专题01二次根式（期末真题汇编，云南专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 二次根式专题汇编，整合云南多地期末/模拟题，覆盖定义性质、最简同类、混合运算及应用四大考点，通过黄金分割估算、“穿墙”规律探究等设计，实现基础巩固与创新应用的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|23题|二次根式定义（如第1题取值范围）、性质（如第3题a的范围）、估算（如第9题黄金分割数）|结合数轴化简（第4、5题）、规律探究（第6、7题）| |填空|3题|有意义条件（第11题）、比较大小（第12题）、规律猜想（第13题“穿墙”现象）|设置阅读材料引导自主推理| |解答|17题|混合运算（如第8-13题）、分母有理化（第15题）、实际应用（第1题相对论时间、第2题海伦公式）|融入跨学科情境（物理相对论）、数学文化（海伦-秦九韶公式）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01」 二次根式 ☆高领考点概览 考点01二次根式的定义和性质、二次根式的估算以及比较大小 考点02最简二次根式及同类二次根式 考点03二次根式的混合运算 考点04二次根式的应用 目目 考点01 二次根式的定义和性质、二次根式的估算以及比较大小 1.(4,25八下云南临沧市凤庆县凤山镇模拟若式子x-3+X一4在实数范围内有意义，则x的取位 1 范围是() A.X≥3 B.x>4 C.x≥3且x≠4 D.X≥4 2.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学模拟)下列运算正确的是() A.2x5-X=2x4B.-2x4=-8x2C.x5÷x2=x ， D.-x2=x 3.(24-25八下·云南昆明安宁第一中学：模拟若a-4=4-a则a的取值范围是（） A.a<4 B.a≤4 C.a>4 D.a≥4 4.(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇模拟)已知实数α，b在数轴上的位置如图所示，则化简 b-aP+a的结果是() a b -1 0 1 A.-b B.2a-b C.b D.b-2a 5.(24-25八下·南昆明五华区·期末)实数α，b在数轴上对应点A,B的位置如图，化简 la+bl-Va-Va+2ab+b的结果是() 试卷第1页，共3页 b A.a B.-3a-2b C.-a D.a+b 6.(24-25八下·云南红河州金平县)按一定规律排列的一组二次根式：3，V8,15,V24,…,则第6 个二次根式为() A.V30 B.V35 c.V42 D.V48 7.(24-25八下·云南大理州模拟)观察并分析下列数据，寻找规律：0，V3,V6,3,2V3,15,3V2, …,那么第9个数据应是（) A.9V3 B.10V3 c.2V6 D.33 8.(24-25八下·云南临沧镇康县期末)估计27的值在() A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 9.(24-25八下·云南个旧·期末)黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处 不在.黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的 5-1 5-1 比值，其比值为2，通常人们把这个数叫做黄金分割数.请估计2 的值在() A0和宁之间B和1之间 C1号之间 D. 3和2之间 10.4-25八下·云南红河州屏边县·期末)数学老师给出了以下四个代数式：①e/a,②e/云，③。4，④a 且告知a>1.小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列 排序正确的是() A.①②③④B.④②③① C.①④③② D.③②①④ 11.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)若式子x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.(24-25八下云南昆明东川区期末)比较大小：3√2√17（填“>”，“<”或“=”）. 13.(24-25八下·云南昆明五县区·期末)【阅读材料】先来看一个有趣的现象： 2号-22- 2 这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不 3 妨把这种现象称为“穿墙”·具有这现象的数还有许多，例如： 【猜想】(1) 5 y24: 试卷第2页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【推理证明】(2)请你用一个正整数n(为“穿墙”数，n≥2)表示含有上述规律的等式，并给出证明. 8 【创新应用】(3)按此规律，若a+ a (a,b为正整数)，求a+b的值. 目目 考点02 最简二次根式及同类二次根式 1.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.3 B.V3.2 C.V32 2.(24-25八下·云南红河州金平县)下列各二次根式中，属于最简二次根式的是() A.V6 B.V0.2 c.8 D.V9 3.(24-25八下-云南临沧中学期根式y18,21,0.5,VX-y,3a,a-20+2中，最简二次根式有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(24-25八下·云南红河州屏边县期末)下列二次根式中，能与3合并的是（) A.6 B. c.V12 D.V18 5.(24-25八下·云南丽江地区中学等学校：模拟)若18与最简二次根式Vm+1能合并，则m的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 目目 考点03 二次根式的混合运算 1.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)下列运算正确的是() A.-2=-2B.2+V5=7 c.V2×3=/6 D. 2a-1 2ab b 2.(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)下列计算错误的是() A.2-2 B.x5÷X2=x C.20÷2=V10 D.(xy=xy2 3.(24-25八下·云南个旧·期末)下列计算正确的是（) A.V2+V3=V5 B.V12÷V3=4 .V5×93=V15 D.5V5-4V5=1 4.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)下列等式成立的是() 试卷第3页，共3页 A3+492=72B.98×5=5c.56=295D.97-3-3 5.(24-25八下·云南临沧中学·期末)下列运算结果正确的是() A.23+32=55 B.-5=5 C.V8÷V2=2 D.9/-4)×(-9)=-4×9-9 6.(24-25八下·云南普洱期末估计5×3+5的值应在（） A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 7.(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)有下列四个算式：①2+V5=7:②5VX-2Vx=3VX, ®33a+号27a=65a:④8+50-4+25=7.其中正确的是（). 2 A.①④ B.