专题03 函数（5年汇编）（重庆专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合重庆近5年中考真题及模拟题，聚焦函数四大核心考点，分层设计适配中考复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/32分|反比例函数图像性质、函数图像信息读取|基础题稳定，如反比例函数必过点判断（2025-2023真题）| |解答题|14题/140分|一次函数与反比例函数综合（作图、不等式）、二次函数综合（最值、存在性）|中档题分层设问（如2026真题三小问梯度），压轴题结合平移与特殊四边形存在性（近5年固定考法）|

专题03 函数 5年真题1年模拟 考点分类 重庆考情（2022-2026） 命题规律 考点01反比例函数的图像与性质 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 均以选择题第 3-6 题的基础题型为主考查，分值稳定 4 分，同时在一次函数与反比例函数综合解答题中作为基础考点配套出现。命题以纯坐标运算为核心载体，多给出定点坐标判断函数图像经过的点、求解比例系数 k，少量题目结合自变量取值范围考查函数值区间。核心围绕反比例函数的基本定义与图像性质展开，重点考查待定系数法求解析式、函数增减性判断、点与函数图像的对应关系，同时常设 “图像必经过的点” 辨析类考题。整体难度偏低，属于基础必得分考点，近五年命题形式高度稳定，以基础概念与简单计算为主，极少单独考查 k 的几何意义等拓展内容，侧重对函数基本概念的基础考查 考点02 从函数图像获取信息 2022重庆卷 均以选择题第 3-4 题形式考查，分值稳定 4 分。命题采用生活化情境设计，蝴蝶飞行高度、心跳速度变化、运动距离随时间变化等具象场景频繁出现，均以单条折线或曲线图像为呈现载体。核心围绕函数图像的信息读取与解读展开，重点考查最高点 / 最低点数值识别、变化趋势判断、特定时刻对应量读取三大内容，同时常设 “最高值约为多少” 的直观读取类考题。整体难度极低，属于典型送分题型，近五年命题位置与考法高度固定，侧重图像观察与信息提取能力，无复杂计算与深度分析，情境素材贴近生活与自然现象，命题风格多年保持稳定。 考点03 做一次函数与反比例函数图像 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题中段固定位置考查，分值稳定 10 分，设置 3 个小问分层设问。命题以平面直角坐标系中两函数相交为固定载体，给出交点坐标等基础条件，配套一次函数图像绘制的作图要求。核心围绕两类函数的图像关系与数形结合应用展开，重点考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、一次函数描点作图、利用函数图像直接写出不等式解集、结合坐标对称性求三角形面积，同时常设交点坐标求解类基础考题。整体难度中等，属于解答题中档必得分题型，近五年命题结构高度固化，三小问梯度清晰，作图题为重庆中考固定特色考点，解题套路明确，计算量小，侧重数形结合思想的基础应用。 考点04 二次函数的图像与性质综合题 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以全卷倒数第二道解答题（代数压轴题）形式考查，分值稳定 10 分，设置 3 个小问分层考查，是初中函数模块的核心压轴考点。命题以抛物线与直线相交为基础载体，结合动点、抛物线平移、特殊四边形存在性设计问题，整体为纯代数几何综合场景。核心围绕二次函数的图像性质与综合应用展开：第一问固定考查待定系数法求抛物线解析式，为基础送分点；第二问侧重动点背景下的线段长度、三角形周长或面积的最值求解，以铅垂高法为核心解法，为中档区分点；第三问结合抛物线平移考查平行四边形、菱形等特殊图形的存在性探究，需分类讨论多解情况，为全卷核心拉分点。整体难度偏高，区分度极强，近五年命题结构与考法高度稳定，最值问题 + 平移存在性的组合为固定考法，侧重数形结合、分类讨论思想的综合应用，对代数计算能力与几何推理能力的要求逐年提升。 考点01 反比例函数的图像与性质 1．（2026·重庆·中考真题）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 4．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 考点02 从函数图像获取信息 1．（2022·重庆·中考真题）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·重庆·中考真题）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（    ） A．3时 B．6时 C．9时 D．12时 考点03 做一次函数与反比例函数图像 1．（2026·重庆·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 2．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 4．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 5．（2022·重庆·中考真题）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 6．（2022·重庆·中考真题）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，    (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 考点04 二次函数的图像与性质综合题 1．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 2．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 6．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 7．（2022·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 8．（2022·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 1．（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 5．（2026·重庆巴南·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆武隆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A．5 B． C．10 D． 7．（2026·重庆·三模）如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 8．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点作轴交抛物线于点，过点作交线段于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线经过点，点为点的对应点，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 9．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作于点．点，分别是抛物线对称轴、轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求其中一种情况的过程． 10．（2026·重庆·二模）如图，在矩形中，，，连接，交于点，将以每秒个单位长度的速度沿射线方向平移，得到，与交于点，与交于点．若平移时间为秒，点与点的距离为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 11．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 12．（2026·重庆江津·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点为线段上方抛物线上的一点，连接交于点，点为轴上的动点，点为抛物线对称轴上的动点，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5年真题1年模拟 考点分类 重庆考情（2022-2026） 命题规律 考点01反比例函数的图像与性质 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 均以选择题第 3-6 题的基础题型为主考查，分值稳定 4 分，同时在一次函数与反比例函数综合解答题中作为基础考点配套出现。命题以纯坐标运算为核心载体，多给出定点坐标判断函数图像经过的点、求解比例系数 k，少量题目结合自变量取值范围考查函数值区间。核心围绕反比例函数的基本定义与图像性质展开，重点考查待定系数法求解析式、函数增减性判断、点与函数图像的对应关系，同时常设 “图像必经过的点” 辨析类考题。整体难度偏低，属于基础必得分考点，近五年命题形式高度稳定，以基础概念与简单计算为主，极少单独考查 k 的几何意义等拓展内容，侧重对函数基本概念的基础考查 考点02 从函数图像获取信息 2022重庆卷 均以选择题第 3-4 题形式考查，分值稳定 4 分。命题采用生活化情境设计，蝴蝶飞行高度、心跳速度变化、运动距离随时间变化等具象场景频繁出现，均以单条折线或曲线图像为呈现载体。核心围绕函数图像的信息读取与解读展开，重点考查最高点 / 最低点数值识别、变化趋势判断、特定时刻对应量读取三大内容，同时常设 “最高值约为多少” 的直观读取类考题。整体难度极低，属于典型送分题型，近五年命题位置与考法高度固定，侧重图像观察与信息提取能力，无复杂计算与深度分析，情境素材贴近生活与自然现象，命题风格多年保持稳定。 考点03 做一次函数与反比例函数图像 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以解答题中段固定位置考查，分值稳定 10 分，设置 3 个小问分层设问。命题以平面直角坐标系中两函数相交为固定载体，给出交点坐标等基础条件，配套一次函数图像绘制的作图要求。核心围绕两类函数的图像关系与数形结合应用展开，重点考查待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、一次函数描点作图、利用函数图像直接写出不等式解集、结合坐标对称性求三角形面积，同时常设交点坐标求解类基础考题。整体难度中等，属于解答题中档必得分题型，近五年命题结构高度固化，三小问梯度清晰，作图题为重庆中考固定特色考点，解题套路明确，计算量小，侧重数形结合思想的基础应用。 考点04 二次函数的图像与性质综合题 2026重庆卷 2025重庆卷 2024重庆卷 2023重庆卷 2022重庆卷 均以全卷倒数第二道解答题（代数压轴题）形式考查，分值稳定 10 分，设置 3 个小问分层考查，是初中函数模块的核心压轴考点。命题以抛物线与直线相交为基础载体，结合动点、抛物线平移、特殊四边形存在性设计问题，整体为纯代数几何综合场景。核心围绕二次函数的图像性质与综合应用展开：第一问固定考查待定系数法求抛物线解析式，为基础送分点；第二问侧重动点背景下的线段长度、三角形周长或面积的最值求解，以铅垂高法为核心解法，为中档区分点；第三问结合抛物线平移考查平行四边形、菱形等特殊图形的存在性探究，需分类讨论多解情况，为全卷核心拉分点。整体难度偏高，区分度极强，近五年命题结构与考法高度稳定，最值问题 + 平移存在性的组合为固定考法，侧重数形结合、分类讨论思想的综合应用，对代数计算能力与几何推理能力的要求逐年提升。 考点01 反比例函数的图像与性质 1．（2026·重庆·中考真题）在反比例函数中，若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断时的增减性，再代入的端点值得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 2．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 3．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 4．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：解：当时，，图象不经过，故A不符合要求； 当时，，图象一定经过，故B符合要求； 当时，，图象不经过，故C不符合要求； 当时，，图象不经过，故D不符合要求； 故选：B． 5．（2023·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项符合题意； 项将代入反比例函数得到，故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 6．（2023·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 考点02 从函数图像获取信息 1．（2022·重庆·中考真题）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可直接得出答案． 【详解】解：∵函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度， ∴由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m， 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键． 2．（2022·重庆·中考真题）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（    ） A．3时 B．6时 C．9时 D．12时 【答案】C 【分析】分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案． 【详解】解：∵ 观察小颖0到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最高， ∴在0到12时内心跳速度最快的时刻约为9时， 故选：C 【点睛】此题考查了函数图象，由纵坐标看出心跳速度，横坐标看出时间是解题的关键． 考点03 做一次函数与反比例函数图像 1．（2026·重庆·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．点与点同时出发，以每秒的速度沿折线方向运动．设运动时间为秒，点与点的距离为，点与点的距离为． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)（）； (2) 或 【分析】（1）求的函数表达式：先根据点E的运动速度得到，再根据，将直角边和代入三角形面积公式，可得出即​的表达式；根据点沿运动， 速度为，当时，，当时，，分两种情况解答． （2）根据、的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，． ∴， ∴（）， ∵点以每秒的速度沿方向运动，点在直线上运动，且满足．运动时间秒， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）； ∵点沿运动， 速度为，， ∴当时，， 当时，， 综上，． （2）解：列表： x 0 1 2 3 4 5 6 8 8 4 2 1 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x、的值和x、的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到和的图象． 由图象看出当时，或． 2．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 作图如下： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 (3)（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； （2）略 （3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点为上一点，，过点作交于点．点，的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2) 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围． 4．（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．    (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)图象见解析，当时，y随x的增大而增大 (3)t的值为3或 【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 连接，    由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当时，；    （2）函数图象如图：    当时，y随t的增大而增大； （3）当时，即； 当时，即，解得， 故t的值为3或． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键． 5．（2022·重庆·中考真题）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积． 【答案】(1)，图见解析 (2)或 (3)12 【分析】（1）把，分别代入得到m，n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可； （2）由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，即可得到答案； （3）根据点是点关于轴的对称点，求出点C的坐标，得到BC的长，进一步求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：把，分别代入得， ，， 解得m＝4，n＝﹣2， ∴ 点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）， 把点A（1，4），点B（﹣2，﹣2）代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的表达式是y＝2x＋2， 这个一次函数的图象如图， （2）解：由函数图象可知，当 或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵点是点关于轴的对称点，点B的坐标是（﹣2，﹣2）， ∴点C的坐标是（2，﹣2）， ∴BC＝2－（﹣2）＝4， ∴． 【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 6．（2022·重庆·中考真题）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，    (1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为； 画出函数图象如下图：   ； (2)或 (3)2 【分析】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可； （2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答； （3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点， ∴把，分别代入，得， ， 解得，， ∴，， 把，代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2） ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； （3）如图，    对于，当时，， 解得，， ∴点C的坐标为（-1，0） ∵A（1，4） ∴ 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系． 考点04 二次函数的图像与性质综合题 1．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E是x轴上一动点，连接．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点B的对应点为F，M是平移后抛物线上一点，直线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)点M的坐标为或， 过程如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴平移方式为将抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， ∴， ∵，点B的对应点为F， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线在一三象限的角平分线上，与x轴的夹角为， ∴直线与直线与x轴所成的夹角相等， ∴， ∴， 情况1： 如图，取点，当点N在x轴上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得，（舍去）， ∴； 情况2： 如图，当点N在x轴下方时， 过点C作交直线于点L，与x轴交点K，过点A作交直线于点N， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 此时直线与抛物线的交点即为所求的M， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点C，K分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，， ∴直线的解析式为， 将和联立得， 解得，（舍去）， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出所在直线表达式为，设过点P与平行的直线的表达式为，当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值，联立后利用判别式求出，得到；在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接，表示出，判断出当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，然后分当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵， 设所在直线表达式为， ∴ ∴ ∴所在直线表达式为， ∵P是线段上方抛物线上的一动点，， 设过点P与平行的直线的表达式为， ∴当直线与抛物线只有一个交点时，的长度取得最大值， 联立直线与抛物线， 得：， ∴ 整理得， ∴ 解得， 代入得， 解得， 将代入 ∴此时； 如图，在x轴下方作射线，使，过点E作于点F，连接， ∴， ∴， ∴当点P，E，F三点共线，且时，取得最小值，即的长度，如图，过点P作轴于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵抛物线， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）略 2．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 4．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为；； (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】（1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，    ∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 6．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．    (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)取得最大值为， (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则，则，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，对称轴为直线，点向右平移5个单位得到，，勾股定理分别表示出，进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点，．代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为：， （2）∵与轴交于点，， 当时， 解得：， ∴, ∵． 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点，    设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，， ∴； （3）∵抛物线 将该抛物线向右平移个单位，得到，对称轴为直线， 点向右平移5个单位得到 ∵平移后的抛物线与轴交于点，令，则， ∴, ∴ ∵为平移后的抛物线的对称轴上任意一点． 则点的横坐标为， 设， ∴，， 当时， ， 解得：或， 当时， ， 解得： 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2022·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)；； 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于，可得，求出直线AB的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）如图，设交于， ∵，， ∴OA＝OB＝4， ∴， ∵PC∥OB，PD∥OA， ∴，， ∴， 设直线AB的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，此时； （3）由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 8．（2022·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 【答案】(1) (2)最大值为：， (3)、、 【分析】（1）将、代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）根据得到，推出，即可得到，则，求出直线的解析式为：，设，则，，求出，即可求解； （3）先求出平移后新抛物线解析式：，，，设，，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵、， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入可得：，解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为：，此时； （3）解：∵对称轴为：， ∴， ∵直线：， ∴抛物线向右平移个单位， ∴， ，，设，， ①以、为对角线时，，解得 ∴； ②以、为对角线时，，解得 ∴； ③以、为对角线时，，解得 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式． 1．（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 2．（2026·重庆·二模）已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，先根据已知点求出比例系数，得到表达式后，将横坐标代入，求解出纵坐标后得到正确选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ∵ 图像经过点 ∴ ， ， 将代入，得， 在函数图像上． 3．（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 4．（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 5．（2026·重庆巴南·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应y值后直接比较大小，即可得出结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标代入解析式，得，，， ∵， ∴． 6．（2026·重庆武隆·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A．5 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∴ ． 7．（2026·重庆·三模）如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)，（） (2)的最大值为4 (3) 【分析】（1）根据运动的特点有：，且，根据的面积为，的面积为，即可计算；当点P在线段上时，不含端点B，即，根据运动特点有：，的面积为；当点P在线段上时，不含端点D，即，根据运动特点有：的面积为，问题得解； （2）先计算出特殊点坐标，再根据数据描点，作图； （3）不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围，根据图象估值即可作答． 【详解】（1）解：根据运动的特点有：，且， ∵在直角梯形中，，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴（）， 当点P在线段上时，不含端点B，即， 根据运动特点有：， ∴的面积为； 当点P在线段上时，不含端点D，即， 根据运动特点有：， ∴， ∴， ∴的面积为； 综上：，（）； （2）对于， 当时，， 当时，， 当时，； 对于（）， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 根据上述的数据，描点画图即可，函数图象见答案 性质：函数的最大值为4； （3）不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围， 结合图象，的解集为：． 精确计算如下： 令， 即有：，或， 解得：（负值舍去），或者（，不符合区间范围舍去）， ∴． 8．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点作轴交抛物线于点，过点作交线段于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线经过点，点为点的对应点，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，最大值为 (3)所有符合条件的点的横坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为．过点作轴交于点，交对称轴于点，设，，则，，由，得到，根据轴得到， 因此在中，，从而，即可得到当时，有最大值，此时．将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接，根据平移及轴对称可得，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答； （3）设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中，则新抛物线为，根据新抛物线经过点，求出a的值，得到新抛物线为，，证明，得到，求出，得到．设，分点F在x轴上方和下方两种情况，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为：． 过点作轴交于点，交对称轴于点， 设，， 则， ． ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时． 将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接， ∵向下平移个单位得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最大值为． （3）解：∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中 ∴新抛物线为 ∵新抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，新抛物线为， ∴点平移后的对应点为． ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A与点B关于抛物线的对称轴是直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴． 设 当点F在x轴上方时，即图中点，过点作轴于点， ∴，， ∵，即， 解得（不合题意，舍去）或． 当点F在x轴下方时，即图中点，过点作轴于点， ∴，， ∵，即， 解得（不合题意，舍去）或． 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 9．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作于点．点，分别是抛物线对称轴、轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）代入可得一个关于a、b的关系式，再根据对称轴又可得另一个关于a、b的关系式，问题即可作答； （2）先求出B、C点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据，可得线段长度为点P到直线的距离，将直线沿y轴向下平移至与抛物线相切时，且切点为点P，此时点P到直线的距离最大，设直线沿y轴向下平移m个单位时与抛物线相切，此时平移后的直线的解析式为：，将其与抛物线解析式联立，根据相切，方程有两个相同的解，根据一元二次方程的判别式为0可求出m的值，再反代入m的值，解一元二次方程即可求出切点P的坐标，进而可得点关于y轴的对称点为的坐标，即，当点R、F、E、B四点共线时，此时最短，问题随之得解； （3）先求的解析式，延长至点V使得，过点V作轴于点X，证明，可求出、，即抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可变为：抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移个单位得到新抛物线，即可求出的解析式，进而可确定坐标；再证明，过点A作于点Z，连接，求出，即有；分类讨论，当点Q在下方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，先确定点G的坐标，进而确定的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，与的解析式联立即可求出的坐标；当点Q在上方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，同理可解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即：， 将代入，解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）当时，，即， 当时，， 解得：或者， 即， ∵，， ∵设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴设直线的解析式为：， ∵， ∴线段长度为点P到直线的距离， 将直线沿y轴向下平移至与抛物线相切时，且切点为点P，此时点P到直线的距离最大， 即此时长度取最大值， 设直线沿y轴向下平移m个单位时与抛物线相切，此时平移后的直线的解析式为：， 令：，整理：， ∵相切， ∴方程有两个相同的解， ∴，解得， 此时平移后的直线的解析式为：， 令， 解得，则， ∴， ∴点关于y轴的对称点为， 即， ∴， 当点R、F、E、B四点共线时，此时最短， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）∵，，， ∴，，，， 同理，， 延长至点V使得，过点V作轴于点X，如图， 即有：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可变为：抛物线沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为：， ∵点与点关于新抛物线的对称轴对称， ∴，即：， ∴， ∵轴于点N， ∴，即点N与点B重合， ∴， 如图，过点A作于点Z，连接， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴根据，可知四边形是正方形，即有， ∵， ∴， 同理可求得：， ∴，， ∴， 即； 当点Q在下方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，如图， ∵，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 结合，可知是等腰直角三角形， ∴，则， 再结合轴，， ∵轴，， ∴轴，则轴， ∵，， ∴， 利用待定系数法可得直线的解析式为：， 联立：，解得：，（，此解不满足点Q在下方，舍去）， ∴； 当点Q在上方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，如图，     同理可证是等腰直角三角形， ∴，则， 再结合轴，， ∵轴，， ∴轴，则轴， ∵，， ∴， 利用待定系数法可得直线的解析式为：， 联立：，解得：，（，此解不满足点Q在上方，舍去）， ∴； 综上所述：满足条件的的横坐标为：和． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定义与性质，解直角三角形，一元二次方程以及抛物线的平移等知识，问题的难点在第三问，将，转化为是解答本题的关键．解答时需注意：不能因为有相等的边和相等的角就想当然的去构造全等三角形，再利用勾股定理表示出相应的边长，接着根据全等中对应的边的长度相等列方程． 10．（2026·重庆·二模）如图，在矩形中，，，连接，交于点，将以每秒个单位长度的速度沿射线方向平移，得到，与交于点，与交于点．若平移时间为秒，点与点的距离为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； ； (2)；性质：当时，随着的增大而减小或当时，随着的增大而增大或当时，随着的增大而增大或当时，随着的增大而减小； (3) 或 【分析】（1）连接，过点M作于点E，由平移的性质得：，再结合矩形的性质可得，，，，然后分两种情况：当点F在上时， 当点F在上时，可得 关于的函数表达式；再根据，可得，从而得到，可得到关于的函数表达式，即可求解； （2）利用描点法画出函数图象，即可； （3）求出两函数图象的交点的横坐标，再观察图象，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点M作于点E， 由平移的性质得：， ∵在矩形中，，， ∴，，，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴当点F在上，即时，， 当点F在上，即时，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：对于， 当时，，当时，， 此时函数图象过点，， 对于，当时，， 此时函数图象过点， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象过点， ∵， 此时该函数的顶点坐标为， 函数图象和性质见答案； （3）解：联立：，得： ， 解得：， 联立：，得： ， 解得：， 观察图象得：时的取值范围为 或． 11．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 12．（2026·重庆江津·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若点为线段上方抛物线上的一点，连接交于点，点为轴上的动点，点为抛物线对称轴上的动点，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，的最小值为； (3)所有符合条件的点的坐标为； 解：由题意得，，且， ∴为等腰直角三角形，， 又∵将抛物线沿方向平移个单位长度即为向右平移4个单位长度，向上平移4个单位长度得到抛物线， ∴， ∴点平移后对应点， 连接，过点作轴，垂足为，如图， ∵，， ∴为水平线段， ∵抛物线沿方向平移，且点P的对应点为M， ∴， 又∵轴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为锐角，即点N在点B的左边， 在中，，， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∵， ∴ ， 当N在x轴上方时， 解得或（舍去）， ∴对应点N为， 当N在x轴下方时，如图， 解得或（舍去）， ∴对应点N为， 综上所述，最终所有符合条件的点N坐标为． 【分析】（1）将点和代入抛物线，可得，进行求解即可； （2）先求直线，过作轴交于，由得，将转化为二次函数，配方得时比值最大，即；再利用抛物线对称性与轴对称，将转化为两点间距离，求得最小值为； （3）抛物线沿方向平移，即右移4个单位、上移4个单位，得新抛物线解析式；转化角度得，设坐标，分在轴上下两种情况列方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， 又∵， ∴设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点， 过作轴，交于点，连接，如图， 则， ∵在上方， ∴的长度为， ∵， ∴， ∴， 将、代入得，， ∵， ∴开口向下，且当时，取得最大值， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵抛物线对称轴为，关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∴， ∴当四点共线时，的最小值为线段的长度， ∴， ∴的最小值为； （3）略 【点睛】本题核心技巧：线段比最值通过相似转化为二次函数最值，最短路径用对称法转化为两点间线段长，角度相等问题用三角函数列方程；避坑需注意平移的坐标变化，解方程后验证根的合理性． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $