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点M,则点M所表示的数是， B 3M4 19.(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木， 试卷第1页，共3页 系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系 一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺.把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木 棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 20.(25-26八上湖南常德外国语学校·期末)小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题， 他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m;根据手中余线长度，计算出AC的长度 为17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为15m.已知点A,B,C,D在同一平面内. b B D (I)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成功？请说明理由 21.(24-25八下·云南临沧中学·期末)在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下 树跑到A处（离树10米）的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴 子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ D B 22.(24-25八下·云南个旧·期末)勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具， 也是数形结合的纽带 B 01 图1 图2 (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点. 如图1，在数轴上找出表示3的点A,过点A作直线1⊥OA,在1上取点B,使AB=2,以原点O为圆心， OB为半径作弧，则点C表示的数为 试卷第1页，共3页 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)应用场景2：解决实际问题， 如图2，秋千静止时，BE=1m,将它往前推至点C处时，水平距离CD=4m,CF=3m,它的绳索始终 拉直，求绳索AC的长， 23.(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)【背景介绍】赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我 国古代数学的骄傲.如图1的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中空的部分是一 个小正方形，用它可以证明勾股定理.图中大正方形的面积有两种求法：一种是等于c2,另一种是等于四 个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即4×ab+(b一a)2,从而得到等式 c2=4×ab+(b-a)2,化简得：a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程 的方法，我们称之为“双求法” a D 图1 图2 图3 【方法运用】 (1)如图2，在6×6的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC,求AB边上 的高 (2)如图3，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,CD是AB边的中线.在△ABC中，用a,b,c 表示CD2 目目 考点02 勾股定理最短路径问题 1.(24-25八下·云南临沧耿马自治县期末)如图，圆柱的底面周长为24cm,高为5cm,蚂蚁在圆柱侧面爬 行，从点A爬到点B(点B在点A的正对面)的最短路程是() A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm 2.(24-25八下·云南文山)如图，圆柱体的底面直径为是cm,高AB为5cm,BC是上底面的直径，一只蚂 试卷第1页，共3页 蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C处觅食，则爬行的最短路程为 cm. 3.(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底 面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要厘米。 B 目目 考点03 命题与定理 1.(24-25八下·云南个旧期末)下列命题是假命题的是（) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C.菱形的对角线平分一组对角 D.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 2.(24-25八下·云南曲靖期末)下列选项中，是命题“两直线平行，同位角相等的逆命题的是() A.两直线平行，同位角不相等 B.同位角相等，两直线平行 C.同位角不相等，两直线不平行 D.以上都不对 3.(24-25八下·云南昆大理州模拟)下列命题是假命题的是() A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 目目 考点04 勾股定理逆定理 1.(24-25八下·云南临沧镇康县期末)已知四组数据：①2,2,3；②0.3,0.4,0.5；③4,5,9；④5,12,13.以 每组数据分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的组数有() A.0组 B.1组 C.2组 D.3组 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2.(24-25八下·云南昆明东川区·期末)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列条件中， 不能判断△ABC为直角三角形的是() A.a=3,b=4,c=5 B.∠A:∠B:∠C=1:1:2 C.a=5,b=11,c=13 D.a2=b2-c2 3.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学模拟)下列各组3个整数是勾股数的是() A.4,5,6 B.6,8,9 C.13,14,15 D.8,15,17 4.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的13个结，然后以3个结间 距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是() 45678910111213 A.300 B.45 C.60o D.90° 5.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)如图，网格图中每个小正方形的边长都是1.△ABC的三个顶点都 在网格线的交点上.求证：AB⊥AC B 6.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)在军事和航海上经常要确定方向和位置.从而经常需要使 用一些数学知识和方法.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“龙腾”号，“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行，“龙腾”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5小时 后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“龙腾”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航 行吗？ 试卷第1页，共3页 目目 考点05 勾股定理与勾股逆定理的综合运用 1.(24-25八下·云南普洱期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点 都在格点（网格线的交点）上。 B (1)求线段BC和CD的长. (2)∠BAD是直角吗？请说明理由. 2.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学模拟)如图，每个小正方形的边长均为1，A,B,C,D均为格点. (1)直接写出下列线段的长度：AB=-,AD=- (2)连接BD,判断△ABD形状，并证明你的结论 3.(24-25八下·云南文山)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,CD=12, AD=13,求△ACD的面积. A 4.(24-25八下·南昆明五华区期末)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形 成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿AB方向由点A向点B移动，己知点C为一海港，且 试卷第1页，共3页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点C与直线AB上两点A,B的距离分别为60km和80km,AB=100km,以台风中心为圆心周围50km以 内为受影响区域. B (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为14kmh,则台风影响该海港持续的时间有多长？ 5.(24-25八下·云南昆明盘龙区·期末)为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居 环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动，志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四 边形空地ABCD(如图)进行绿化，经测量∠ABC=90°，AB=7米，BC=24米，CD=20米， AD=15米，求空地的面积. D 街 A B 街道 6.(24-25八下·云南大理州模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,点D是边AC上的一点， BD=8,CD=6. B (1)求证：△BDC是直角三角形； (2)求线段AD的长. 试卷第1页，共3页