③④ C.②③ D.①③ 8.24-25八下-云南红河州金平县)计绿：27+95-2(5+2-2×得-6÷2. 924-25八下-云南临论联马自治县期利计外：-2+2×8+月'-1-3+8 10.0425八下云市临欧锁康具考未计第：(924-96)=6+6×日 1.4-25八下云南个阳-期刺计第：-15+-2+号-2024-mP+代2+1川2-1 12.04-25八下云南普洱期利计第：3-2+5-2-2 +2V2+1片 13.4-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县期未计算：32+2332-23-3-2 14.(24-25八下·云南普洱期末)已知m=2+3,n=2-3,求下列各式的值. (1)2 m'n+mn2. 2)1-1 m n 试卷第4页，共3页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 /2 2 15,Q425八下云南大理州模拟在进行二次根式化简时，檬3：号可3+这样的式了，我们可以将 其进一步化简：5- 5×V35V3 2×3V6 2 2×R3-1 33×V33 =3-1·这 3 V3×33 V3+13+1×93-1 种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： 5+3 2)矩形的面积为3V5+1,一边长为5-2，求它的周长. 16.(24-25八下…云南玉溪期末)某同学在解决问题：“已知a= 2-1求4口2-8a-1的值”时，他是这 样分析的： 2+1 :a=2-1R2-12+1 =V2+1: .a-1=V2, ∴.(a-12=2'a2-2a+1=2' ∴.a2-2a=1, ∴.4a2-8a-1=4a2-2a-1 =4×1-1 =3. 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： 1 1)若a 2+求2a2-8a+3的值： @在(1)的条件下，求30-120t2a+2023的值 2026 17.24-25八下·云南临沧中学·期末)【阅读理解】 先阅读，再解答：由5+35-3=5？-3？=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘， 积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因 试卷第5页，共3页 式，有时可以化去分母中的根号，例如： 1 5-2 5-2 5+25+V25-V23 请根据以上信息，完成下列问题. 【新知运用】 (1)写出2-1的一个有理化因式： 2 (2)化去式子分母中的根号：46 (3)化去式子分子中的根号： V5-3 2 ；(直接写结果) 【拓展应用】 (4)求x+1-x-1的最大值， 18.(24-25八下·云南文山壮族苗族自治州·模拟)【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 1 己知a= 2+3,求2a-8a+1的值. 他们是这样解答的： 1 2-V3 a=- =2-V3 2+V32+3川2-V3 .a-2=-93 a-2=3即a2-4a+4=3 ∴.a2-4a=-1, 2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1' 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 02 (2)若a= 1 5-一2，求2a4-8a3-8a+4的值. 19.(24-25八下·云南个旧·期末)在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果.例如， 比较a=5V6和b=6V5的大小，我们可以把a和b分别平方. 试卷第6页，共3页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a2=150、b2=180, .a2<b2而a>0、b>0 ∴.a<b.请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c=23,d=3V/2的大小，c d:(填写>，<或者=) (2)猜想m=2V+V13,n=27+V5之间的大小关系，并证明. 20.(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的 式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=(1+V2.善于思考的小明进行了以下探索： 设a+bV2=(0+nR2(其中a、b、、n均为整数)，则有a+b2=r+2r+2nR√2. ∴.a=m2+2r,b=2m.这样小明就找到了一种把类似什b的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： )当a、b、m、n均为正整数时，若a+b5=(+n5,用含m、n的式子分别表示a、b,得：a= ，b=-; (2)利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n(a、b都不超过20) 填空： +V7=(+V7y3: B)若a+63=+n3},且a、m、n均为正整数，求a的值？ 目目 考点04 二次根式的应用 1.(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇 宙飞船内的时间经过 秒（c=3×10千米秒，v是字宙飞船在太空中的飞行速度)·若一艘宇宙 飞船在太空中的飞行速度是2.4×103千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该字宙飞船内的时间经 过了几分钟？ 2.(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计 算的方法是：S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中S表示三角形的面积，a,b,分别表示三边之长，p 表示周长之半，即D-0+b+C.我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所 2 以这个公式也叫“海伦一秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题. (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为5m,12m,13m时，判断这块实践基地的形状，并说明理由： 试卷第7页，共3页 (2)在△ABC中，已知AB=5,BC=6,CA=7,求△ABC的面积； 试卷第8页，共3页 专题01 二次根式 高频考点概览 考点01二次根式的定义和性质、二次根式的估算以及比较大小 考点02最简二次根式及同类二次根式 考点03二次根式的混合运算 考点04二次根式的应用 考点01 二次根式的定义和性质、二次根式的估算以及比较大小 1．(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得且， 即， 故选：B 2．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法以及二次根式的性质，运用相关知识进行解答即可． 【详解】解：A.与不是同类项，不能计算，故此选项不符合题意； B. ，原式计算正确，符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25八下·云南昆明安宁第一中学·模拟)若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和解一元一次不等式，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据二次根式的非负性列关于a的不等式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选B． 4．(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ， 故选：D． 5．(24-25八下·南昆明五华区·期末)实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、完全平方公式等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 则 ， 故选：C． 6．(24-25八下·云南红河州金平县·)按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 7．(24-25八下·云南大理州·模拟)观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 8．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式的性质，然后根据2836，估计的值． 【详解】解：∵=， 2836 ∴5＜＜6， 故选B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确将二次根式变形是解题关键． 9．(24-25八下·云南个旧·期末)黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计的值在（　　） A．0和之间 B．和1之间 C．1和之间 D．和2之间 【答案】B 【分析】先估算在哪两个整数之间，再利用不等式的基本性质即可得出的范围．本题主要考查了估算无理数的大小，掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】∵，，， ， ， ， ， ∴在和1之间． 故选：B． 10．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（   ） A．①②③④ B．④②③① C．①④③② D．③②①④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的大小，进而即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 11．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12．(24-25八下·云南昆明东川区·期末)比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴，即， 故答案为：． 13．(24-25八下·云南昆明五县区·期末)【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3）71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 考点02 最简二次根式及同类二次根式 1．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟记“被开方数不能含有能开得尽方的因数或式子，不能含有分母”是解题关键． 根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．(24-25八下·云南红河州金平县·)下列各二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键；根据最简二次根式的定义，被开方数是整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵最简二次根式需满足被开方数为整数且无开得尽方的因数， 对于A：，被开方数6为整数，且无平方因数，∴为最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是整数，∴不是最简二次根式； 对于C：，被开方数含平方因数4，∴不是最简二次根式； 对于D：，被开方数9为平方数，可开尽，∴不是最简二次根式； 故选A． 3．(24-25八下·云南临沧中学·期末)根式中，最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得． 【详解】解：，则不是最简二次根式； ，则不是最简二次根式； 是立方根，则不是最简二次根式； 都是最简二次根式，共有3个； 故选：C． 4．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、不能与合并，不符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 、，能与合并，符合题意； 、，不能与合并，不符合题意； 故选：C． 5．(24-25八下·云南丽江地区中学等学校·模拟)若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 考点03 二次根式的混合运算 1．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．(24-25八下·云南红河州屏边县·期末)下列计算错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方，运用二次根式的运算及性质、同底数幂的除法及积的乘方进行计算并判断即可． 【详解】A：，而，∴A错误． B：根据指数运算法则，，∴B正确． C：根据根式运算法则，，∴C正确． D：根据积的乘方法则，，∴D正确． 故选：A． 3．(24-25八下·云南个旧·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 4．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 5．(24-25八下·云南临沧中学·期末)下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，乘法，除法和二次根式的性质逐一计算即可得． 【详解】解：A，与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B，，此选项错误； C，，此选项正确； D，，此选项错误； 故选：C． 6．(24-25八下·云南普洱·期末)估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则计算，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴估计的值应在6和7之间， 故选：C． 7．(24-25八下·云南临沧市凤庆县凤山镇·模拟)有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（    ）． A．①④ B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的加减法的法则进行运算即可． 【详解】解：①与不属于同类二次根式，不能运算，故①不符合题意； ②，故②符合题意； ③ ，故③符合题意； ④ ，故④不符合题意； 故选：C． 8．(24-25八下·云南红河州金平县·)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解． 【详解】解：原式 ． 9．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用零指数幂、负整数指数幂法则、绝对值的性质、二次根式的乘法与化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 10．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)计算：． 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数幂和零指数幂，解题的关键是正确化简二次根式． 先化简二次根式和计算零指数幂、负整数指数幂，再进行括号内二次根式的减法运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】解： ． 11．(24-25八下·云南个旧·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先进行乘方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂，平方差公式的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 12．(24-25八下·云南普洱·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、乘法，再计算加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 13．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)计算： 【答案】 【分析】先运用平方差公式，完全平方公式进行运算，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了运用平方差公式，完全平方公式进行运算，二次根式的乘法．解题的关键在于熟练掌握乘法公式． 14．(24-25八下·云南普洱·期末)已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 15．(24-25八下·云南大理州·模拟)在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：． (2)矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题； （2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 16．(24-25八下·云南玉溪·期末)某同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ， ， ，， ， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可； （2）由（1）知，，将已知代数式降次除了，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ； （2）由（1）知，， 原式 ． 17．(24-25八下·云南临沧中学·期末)【阅读理解】 先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可以不再含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 请根据以上信息，完成下列问题． 【新知运用】 （1）写出的一个有理化因式：______； （2）化去式子分母中的根号：______； （3）化去式子分子中的根号：______；（直接写结果） 【拓展应用】 （4）求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）最大值是 【分析】本题考查了分母有理化运算、二次根式的非负性及解不等式组． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）利用分母有理化计算； （3）把分子分母同乘以即可解决； （4）先求出，把化为形式，确定最大值即可． 【详解】解：（1） 的有理化因式是， 故答案为：； （2）：， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）由题意得：， 解得：， ， 当时，值最大，即值最大， 此时， 的最大值是． 18.(24-25八下·云南文山壮族苗族自治州·模拟)【阅读感悟】 小华与他的小组成员在数学小组探究学习中，遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴， ∴． 【解决问题】 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)___________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：， ， ， ， ∴ ． 19．(24-25八下·云南个旧·期末)在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1） ，， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 20．(24-25八下·云南红河哈尼族彝族石屏县·期末)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20) 填空：　 　+　 　＝(　 　+　 　)2； (3)若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）；（2）8，2，1，1（答案不唯一）；（3）12或28. 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值； （3）根据题意，6=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值． 【详解】(1)∵a+b=(m+n)2， ∴a+b=m2+5n2+2mn， ∴a=m2+5n2，b=2mn. 故答案为m2+5n2，2mn. (2)设m=1，n=1， ∴a= m2+7n2=61，b=2mn=2. 故答案为8、2、1、1. (3)由题意，得： a=m2+3n2，b=2mn， ∵6=2mn，且m、n为正整数， ∴m=3，n=1或者m=1，n=3， ∴a=32+3×12=12，或a=12+3×32=28. 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则. 考点04 二次根式的应用 1．(24-25八下·云南临沧镇康县·期末)根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 2．(24-25八下·云南临沧耿马自治县·期末)已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理逆定理，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值． （1）通过计算三边的平方关系，判断三角形形状； （2）利用海伦公式计算三角形面积． 【详解】（1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $