重庆市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年重庆市中考数学押题卷，通过10道选择、6道填空、9道解答题覆盖代数、几何、统计核心知识，以无人机航拍、文具销售等真实情境创设，梯度设计基础题（如无理数判断）、提升题（如规律探究）、创新题（如“双减数”定义），培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|无理数、视图、抽样调查、圆内接四边形、规律探究等|第5题以小太阳图案规律考查代数推理，第10题结合整式定义创新设计，体现数学抽象| |填空题|6小题|概率、平行线性质、二次根式估值、圆的性质、新定义“双减数”|第16题“双减数”定义融合代数运算与逻辑推理，培养数学语言表达| |解答题|9小题|不等式组、重心证明、统计分析、分式化简、方程应用、几何动态等|第23题无人机航拍情境融合解直角三角形与方程应用，第25题几何探究综合旋转、相似，发展空间观念与创新意识|

重庆市押题卷-2026年重庆市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．π C．0.3 D． 2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A． B． C． D． 3．下列调查中，最适合抽样调查的是（　　） A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C．调查某种面包的合格率 D．调查某校足球队员的身高 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知，D为上一点，若∠BAC＝80°，则∠D的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 5．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个小太阳，第②个图案中有7个小太阳，第③个图案中有13个小太阳，第④个图案中有21个小太阳，…，按照这一规律，则第⑧个图案中小太阳的个数是（　　） A．73 B．57 C．91 D．85 6．已知点（m，﹣3）在反比例函数的图象上，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 7．下列四个数中，最小的是（　　） A．π×106 B．3.14×106 C．π×105 D．3.14×105 8．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OA＝2AD，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．1：2 B．2：3 C．4：9 D．4：5 9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AD边上，AE＝1，连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF，∠ABC的平分线交CF于点G，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 10．已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0，其中n为正整数，an，an﹣1，…，a0均为整数，且满足|an|＞|an﹣1|＞…＞|a1|＞|a0|，记：k，k为偶数．下列说法：①若n＝1，a1＝﹣4，则满足条件的整式M共有2个，其中有1个单项式；②若k＝26，且函数y＝M的图象与x轴有交点，则满足条件的整式M共有8个；③若n＝4，ai＞0（i＝0，1，2，3，4），a4≤7，则满足条件的整式M共有9个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题） 11．一个不透明的袋子中有8个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球，5个白球，随机摸出一个球是红球的概率为　 　 ． 12．如图，AB∥CD，射线EF交CD于点F，交AB于点G，射线EH交CD于点H，若∠1＝40°，∠2＝15°，则∠E＝　 　 ． 13．已知，且m为整数，则m的值为　 　 ． 14．已知是m的小数部分，则n﹣m的值为　 　 ． 15．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为AB延长线上一点，连接CD，满足∠BCD＝∠CAD．过点C作AB的垂线，交⊙O于点E，交AB于点F，连接AE并延长，与CB的延长线交于点G．若，则AB的长度为　 　 ，EG的长度为　 　 ． 16．我们规定：一个四位数，若满足a﹣c＝b﹣d＝2，则称M为“双减数”．例如：四位数5634，∵5﹣3＝6﹣4＝2，∴5634是“双减数”．将一个“双减数”的千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数，记．若F（M）＝150，则　 　 ；若，M满足与均为整数，则满足条件的M的值是　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．解不等式组，并写出所有的整数解． 18．在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： （1）如图，△ABC的两条中线AD和BE交于点O．请你利用尺规作图，在BC下方作∠DCF＝∠OBD，延长AD交CF于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，证明：AO＝2OD． 证明：∵AD，BE是△ABC的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE． 在△BOD和△CGD中， ∴△BOD≌△CGD（ASA） ∴②　 　 ． ∴OG＝OD+GD＝2OD． ∵③　 　 ， ∴BE∥CG． ∴④　 　 ． 即AO＝OG． ∴AO＝2OD． 19．某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用x表示，并分为四组：A.45＜x≤60，B.30＜x≤45，C.15＜x≤30，D.0＜x≤15），下面给出了部分信息： 甲网点20名客户排队时间为：5，10，15，18，25，28，29，30，30，30，32，34，35，36，38，40，46，50，54，55． 乙网点20名客户排队时间在B组中的数据是：31，32，32，35，36，38，40，42． 扇形统计图中，A组数据所对圆心角度数为90°． 甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表 甲网点 乙网点 平均数 32.5 32.5 众数 a 32 中位数 31 b （1）填空a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）； （3）若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户共有多少名？ 20．先化简，再求值：，其中． 21．列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖A，B两款中考专用套装文具，A款的售价比B款的售价高8元，3套A款文具与5套B款文具的销售总金额相同． （1）求A，B两款套装文具的售价分别是多少元？ （2）A，B两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中B款高出部分的金额比A款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进A款套装文具的数量比用2400元购进B款套装文具的数量少100套．求A款套装文具的进价是多少元？ 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D．P为BC边上一点，Q为射线BA上的点，且满足BP＝BQ，连接AP，DQ．用x表示线段BQ的长度，△ADP的面积为y1，△ABC的面积与△BDQ的面积之比为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1＝y2时x的值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东30°方向，且在A的南偏东60°方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西30°方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着A﹣D﹣C的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） （1）求AC的长度（结果保留根号）； （2）航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着BC飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥x轴，且垂足为E，点M，N为线段DE上的动点（点N在点M的下方），且MN＝1，连接PM，BN．当取得最大值时，求点P的坐标及PM﹣MN+BN的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，连接PA交线段BC于点H，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线BC方向平移个单位长度，记点C平移后的对应点为点K．点T为新抛物线上的一个动点，当∠KHA﹣∠TKA＝45°时，直接写出所有符合条件的点T的坐标，并写出求解点T的坐标的其中一种情况的过程． 25．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD． （1）如图1，AC＝AB，∠CAD＝2∠BAD，线段AC的垂直平分线NK交AD于点N，连接CN，若CD＝ND，求∠BAD的度数； （2）如图2，若点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE，使得∠EAD＝∠BAD，连接DE．以BC为斜边在BC上方作Rt△BCF，且满足∠EAD＝2∠BCF，连接EF，交AD的延长线于点G．用等式表示线段AE、DG、AB的数量关系并证明； （3）如图3，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是BC的中点，点M是直线AB上一动点，连接DM，CM，将DM绕点M顺时针旋转90°得到MH，连接AH，点R是直线CM上一动点，连接AR．在点M的运动过程中，当AH取得最小值时，在平面内将△AHR沿直线AR翻折得到△AH'R，连接DH′．在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 重庆市押题卷-2026年重庆市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、π是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； C、0.3是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、，3是整数，属于有理数，不符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：从正面看，可得选项C的图形． 故选：C． 3．【解答】解：A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况，适合全面调查，故本选项不合题意； B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯，适合全面调查，故本选项不合题意； C．调查某种面包合格率，适合合抽样调查，故本选项符合题意； D．调查某校足球队员的身高，适合全面调查，故本选项不合题意． 故选：C． 4．【解答】解：∵， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝∠ACB50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°． 故选：D． 5．【解答】解：罗列计算前四个图案中小太阳的个数如下： 第①个图案中有12+1+1＝3（个）小太阳； 第②个图案中有22+2+1＝7（个）小太阳； 第③个图案中有32+3+1＝13（个）小太阳； 第④个图案中有42+4+1＝21（个）小太阳， ……， ∴第n个图案中有（n2+n+1）个小太阳， 当n＝8时，82+8+1＝73， ∴第⑧个图案中小太阳的个数是73． 故选：A． 6．【解答】解：由条件可知，解得m＝﹣2． 故选：B． 7．【解答】解：π×106＞3.14×106＞π×105＞3.14×105， 故选：D． 8．【解答】解：∵OA＝2AD， ∴， ∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∴， ∵△ABC∽△DEF， ∴． 故选：C． 9．【解答】解：如图，连接AF并延长交CB的延长线于M，在CD上取点N，使CN＝AE＝1，连接EN， 由题意可得：AD＝CD＝4，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴DE＝DN＝3， ∴∠DNE＝45°，， ∴∠CNE＝180°﹣45°＝135°， 由旋转可得，∠CEF＝90°，EF＝CE， ∴∠AEF+∠CED＝90°， ∵∠NCE+∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠NCE， 又∵AE＝NC，EF＝CE， ∴△EAF≌△CNE（SAS）， ∴∠EAF＝∠CNE＝135°，， ∴∠BAM＝135°﹣90°＝45°， ∵∠ABM＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴BM＝BA＝BC＝4，∠M＝45°， ∴，， ∴， ∵BG平分∠ABC， ∴， ∴AM∥BG， ∴△BCG∽△MCF， ∴， ∴． 故选：B． 10．【解答】解：当n＝1，a1＝﹣4，是偶数， 故a0是偶数，由|﹣4|＞|a0|，故a0＝0，﹣2，2， 故满足条件的整式M共有3个，﹣4x，﹣4x+2，﹣4x﹣2，其中有1个单项式， 故①错误； 当k＝26，， 当n＝1时，，由52+12＝26， 故a1＝5，a0＝1，﹣1；或a1＝﹣5，a0＝1，﹣1； 且函数y＝5x±1，y＝﹣5x±1的图象与x轴有交点， 此时这些函数对应的4个整式M都符合要求； 当n＝2时， 由，42+32+12＝26， 可得|a2|＝4，|a1|＝3，|a0|＝1， 由，故a2，a0异号，符合题意的函数有y＝4x2+3x﹣1，y＝4x2﹣3x﹣1，y＝﹣4x2+3x+1，y＝﹣4x2﹣3x+1， 此时这些函数对应的4个整式M都符合要求； 当n＝2时， 由，52+12+02＝26， 故|a2|＝5，|a1|＝1，|a0|＝0， 符合题意的函数有y＝5x2+x，y＝5x2﹣x，y＝﹣5x2+x，y＝﹣5x2﹣x， 此时这些函数对应的4个整式M都符合要求； 当n＝3时， 由， 且42+32+12+02＝26，故|a3|＝4，|a2|＝3，|a1|＝1，|a0|＝0， 符合题意的函数有y＝4x3+3x2+x，y＝4x3﹣3x2+x，y＝4x3+3x2﹣x，y＝4x3﹣3x2﹣x，y＝﹣4x3+3x2+x，y＝﹣4x3﹣3x2+x，y＝﹣4x3+3x2﹣x，y＝﹣4x3﹣3x2﹣x， 此时这些函数对应的8个整式M都符合要求； n≥4，都不符合要求； 则满足条件的整式M共有20个， 故②错误； 当n＝4，ai＞0（i＝0，1，2，3，4），a4≤7， 且是偶数，则有a4＞a3＞a2＞a1＞a0＞0， 则a0≥1，a4＞a3＞a2＞a1≥2，ai（i＝0，1，2，3，4）为整数， 故a4只能取5，6，7， 当a4＝7时，，且为偶数， 故是奇数， 当a3＝6，a2＝5，a1＝4时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，故a0＝2，此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝6，a2＝5，a1＝3时，此时三数和为偶数，故a0必须是奇数，故a0＝1，此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝6，a2＝5，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，不存在， 当a3＝6，a2＝4，a1＝3时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，故a0＝2，此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝6，a2＝4，a1＝2时，此时三数和为偶数，故a0必须是奇数，故a0＝1，此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝6，a2＝3，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，不存在； 当a3＝5，a2＝4，a1＝3时，此时三数和为偶数，故a0必须是奇数，故a0＝1 此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝5，a2＝4，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，不存在； 当a3＝5，a2＝3，a1＝2时，此时三数和为偶数，故a0必须是奇数，故a0＝1 此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝4，a2＝3，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，不存在； 当a4＝6时，，且为偶数， 故是偶数， 当a3＝5，a2＝4，a1＝3时，此时三数和为偶数，故a0必须是偶数，故a0＝2 此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝5，a2＝4，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是奇数，故a0＝1 此时符合要求的整式M有1个； 当a3＝5，a2＝3，a1＝2时，此时三数和为偶数，故a0必须是偶数，不存在； 当a3＝4，a2＝3，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是奇数，故a0＝1 此时符合要求的整式M有1个； 当a4＝5时，，且为偶数， 故是奇数， 当a3＝4，a2＝3，a1＝2时，此时三数和为奇数，故a0必须是偶数，不存在； 共9个，故③正确， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：∵一个不透明的袋子中有8个质地均匀、大小相同的球，其中3个红球， ∴随机摸出一个球是红球的概率为． 故答案为：． 12．【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝40°， ∴∠CFE＝∠1＝40°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠CFE＝∠2+∠E，且∠2＝15°， ∴∠E＝40°﹣15°＝25°， 则∠E的度数为25°． 故答案为：25°． 13．【解答】解：由题知， 因为16＜19＜25， 所以45， 所以6． 因为，且m为整数， 所以m＝6． 故答案为：6． 14．【解答】解：由题知， ∵36＜45＜49， ∴， ∴， ∵n是m的小数部分， ∴m的整数部分为4，n＝m﹣4， ∴n﹣m＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．【解答】解：如图，连接OC，BE， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠OBC＝90°， ∴∠OCB+∠CAD＝90°， ∵∠BCD＝∠CAD， ∴∠OCB+∠BCD＝90°， ∴∠OCD＝90°， 设OB＝OC＝x，则， 在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB， ∴AB垂直平分CE， ∴BC＝BE，AC＝AE， ∵AB＝AB， ∴△ABE≌△ABC（SSS）， ∴∠BAC＝∠BAE，BC＝BE， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴BE＝6， ∵∠BAC＝∠BAE，∠BCD＝∠CAD， ∴∠BCD＝∠BAE， ∵∠ABG＝∠CBD， ∴∠G＝∠D， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEG＝90°， ∴， ∴若，则EG＝8， 故答案为：，8． 16．【解答】解：由题意得：a﹣c＝b﹣d＝2， ∴c＝a﹣2，d＝b﹣2， ∴ ＝1000a+100b+10c+d ＝1010a+101b﹣22， ＝1000c+100d+10a+b ＝1010a+101b﹣2200， ∵， ∴， ∴20a+2b﹣22＝150， ∴10a+b＝86， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵0＜a≤9，0＜c≤9，0≤b≤9，0≤d≤9，且c＝a﹣2，d＝b﹣2，a，b均为整数， ∴2＜a≤9，2≤b≤9， ∴﹣36≤﹣4a＜﹣8，10≤5b≤45， ∴﹣30≤5b﹣4a﹣4＜33， ∴5 b﹣4 a﹣4是13的倍数， ∴5 b﹣4 a﹣4所有可能的取值为﹣26，﹣13，0，13，26， ∴①当5 b﹣4 a﹣4＝﹣26时，a＝8，b＝2，c＝8﹣2＝6，d＝2﹣2＝0， 此时，为整数，符合题意， 则此时M＝8260； ②当5 b﹣4 a﹣4＝﹣13时，a＝6，b＝3，c＝6﹣2＝4，d＝3﹣2＝1， 此时，不是整数，舍去； ③当5 b﹣4 a﹣4＝0时，a＝4，b＝4，c＝4﹣2＝2，d＝4﹣2＝2；或a＝9，b＝8，c＝9﹣2＝7，d＝8﹣2＝6， 此时中的a2﹣b2＝42﹣42＝0，没有意义，舍去； 或，不是整数，舍去； ④当5b﹣4a﹣4＝13时，a＝7，b＝9，c＝7﹣2＝5，d＝9﹣2＝7， 此时，不是整数，舍去； ⑤当5b﹣4a﹣4＝26时，则，在2＜a≤9，2≤b≤9内，a，b不可能同时为整数，舍去； 综上，满足条件的M的值是8260． 故答案为：86，8260． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】解：由5x﹣1≤3（x+1）得：x≤2， 由1得：x， 则不等式组的解集为x≤2， 所以整数解为1、2． 18．【解答】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与BE、BC相交于点M、N；以点C为圆心，相等长为半径画弧，与BC相交于点P；以点P为圆心，MN长为半径画弧，与前弧相交于点Q；过点C、Q作射线CF，延长AD交CF于点G，即为所求； （2）证明：∵AD，BE是△ABC的中线， ∴BD＝CD，AE＝CE． 在△BOD和△CGD中， ， ∴△BOD≌△CGD（ASA）， ∴OD＝GD， ∴OG＝OD+GD＝2OD． ∵∠OBD＝∠GCD， ∴BE∥CG， ∴， 即AO＝OG， ∴AO＝2OD． 19．【解答】解：（1）∵甲网点20名客户排队时间中出现次数最多的是30分钟， ∴a＝30， ∵A组数据所对圆心角度数为90°， ∴A组数据中客户人数为（名）， ∵乙网点20名客户排队时间按从大到小排列，排在第10和11名的为35分钟和32分钟， ∴， ； 故答案为：30，33.5，20； （2）甲网点办理业务更快捷，因为甲、乙两个网点的平均数相同，但甲网点的众数和中位数均小于乙网点，即甲网点办理业务更快捷； （3）甲网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户人数占比， 乙网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户人数占比20%+15%＝35%， ∴700×50%+960×35%＝350+336＝686（名）． 答：估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户共有686名． 20．【解答】解： ， ∵x＝1﹣2＝﹣1， ∴原式． 21．【解答】解：（1）设B款套装文具的售价是x元，则A款套装文具的售价是（x+8）元，A款的售价比B款的售价高8元，3套A款文具与5套B款文具的销售总金额相同， 由题意列方程3（x+8）＝5x， 解得x＝12， 则x+8＝20． 答：A款套装文具的售价是20元，B款套装文具的售价是12元； （2）设A款套装文具的进价中超出其售价一半的部分为y元， 由题意列方程， 解得y＝6． 经检验，y＝6是分式方程的解，且符合题意． ∴10+y＝16． 答：A款套装文具的进价是16元． 22．【解答】解：（1），；理由如下： ∵AB＝AC＝5， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD⊥BC， ∴BD＝DC＝3， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， ∴， ∵BQ＝BP＝x， ∴点P到点D的距离为|3﹣x|， ∴， ∵点P不与点B、D重合， ∴0＜x≤6，且x≠3， 综上所述，； 如图1，过D作DE⊥AB于点E， 则，即5DE＝3×4，解得：， ∴， ∵点P不与点B重合， ∴0＜x≤6， ∴； （2）函数y1，y2的图象，如图2即为所求； 根据函数图象可得： y1的性质：当0＜x＜3时，y1随x的增大而减小，当3＜x≤6时，y1随x的增大而增大（答案不唯一）； y2的性质：当0＜x≤6时，y2随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）当y1＝y2时x的值约为4.2．理由如下： 当y1＝y2时， 当0＜x＜3时，即， 整理得：x2﹣3x+5＝0， ∵判别式Δ＝﹣11＜0， ∴无实根， 当3＜x≤6时，， 整理得：x2﹣3x﹣5＝0， 解得：， ∵0＜x≤6， ∴取， ∴当y1＝y2时，x≈4.2． 23．【解答】解：（1）由题可知AB＝2，∠ABC＝90°+30°＝120°，∠BAC＝90°﹣60°＝30°， 则△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠ACB，AB＝BC＝2， 如图，过B作BE⊥AC于点E，则AE＝CE， 在Rt△ABE中，AE＝AB•cos∠BAE， ∴AC＝2AE＝2， 答：AC的长度为2千米； （2）依题可知无人机在AD上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 设无人机在DC上的M处，距气球N刚好1千米，即MN＝1， 设BN＝x，则AD+DM＝3x， 过N作NK⊥CM于点K，则∠NKC＝∠NKM＝90°， ∵∠DAC＝90°，∠ACD＝∠BAC＝30°，AC＝2， ∴AD＝2，CD＝4， ∴DM＝3x﹣2，CM＝6﹣3x， 在Rt△NCK中，∠NKC＝90°，∠NCK＝∠ACB+∠ACD＝60°，NC＝2﹣x， ∴CKNC＝1x，NKNCx， 则MK＝CM﹣CK＝5x， 在Rt△MNK中，NK2+MK2＝MN2， 即（x）2+（5x）2＝12， 解得x＝2±， ∵BN＜BC＝2，且开始清晰拍摄热气球，则需进位，不能退位， ∴BN＝x＝21.7（千米）； 答：热气球飞离B处1.7千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 24．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0），抛物线的对称轴是直线．将点A的坐标代入，结合对称轴公式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）抛物线与x轴交于点A（1，0），B两点，交y轴于点C， 当y＝0时，得：， 解得：x1＝1，x2＝﹣6； 当x＝0时，得：y＝3， ∴B（﹣6，0），C（0，3）， ∴OB＝6，OC＝3， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：， ∴， 如图1：过P作PG∥y轴交BC于G， ∴∠PGF＝∠OCB， ∴， ∴，即， ∴， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点， ∵抛物线的对称轴是直线，PD∥x轴交抛物线于点D， ∴， ∵PG∥y轴， ∴点G的横坐标为﹣d﹣5，即， ∴PD＝d﹣（﹣d﹣5）＝2d+5，， ∴， ∴当d＝﹣1时，有最大值， ∴直线DE的解析式为x＝﹣1，P（﹣4，5）， 如图2：将PM向下得到P1N，即PM＝P1N，P1（﹣4，4）作B关于x＝﹣1的对称点B1，即B1（4，0）连接B1N，B1P1， ∴BN＝B1N， ∴PM+BN＝P1N+B1N≥P1B1， ∴PM+BN的最小值为， ∴； （3）∵， ∴将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度，相当于将向右平移8个单位，向上平移4个单位， ∴平移后的函数关系式为， ∵点C平移后的对应点为点K，C（0，3）， ∴K（8，7）， 由（2）可得P（﹣4，5），A（1，0）， 设直线AP的解析式为y＝m1x+n1，将点A，点P的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为y＝﹣x+1， 由（2）可得直线BC的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴， 如图3：过K作KM⊥x轴于M，过P作PN⊥x轴于N，过H作HJ⊥KM轴于J，则，HJ∥MN， ∵A（1，0），P（﹣4，5），K（8，7）， ∴， ∴PN＝NA＝5，， ∴∠PAN＝45°， ∵HJ∥MN， ∴∠AHJ＝∠PAN＝45°， ∴∠KHA＝∠KHJ+∠AHJ＝∠KHJ+45°， ∵∠KHA﹣∠TKA＝45°， ∴∠KHA＝∠TKA+45°， ∴∠KHJ＝∠TKA， ∴， 如图：当KT在AK下方时，作AI⊥KT于I，则AK2＝AI2+KI2，，即KI＝2AI， ∵A（1，0），K（8，7）， ∴KA2＝（8﹣1）2+（7﹣0）2＝98， ∴AI2+（2AI）2＝98， 解得：，， 设I（j，k）且j＞0，k＜0，则， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 设直线KI的解析式为y＝m2x+n2，将点K，点I的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线KI的解析式为y＝3x﹣17， 联立得：， 解得：或（与K重合，舍去）； ∴T（﹣3，﹣26）； 如图4：当KT1在AK上方时，作AI1⊥KT1交KT1延长线于I1，同理可得， 设直线KI1的解析式为y＝m3x+n3，将点K，点I1的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线KI1的解析式为， 联立得：， 解得：或（与K重合，舍去）； ∴． 综上所述，点T的坐标为（﹣3，﹣26）或． 25．【解答】解：（1）设∠BAD＝x， ∴∠CAD＝2∠BAD＝2x， ∵KN垂直平分AC， ∴AN＝CN， ∴∠ACN＝∠CAN＝2x， ∵CD＝DN， ∴∠DCN＝∠DNC＝2∠CAN＝4x， ∴∠ACD＝∠ACN+∠DCN＝6x， ∵AC＝AB， ∴∠B＝∠ACB＝6x， ∴∠CAB+∠ACB+∠B＝180°＝x+2x+6x+6x， 解得x＝12°， 故∠BAD＝12°． （2）AB＝AE+2DG； 证明：如图2，延长AG至点H，使得AH＝AB，连接EH、DF， 在△BAD与△HAE中， ， ∴△BAD≌△HAE（SAS）， ∴∠H＝∠DBA，BD＝HE， ∵D为BC的中点， 在Rt△BCF中，DF＝CD，BD＝DF， ∴HE＝DF， ∵DF＝CD， ∴∠BDF＝2∠FCB＝∠EAD， ∴∠BDF＝∠DAB， ∵∠GDB＝∠DAB+∠DBA，∠GDB＝∠GDF+∠FDB， ∴∠GDF＝∠DBA＝∠H， 在△EHG与△FDG中， ， ∴△EHG≌△FDG（AAS）， ∴GH＝GD， ∴AB＝AD+2DG， ∵AD＝AE， ∴AB＝AE+2DG； （3）的最大值为．理由如下： 如图3，过点D作DE⊥AB，在EB上取点F，使得EF＝DE，连接HF、DF、DH、AD， ∵DM＝MH，∠DMH＝90°， ∴∠MDH＝45°， ∵DE＝EF，∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝45°， ∴△DMH与△DEF均为等腰直角三角形， ∴， ∵∠MDH+∠HDE＝∠EDF+∠HDE， ∴∠MDE＝∠HDF， ∴△DME∽△DHF， ∴∠DFH＝∠DEM＝90°，， ∴∠AFH＝∠DFH﹣∠DFE＝45°， ∴H点在直线HF上， 当AH⊥HF时，AH取得最小值， ∵D点为BC中点，BC＝4， ∴BD＝2， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， 解得：， ∵AH＝HF，AH'＝AH， ∴， 在△ADH′中，， 当且仅当点D、A、H′三点共线时DH′取得最大值， ∴最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $