四川广安市加德学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

广安加德学校2025-2026学年度下期高2024级半期考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.A8+C9=() A.24 B.27 C.36 D.42 2.已知二项式(2x-1)(n∈N)的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n的值为() A.8 B.7 C.6 D.5 3.下列函数中，在(1，+o)内为增函数的是( A.y=3sinx B.y-c C.y=sinx-x D.y=Inx-x 4.将4本不同的书发给3位同学，每人至少一本的不同发放种数为() A.36 B.44 C.65 D.72 5.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(BA=0.2,则P(AB)=() c. D.8 6如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某 一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方 案有() A.9种 B.8种 C.7种 D.6种 7.若自然数P使得作竖式加法P+(P+)+(P+2)不发生进位现象，称P为“加德数”，如 11+12+13不产生进位，所以11是“加德数”：42+43+44产生了进位现象，所以42不是“加 德数”那么在小于2026的四位自然数中，“加德数”共有( A.48个 B.54个 C.57个 D.96个 8.已知x是函数f(x)=xhx-2026的零点，x3是函数g(x)=1nx+x-h2026的零点，则x2的值为 () A.2026 B. e C.√2026 D.2026 e 2026 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知1-x)1=a+4x+a,x2++aonx07，则下列说法正确的有（) A.展开式的各二项式系数的和为0B.4+4++ao,=-1 C.a42027=-1 D.2202746+220264+20m5++2°a4021=1 10.己知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器 件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%：现在在这三 个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有() A.此件产品是次品的概率为0.02 B.此件产品是次品的概率为0.025 C.此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D.此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04 11.将五个编号为1,2,3,4,5的小球放入五个分别标有1,2,3,4,5号的盒子中，则 下列结论正确的有() A.共有3125种放法 B.恰有一个盒子不放球，共有1200种放法 C.恰有两个盒子不放球，共有3000种放法 D.没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有44种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从两点分布，P(X=1)=0.56,则P(X=0)= 13.元宵灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要逐一取下，如图所示，有 种 不同的取法。 。+x-。+m=0有三个不相等的实数解5，x,,且x<0<<飞，其中 14.若关于x的方程x+e m∈R则（停-（告-X点-）的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,（13分)设甲袋中有3个白球、2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和 个黑球（N)，这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率 为} (1)求m的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率： (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是 白球或黑球的概率 16.(15分)已知直线1：x+ay-2=0 (1)若直线1'：3x-y=0与1垂直，求a的值； (2)若直线1与抛物线y2=2x交于A,B两点，O为坐标原点，求证：OA1OB 17.(15分)已知n∈N,(x+1)”=a+4x+ax2+..+a,x,m∈R (1)若a+a2++an=-1,求实数的值 (2)已知(x+1)”展开式的所有二项式系数之和为128，且4，=-945 (i)求(x+)”(x+2)展开式中含x项的系数： (i)设a=720+C。79+C3718++C07-1,求a除以m所得余数 18.(17分)从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一 次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须 将球传出 ()记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列： (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲 手中的概率为Pn,n=1,2,3,, ①直接写出P,P2,P3的值； ②求P+1与Pn的关系式(n∈N),并求P.(n∈N) 19.（17分)设函数f(x)=e-1-x-x2. (1)若a=0,求f(x)的单调区间 (2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 广安加德学校2025-2026学年度下期高2024级半期考试数学答案 1-4:CABA 5-8:ADCD 9:BCD 10:BD 11:ABD 1.【答案】C【详解】A+C=6×5+4×3=36 2×1 2.【答案】A【详解】：因为(2x-l)”(n∈N)的展开式中，仅有第5项的二项式系数C4最大，所以n=8. 3【答】B【详解】对于A项。=3m在仔上单调道减，放A顶错误： 对于B项，y=e任-少，由y>0得，x>1,则y-C在1+o)内为增函数，故B项正确； 10 对于C项，y'=cosx-1≤0，则y=sinx-x在(1，+o)内单调递减，故C项错误； 于D项，y-1，由y<0得，x>1,则y=n=x在+o)内单调递减，故D项错 1” 4.【答案】A【详解】由题可知，有1位同学分得两本书，其他2位同学各得一本，可以先从4本书中挑出2本， 将书分为3份，再将这三份书全排列分给3位同学，故不同分法的种数是CA=36 5.【答案】A【详解】因为P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(BA)=0.2,所以P(A)=1-P(A)=0.7, P(BA) P_P-02,所以P(aB)=0.14,因为P(B)=P(aBUA8)=P(B)+P(AB),即 P(A0.7 04=0.14+P(AB),所以P(AB)=0.26,P(B)=PA-026-13 P(B）0.420 6.【答案】D【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选：第二步B区域有2种颜色可选：第 三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选，由分步计数原理可得，共有C·C?·C·C=6种不 同的种植方案故选：D. 7.【答案】C【详解】在小于2026的四位自然数中，当千位数字∈{1,2}时，“加德数”需要满足个位数字∈{0,1,2} ，十位数字∈{0,1,2,3}.当千位数字为1时，百位和十位数字可以为0,1,2,3.此时共有4×4×3=48个：当千位数字 为2时，百位数字只能为0，十位数字可以为0,1,2.个位数字可以为0,1,2.此时共有3×3=9个.最后共有48+9=57个. 8.【答案】D【详解】x是函数f(x)=xhx-2026,∴f(x)=nx-2026=0,5nx=2026, :52是函数g(x)=lnx+x-ln2026的零点，.g(x2)=nx2+x-ln2026=0,.nx2+x2=ln2026, .Inx2+Ine=In 2026,.In(e)=In 2026,.xe =2026,h(x)=xe*,()Inxem=In=2026, h(x2)=xe=2026,l'(x)=e+xe=1+x)e,'x>0,∴N(x)=e+xe=(1+x)e*>0,∴.h(x)=xe在(0，+o) 上是单调递增函数，由h(n)=h(s),lnx=2,.x2=lh=2026 9.【答案】BCD【详解】对于A,各项的二项式系数和为：22027，A错误：对于B,令x=0,则a=1,令x=1, 则a4+4+%++4m=0,所以4+4++47=-4，=-1，B正确：对于C,am=C(-1)”-1,C正确： 对于n.方则g严4目月，两同斜 1=220746+22026a+20254++41,所以20246+22026q+22025a+.+2a21=1正确. 10.【答案】BD【详解】对于AB,该产品是次品的概率为60%x3%+30%x×2%+10%x1%=2.5%=0.025,A错误， B正确：对于C,此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率R=-606x36 0.025 来乙车何的摄案R6,则3，C错识：对于D,此件产品是玖品的情视下，米自了丙车向的概率 B=1086x16=0.04,D正确，故选：BD 0.025 11.【答案】ABD【详解】对于A,由题意知，共有5=3125种放法，故A正确；对于B,恰有一个盒子不放球， 选出不放球的盒子，共有C种，再将5个球分为4份，其中一份有2球，再分给4个盒子，共有C×A,所以共有 C×C×A4=1200种放法，故B正确：对于C,恰有两个盒子不放球，选出不放球的盒子，共有C种，再将5个 球分为3份，可分为11,3和2,21，再分给3个盒了，共有CCxC+CixCixc×A,所以共有 2! 2! c3x /cixcxd cxcixcxA-1500种放法，故c错误： 2 2! 对于D,用递推的方法计算，记个元素的错位排列数为D():对于D(1)：只有1个球，必须放1号盒，一定同 号，所以D(1)=0,对于D(2):只有两个球，只能互相放对方盒子，所以D(2)=1, 递推公式：D(n)=(n-1)×D-1)+D-2】,意思是：先选1个球，比如选球1，它不能放1号盒，所以有n-1个 盒子可以选，如果球1选了k号盒，再分两种情况算球k的放法：要么球k放1号盒，剩下-2个元素错位排列， 对应D(n-2);要么球k不能放1号盒，相当于剩下-1个元素错位排列，对应D(n-1),所以 D(3)=(3-1)×D(2)+D1)=2×1+0)=2,D(4)=(4-1)×[D(3)+D(2)]=3×(2+1)=9, D(5)=(5-1)×D4)+D3)上=4×9+2)=44，故D正确. 12.【答案】0.44【详解】因随机变量X服从两点分布，故P(X=0)=1-PX=1)=1-0.56=0.44.故答案为：044 25 13.【答案】70【详解】采用位置选对象法或者消序法都可以得出结果： Cf=-87x6x5-70 414×3×2×1 14.【答案】1【详解】换元之后化为含参一元二次方程，采用韦达定理便可得出答案. 15.【答案】(1)3： Q. 从乙袋中任取一球，取出的是红成的解有为 3+3+m3,所以m=3. (2)从甲袋中取出两球，事件A=“第一个球是白球”，事件B=“第二个球是红球” 圆AAA:高，PBAP8D想所议取第兰个球是直的条件，翻 二个球是红球的概率为 9 (3)从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为A,A,A,从乙袋取出的是白球或黑球的事件为C, 则4)04)8S8号Pc00Ac10Pc40O 由金瓶率公武得PC=P4PCA-PM)PCA+PPC4)=8日5号与025· 37.131717 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率名。 16.【答案】(1)a=3(2)证明见解析 【详解】1D由题知直线1的斜率化=3，设直线I的斜率为k,则k=,因为11，所以kK=-3=-1,解得a=3, (2)直线1：x+w-2=0与抛物线y2=2x的方程联立，消去x,得y2+2y-4=0,△=4z2+16>0, 4 17.【答案】(1)m=-1(2)(i)-1701,(ii)8 【详解】(1)令x=0得，=1，令x=1得，+4+4+.+4.=(m+1)”,则1+(-1)=(+1)”，得=-1. (2)(x+1)”展开式的所有二项式系数之和为128，得2”=128，得n=7, 则(m+)的通项公式为：T=C(x)-=Cm-t.x-,得a,=Cm2=-945, 得7x6x5m=-945,得m=-3, 3×2×1 (i)0m+1(c+2)=（-3x+1)(+2)=x(-3x+1)+2(-3x+1),则展开式中含x2项的系数为：C(-3)+2C(-3)°=-1701. (i)由m=-3得，m2=9,a=720+Cn79+C3078++C07-1 =C90720+Cn719+C378++C87+C87°-1-1=(7+1)0-2=820-2=(9-1)”-2 =C920.(-1°+Cn99.(-1'+Cn99.(-1}++C89(-1)+C09(-1)2”-2 =9C99(-1)°+Cn98(-1}+C97.(1)}°++C8(1”-1,因为-1=9x(-1)+8,所以余数为8. 18.【详解】(1)X可能取值为1,2,3， 0x-少等x-2答x-引等d C=0'所以随机变量X的分布列为 X 3 1 10 5 10 (2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为P,n=1,2,3,, 则有A0,P,专，-记A表示事件经过次传球后，球在甲手中 AH=A·A1+A·A所以P=P(A·A1+A·A+)=A,A+A·A+） =P间PA.团)+Pa)P(A4)-1-a)分，0-50-a） a12,所以m》卫} 1 即卫n+1=- 1 所以数列a-引表不以写为消项，吉为公比的等比致列，所以，专片( 防（广分（门回传球后标在甲于中的车无， 32-1 19.【详解】(1)当a=0时，f(x)=e-1-x,f'(x)=e-1.由f'(x)>0可得x>0,由f'(x)<0可得x<0.所 以f(x)的递增区间是(0，+0)，递减区间是(-∞，0). (2)法1：（分离参数法）f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立一ax≤e-1-x在[0，+∞)上恒成立. 当x=0时，式子显然成立：当x≠0时，分离参数可得a≤e-1x在(0，+)上恒成立.令P(d)=-1-x,则 x2 x2 F'()=e-2e+x+2,令hy)=te-2c+x+2,可得h(y)=xe-e+1,h(x)=xe>0,所以h()在 x3 (0,+o)上递增，于是h(x)>(0)=0,即h(x)>0,所以h(x)在(0，+o)上递增，于是h(x)>h(0)=0,所以 F'(x)>0,所以F(x)在(O,+∞)上递增.由洛必达法则， 可得细F()=1识 (2 -me®；所在0+)上有国 法2：（不猜想直接用最值法)f'(x)=e-1-2ac,f"(x)=e-2a. ①当2a≤1，即a≤号时，有f(2≥0，所以f()在0+m)上递暗，所以f)2fo)=0,所以了≥0，所 以f(x)在[0，+o)上递增，所以f(x)≥f(0)=0. ②当2a>1,即a>号时，由严(w)<0可得x<h2a时，于是f()在[0.h2a)上递减，所以了()≤/'0)=0. 所以f'(x)≤0，所以f(x)在「0，n2a)上递减，于是f(x)≤f(0)=0,于是f(x)≥0不恒成立.综上所述，a的取 值范围是(-0，引 1 法3：（先猜想并将猜想强化）当x=0时，f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立. 当x≠0时，f(9≥0在0，+四）上恒成立台a≤e-】-=F(似)在(0，+四)上恒成立.由洛必达法则，可得 () e1-片名所以a号fe1-2加， (x2 02)g22 f"(x)=e-2a≥0，所以f'(x)在[0，+w)上递增，所以f'(x)≥f'(0)=0,所以∫'(x)≥0， 所以f(x)在[0，+o)上递增，所以f(x)≥f(0)=0.