山东省济南市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年济南中考数学押题卷，以全运会领奖台、科技活动等真实情境为载体，融合代数、几何、统计知识，通过基础题（如科学记数法）、中档题（如圆的切线证明）、压轴题（如二次函数动态综合）梯度设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|10|实数、视图、科学记数法、轴对称、概率等|结合全运会领奖台考视图，体现空间观念| |填空题|5|算术平方根、概率、圆锥侧面展开、反比例函数、菱形折叠|正六边形中圆锥半径计算，考查几何直观| |解答题|10|计算、不等式组、尺规作图、机械手臂应用、圆证明、统计分析、函数综合、动态几何|机械手臂高度计算（现实应用）、科技活动统计（数据观念）、二次函数与动点综合（推理能力）|

山东省济南市押题卷-2026年山东省济南市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．在，0，﹣2，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣2 D． 2．在2025年11月举行的第十五届全运会上，山东省代表团获得金牌数和奖牌数双第一，实现了全运会历史上金牌数和奖牌数的五连冠！全运会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为（　　） A．0.8×10﹣3 B．80×10﹣5 C．8×10﹣4 D．8×10﹣5 4．下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A．m3÷m＝m2 B．（﹣mn）2＝﹣mn2 C．3m2﹣m2＝2 D．m2•m3＝m6 6．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（　　） A．a﹣3＞b﹣3 B．a+3＞b+3 C．﹣3a＜﹣3b D． 7．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　） A． B． C． D． 8．在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，按如下步骤作图： ①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D；②以点B为圆心，以BD的长为半径作弧，交AB于点E． 根据以上作图，若点P是直线MN上的动点，点F是线段AC上的动点，连接PE，PF，则PE+PF的最小值为（　　） A． B．3 C． D． 10．关于x的二次函数y＝ax2+4ax+b+1（ab≠0），下列三个结论：①对称轴直线为x＝﹣2；②点A（t，y1），B（t+3，y2）均在该抛物线上，若a＞0，y1＞y2，则t＞1；③若抛物线与x轴只有一个交点（m，0），当时，则或．其中正确结论为（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二．填空题（共5小题） 11．3的算术平方根是　 　 ． 12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中飞镖游戏板空白部分的概率是　 　 ． 13．如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，则k的值为　 　 ． 15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠B＝150°，点O是其对角线AC的中点，将纸片沿过点O的直线l折叠，使点A落在点E处，点B落在线段OC上的点F处，若CP＝2，则AC＝ 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 16．计算：． 17．解不等式组． 18．尺规作图问题： 如图1，已知点D是∠ABC的其中一边BA上一点，用尺规作图方法作DE∥BC，DB＝DF． （1）连结BF，根据作图痕迹，请说明BF平分∠ABC． （2）如图2，以B为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点G，连结FG．求证：四边形BGFD是菱形． 19．如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图2所示，经测量，上臂AB＝16dm，中臂BC＝8dm，底座CD＝4dm． （1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座夹角∠C＝135°，上臂与中臂夹角∠B＝105°，如图3，计算此时点A到地面的距离．（精确到0.1dm，参考数据：， 20．如图，△ABD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为AB延长线上的一点，连接CD，∠BDC＝∠A，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CG＝4，，求AD的长． 21．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模具设计水平调查报告 【调查主题】“逐梦科技强国”活动中模具设计水平． 【调查目的】通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 【调查对象】某校学生模具设计成绩． 【调查方式】抽样调查． 【数据收集与表示】 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成四组（A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100）． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 【数据分析与应用】 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了　 　 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是　 　 分，在扇形图中，C组对应圆心角的度数为　 　 ． （2）请补全频数分布直方图． （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 22．为扎实推进校园劳动教育实践活动，某校决定采购绿植A与绿植B，用于开展班级绿植栽培、校园绿化养护等劳动实践课程．已知购买2盆绿植A和1盆绿植B共需50元，购买5盆绿植A和3盆绿植B共需130元． （1）求每盆绿植A的价格和每盆绿植B的价格； （2）学校计划购买绿植A和绿植B共60盆，绿植A的盆数不少于绿植B的盆数的，且商家给出了两种绿植均打八折的优惠．问购买绿植A多少盆时花费最少？最少花费是多少元？ 23．正比例函数y＝3x与反比例函数的图象交于点A（m，6）． （1）求反比例函数表达式； （2）平移线段OA得线段O′A′，其中点A的对应点为点A′，点O的对应点为O′． ①如图1，若点O′在x轴上，线段O′A′与反比例函数的图象交于点C，当时，求O′的坐标； ②如图2，若点O′在反比例函数的图象上，连接OO′，AA′，当四边形OO′A′A的面积为18时，求O′的坐标． 24．二次函数的图象经过点A（3，0），点． （1）求二次函数的表达式和顶点C的坐标； （2）过点D（0，﹣3）作x轴的平行线，与二次函数的图象在第四象限内交于点H．动点E从点A开始沿线段AB向点B运动，速度为每秒个单位长度；动点F从点D开始沿线段DH向点H运动，速度为每秒1个单位长度．已知E，F两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒． ①如图1，作直线EF，当直线EF与x轴垂直时，判断直线EF是否经过点C，并说明理由； ②如图2，连接EF，点G是EF的中点，点M是抛物线上一动点，当四边形ACMG是平行四边形时，求t的值． 25．在矩形ABCD中，AD＝2AB，点E在边AD上（不与点D重合），点F在边BC上，点G在边CD的延长线上，且∠FEG＝90°． （1）如图1，当点E与点A重合时，连接FG，求tan∠EGF的值； （2）当点E不与点A重合时，在线段EF上取一点H，使得，连接GH． ①如图2，求证：； ②如图3，连接BH，若DG＝3AE，求的值． 山东省济南市押题卷-2026年山东省济南市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：∵||，|0|＝0，|﹣2|＝2，||， ∵02， ∴绝对值最小的数是0． 故选：A． 2．【解答】解：从左边看， 故选：C． 3．【解答】解：0.0008＝8×10﹣4． 故选：C． 4．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 5．【解答】解：A、m3÷m＝m2，故此选项符合题意； B、（﹣mn）2＝m2n2，故此选项不符合题意； C、3m2﹣m2＝2m2，故此选项不符合题意； D、m2•m3＝m5，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．【解答】解：由数轴得a＜b， 由不等式的基本性质1得：a﹣3＜b﹣3，a+3＜b+3， 故选项A、B错误； 由不等式基本性质3得：﹣3a＞﹣3b， 故选项C错误； 由不等式基本性质2得：， 故选项D正确； 故选：D． 7．【解答】解：选项A，图中∠α，∠β是同角的余角相等，不合题意． 选项B，∠α，∠β是互补的角，不合题意． 选项C，∠α，∠β是两个钝角，两角和不能等于90°，不合题意． 选项D，∠α+∠β+90°＝180°，∠α+∠β＝90°，∠α，∠β互余，符合题意． 故选：D． 8．【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种， ∴这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是， 故选：B． 9．【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，BE＝BD． 设直线MN交AB于点G，取点E关于直线MN的对称点E'，过点E'作E'F'⊥AC于点F，交直线MN于点P'， 则当点P与点P'重合，点F与点F'重合时，PE+PF取得最小值，为E'F'的长． ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5． ∵直线MN为线段AB的垂直平分线， ∴BG，∠BGD＝90°， ∴∠BGD＝∠C． ∵∠DBG＝∠ABC， ∴△BDG∽△BAC， ∴， 即， ∴BD， ∴BE＝AE'． ∵∠AF'E'＝∠C＝90°，∠E'AF'＝∠BAC， ∴△AE'F'∽△ABC， ∴， 即， ∴E'F'， ∴PE+PF的最小值为． 故选：C． 10．【解答】解：①对称轴，故①正确； ②∵a＞0， ∴当t+3≤﹣2时，即t≤﹣5时，点A，B均在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∵t＜t+3， ∴y1＞y2； 当t＜﹣2＜t+3时，即﹣5＜t＜﹣2时，点A，B分别在对称轴左右两侧， ∵y1＞y2， ∴﹣2﹣t＞t+3+2，，故；综上可知：若y1＞y2，则t≤﹣5或，故②错误； ③由题意得Δ＝16a2﹣4a（b+1）＝0，则b＝4a﹣1，故y＝ax2+4ax+4a＝a（x+2）2，故m＝﹣2， 若，即，则， 当a＜0时，有4a﹣1＞a，解得，此时无解； 当时，有4a﹣1＜a，得，故时； 当时，有4a﹣1＞a，解得，故； 综上可知若，则有或，故③正确； 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：3的算术平方根是， 故答案为：． 12．【解答】解：设小正方形的边长为1，则总面积为52＝25， 其中阴影部分的面积为1×4+1×5＝9， 则空白部分的面积为25﹣9＝16， ∴中飞镖游戏板空白部分的概率是． 故答案为：． 13．【解答】解：∵正六边形ABCDEF， ∴AB＝AF＝EF＝DE＝6，， ∴，， ∴∠BFD＝120°﹣2×30°＝60°， 过点A作AG⊥BF于点G，则：， 设圆锥的底面圆的半径为r，则：， ∴； 故答案为：． 14．【解答】解：如图，作AC⊥x于点C，作BD⊥x轴于点D， ∵点B在函数的图象上， ∴， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∵AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∴∠AOC+∠CAO＝90°，∠BDO＝∠OCA， ∴∠CAO＝∠BOD， ∴△ACO∽△ODB， 又∵， ∴， ∴S△AOC＝4， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵k＜0（函数图象经过第二象限）， ∴k＝﹣8， 故答案为：﹣8． 15．【解答】解：如图，连接BO，记直线l与BC交于点G， 在菱形ABCD中，AB＝BC， ∵O为AC中点， ∴OA＝OCAC，BO⊥AC，∠ABO＝∠OBCABC＝75°， 由折叠可知∠BOG＝∠FOG∠BOC＝45°，∠EFO＝∠ABO＝75°， ∴∠BGO＝∠FGO＝60°， ∴∠FGC＝60°， 在菱形ABCD中，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝30°，AC平分∠BCD， ∴∠PCF＝∠GCF∠BCD＝15°， ∴∠CPF＝∠EFO﹣∠PCF＝60°， ∴∠CPF＝∠CGF， ∵CF＝CF， ∴△CPF≌△CGF（AAS）， ∴CG＝CP＝2， 过C作CH⊥l于点H， 在Rt△CGH中，CG＝2，∠CGH＝∠BGO＝60°， ∴CH＝CG•sin60°， 在Rt△COH中，OC， ∴AC＝2OC＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共10小题） 16．【解答】解：原式 ． 17．【解答】解：解不等式x﹣1＞3得x＞4； 解不等式得x＜7； ∴原不等式组的解集为4＜x＜7． 18．【解答】解：（1）∵DB＝DF， ∴∠DBF＝∠DFB， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠DBF＝∠FBC， ∴BF平分∠ABC； （2）∵BD＝BG且DB＝DF， ∴DF＝BG， ∵DF∥BG， ∴四边形DBGF是平行四边形， 又∵BD＝BG， ∴四边形DBGF是菱形． 19．【解答】解：（1）如图，延长DC交AB于点M， ∵上臂AB与水平面平行，底座与水平地面垂直， ∴DM⊥AB， ∴∠BMC＝90°， ∵∠ABC＝60°，BC＝8dm， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点A作AN⊥ND， ∴∠AND＝90°， ∴∠AND＝∠NDM＝∠AMD＝90°， ∴四边形ANDM是矩形， ∴， 答：点A到地面的距离为； （2）如图，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E、F， ∴∠AEB＝∠AEG＝90°，∠BFC＝∠CFG＝90°， ∴∠CFG＝∠FGD＝∠D＝90°， ∴四边形FGDC是矩形， ∴∠FCD＝90°， ∵∠BCD＝135°， ∴∠BCF＝135°﹣90°＝45°， ∴∠CBF＝45°， ∵∠ABC＝105°， ∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝105°﹣45°＝60°， ∵，， ∴，， ∴， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∴， ∴， ∴BE＝8dm， ∵四边形CFGD是矩形， ∴FG＝CD＝4dm， ∴， 过点A作AH⊥GD， ∴∠AHG＝90°， ∴∠AHG＝∠HGE＝∠AEG＝90°， ∴四边形AHGE是矩形， ∴AH＝EG＝1.6dm， ∴此时点A到地面的距离约为1.6dm． 20．【解答】（1）证明：连接DO，如图， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵∠A＝∠BDC， ∴∠ODA＝∠BDC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即∠ODA+∠BDO＝90°， ∴∠BDC+∠BDO＝90°， 即∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD， ∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵CG⊥AG，∠ADB＝90°， ∴CG∥BD， ∴∠GCD＝∠BDC， ∴tan∠GCD＝tan∠BDC， 在Rt△GCD中，∵tan∠GCD， ∴GDCG4＝2， ∵∠GCD＝∠BDC，∠BDC＝∠A， ∴∠GCD＝∠A， ∴Rt△GCD∽Rt△GAC， ∴GD：CG＝CG：AG， 即2：4＝4：AG， 解得AG＝8， ∴AD＝AG﹣GD＝8﹣2＝6． 21．【解答】解：（1）总抽取人数：由扇形图知D组占20%，D组频数为10， 故总人数＝10÷20%＝50名； 中位数：A组5人、B组50﹣5﹣20﹣10＝15人，前20个数据是A、B组，第 25、26个数据在C组，第25个是83，第26个是84，中位数＝（83+84）÷2＝83.5分； C组圆心角：C组频数 20，占比20÷50＝40%，圆心角＝360°×40%＝144°， 故答案为：50；83.5；144°； （2）B组频数为50﹣5﹣20﹣10＝15， 补全频数分布直方图如图： （3）估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为（人）． 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720． 22．【解答】解：（1）设每盆绿植A的价格是x元，每盆绿植B的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每盆绿植A的价格是20元，每盆绿植B的价格是10元； （2）设购买m盆绿植A，则购买（60﹣m）盆绿植B， 根据题意得：m（60﹣m）， 解得：m≥15， 设学校购买两种绿植的花费为w元，则w＝20×0.8m+10×0.8（60﹣m）， 即w＝8m+480， ∵8＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝15时，w取得最小值，最小值为8×15+480＝600． 答：购买绿植A15盆时花费最少，最少花费是600元． 23．【解答】解：（1）将A（m，6）代入y＝3x，得3m＝6， 解得m＝2， ∴A（2，6）， 将A（2，6）代入，得， 解得k＝12， ∴反比例函数表达式为； （2）①如图1，作A′M⊥x轴于点M，作CN⊥x轴于点N， 则∠CNO＝∠A′MO＝90， ∵平移线段OA得到O'A′，A（2，6），O'在x轴上， ∴yA'＝yA＝6，O'M＝2， ∴A′M＝6， ∵∠CNO'＝∠A'MO'，∠CO'N＝∠A'O'M， ∴△CO'N∽△A'O'M， ∴， ∵，A'M＝6，O'M＝2， ∴CN＝2，O'N， 当y＝2时，由，得x＝6， ∴ON＝6； ∴OO'＝ON﹣O'N＝6， ∴O'（，0）； ②如图2﹣1，连接AO'， ∵平移线段OA得到O'A'， ∴OA∥O′A′，OA＝O'A'， ∴四边形OO′A′A是平行四边形， ∴S△AOO'S平行四边形OO′A′A9， 过点O′作x轴的垂线，交OA于点M，交x轴于点N，作AP⊥O′M于点P， 设，则xM＝t， ∵M在y＝3x上， ∴M（t，3t）， 当t＞2时，如图2﹣1， 则， ∵S△AOO'＝S△MOO'﹣S△MAO' ， ∴， ∴t＝4或t＝﹣1（舍）， ∴O′（4，3）； 当t＜2时，如图2﹣2， 则， ∵S△AOO'＝S△MOO'+S△MAO' ， ∴， ∴t＝1或t＝﹣4（舍）， ∴O'（1，12）； 综上所述，O'坐标为（4，3）或（1，12）． 24．【解答】解：（1）将点A（3，0），点代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式是， ∵， ∴顶点C的坐标是（1，2）； （2）①直线EF经过点C； 理由：如图1，记EF交x轴于点P， 由题意得，DF＝t， ∵A（3，0），， ∴OA＝3，， ∴， ∵∠BAO＝∠EAP，∠BOA＝∠EPA， ∴△BAO∽△EAP， ∴， ∴， ∴PE＝t，AP＝2t， ∴OP＝3﹣2t， 当直线EF与x轴垂直时， 则∠POD＝∠ODF∠OPF＝90°， ∴四边形ODFP为矩形， ∴OP＝DF． ∴3﹣2t＝t， ∴t＝1， ∴OP＝DF＝1，PE＝1， ∴F（1，﹣3），E（1，1）， 又∵C（1，2）， ∴直线EF经过点C； ②作EP⊥x轴于点P，交直线DH于点I， 由①可知，PE＝t，AP＝2t，OP＝3﹣2t，DF＝t， ∵， ∴E（3﹣2t，t），F（t，﹣3）， ∵点G是EF的中点， ∴， 由A、C坐标可得直线AC解析式y＝﹣x+3， 连接AC，CM，MG，AG， ∵四边形ACMG是平行四边形， ∴CA∥MG，CA＝MG， ∴设直线MG解析式为y＝﹣x+n， 将代入得n＝0， ∴直线MG解析式为y＝﹣x， 联立， 解得或（舍去）， ∴， ∵C（1，2），A（3，0），， ∴， ∴， ∴． 25．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠FED＝90°， ∴∠BAF＝∠DEG＝90°﹣∠FED， 又∵∠ABF＝∠EDG＝90°， ∴△ABF∽△EDG， ∴，即， Rt△EFG中，， ∴； （2）①证明：过E作AD的垂线，交BC于M，过G、H分别作ME的垂线，垂足为N、P， 则∠EPH＝∠N＝∠EFG＝90°， ∵∠EPH＝∠EMF＝90°，∠PEH＝∠MEF， ∴△EPH∽△EMF， ∴（☆）， ∵∠GEN＝∠EHP＝90°﹣∠PEH， ∴△HPE∽△ENG， ∴， ∴， 代入（☆）式，得：， ∵， ∴， ∵AD＝2AB， ∴； ②解：设AE＝x，GN＝DE＝y，则DG＝3x， ∵△HPE∽△ENG， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵BM＝AE＝x，， ∴， ∴Rt△BHQ中，， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $