精品解析：四川天立学校集团2025-2026学年高二下学期五月联测数学试题（3+1+2）

天立集团高2024级高二下五月联测试题（3+1+2） 数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本函数的导数和复合函数的导数运算可得. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为，若成等差数列，成等比数列，（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式可得，根据等比中项可得. 【详解】设的公差为，因为成等差数列，所以， ，得. 因为成等比数列，所以，即，所以. 故选：C 3. 已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，令，即可求解. 【详解】由，可得，所以 ，则 . 故选：B. 4. 某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 540 D. 670 【答案】C 【解析】 【分析】分类考虑前往每个景区的人数，求出每种情况的方案数，即可得答案. 【详解】由题意，当每个景区都有2名同学前往时，此时方案有种； 当按分别有1，2，3名同学前往景区时，此时方案有种； 当按分别有1，1，4名同学前往景区时，此时方案有种； 故不同方案的种数为（种）， 故选：C 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项求和法求出数列的前想和，可得结果. 【详解】根据已知条件有， 当时，， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式，所以，所以. 设数列的前项和为， 则， 所以. 故选：A 6. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 故选：D. 7. 将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列的前50项和为（ ） A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到数列的前50项和中有中元素46个，中元素4个，再求即可. 【详解】由题知：中第50个数为，第41个数为， 因为，， 则数列的前50项和中含中元素46个，含中元素4个， 所以. 故选：C 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，解得，分和三种情况讨论，推出，得，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】函数， 由，得， 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，由，得或，由，得， 不满足； 当时，函数成立，符合条件， 因此，则， 令，求导得，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故. 所以最大值为. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项为 B. 含x的系数为 C. 所有的二项式系数之和为64 D. 所有项的系数之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出指定项可判断A和B，利用二项式系数的性质可判断C，利用赋值法求出展开式系数和可判断D. 【详解】在二项式展开式中，常数项为，所以A错误； 含x的项的系数为，B正确； 所有的二项式系数之和为，C正确； 令，可得所有项的系数之和为1，D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的单调递增区间为 D. 当时，在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间. 【详解】A选项，的定义域为， 若为奇函数，则，解得，A错误． B选项，， 所以的图象关于直线对称，B正确． C选项，若，则． 令，解得， 所以的单调递增区间为，C正确． D选项， ， 当时，，故． 令，即，解得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：BCD 11. 谢尔宾斯基垫片（Sierpinski Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下： ①从一个边长为1的等边三角形开始； ②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作； ③对剩下的3个三角形重复步骤②； 设第次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为. 下列结论正确的是（ ） A. 经过次操作，可以使得 B. 经过次操作，可以使得 C. 经过次操作，可以使得 D. 经过次操作，可以使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析每次操作后剩下的所有小三角形的周长和面积的变化规律，写出其通项公式，再逐一分析选项即可. 【详解】初始时，大等边三角形边长为1，周长记为，面积记为； 第一次操作，将大等边三角形分成4个全等的等边三角形，每个小三角形的边长为，剩下3个三角形， 这3个三角形的周长之和为，面积为； 第二次操作，对剩下的3个边长为的三角形，每个又分成4个边长为的小三角形，剩下个三角形， 这个三角形的周长之和为，面积为； 以此类推，第n次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和， 面积，其中. 对于A，要使得，即，因为随着的增大而减小， 且时， ，所以当足够大时，会有，故A正确； 对于B，要使得，即 ，因为随着的增大而增大， 且时， ，所以当足够大时，会有 ，故B正确； 对于C，要使得，即，因为随着的增大而增大， 且，所以，故C错误； 对于D，要使得，即 ，因为随着的增大而增大， 且时， ，所以当足够大时，会有 ，故D正确； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由初等函数导数公式和复合导数运算法则求可得，再代入计算即得答案. 【详解】由，得. . 故答案为：. 13. 甲方和乙方分别作为买家和卖家藏某商品进行价格谈判．第一轮，甲方出价万元，乙方要价万元．以后每一轮谈判中，双方根据上一轮的情况调整自己的报价，其中甲方新报价为上一轮自己报价的加上乙方上一轮报价的，乙方新报价为上一轮甲方报价的加上自己上一轮报价的．当双方报价的近似值（四舍五入到万元）相等时，以该近似值为成交价结束谈判，则成交价为______万元，共进行了______轮报价． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设甲方第轮报价为万元，乙方第轮报价为万元，则，，当时，由题意可得，求出数列、的表达式，解不等式，解出的最小值，即可得出结论. 【详解】设甲方第轮报价为万元，乙方第轮报价为万元，则，， 当时，由题意可得， 上述两个等式相加得，即数列是常数列， 故，即①， 由上可得，且， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以②， 由①②可得，， 由可得，由于，且，，即. 故的最小值为，且，， 因此，成交价为万元，共经过了轮谈判. 故答案为：；. 14. 函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）7名学生站成一排照相留念，其中男生5人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某兴趣小组有10名同学，其中男生6名，女生4名，现要从中选取3人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，1，3，5中任取2个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1）960；（2）64；（3）756 【解析】 【分析】（1）先从男生5人中选出2人站在两边，再用捆绑法进行求解，得到答案； （2）从10人中选取3人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法．相减法得到答案； （3）分不包含0和包含0两种情况，求出相应的个数相加即可. 【详解】（1）从男生5人中选出2人站在两边，有种不同的站法； 2名女生看成一个整体，跟剩下的3名男生排列，有种， 所以一共有种不同的站法； （2）从10人中选取3人，有种选法；男生甲与女生乙都不参加，有种选法． 所以男生甲与女生乙至少有1人参加，共有种选法； （3）第一类：从0，1，3，5中任取2个数字，不包含0的一共有种不同的选法． 从2，4，6，8中任取2个数字，一共有种不同的选法． 一共可以组成个没有重复数字的四位数． 第二类：从0，1，3，5中任取2个数字，包含0的一共有种不同的选法． 从2，4，6，8中任取2个数字，一共有种不同的选法． 一共可以组成个没有重复数字的四位数． 所以一共可以组成个没有重复数字的四位数． 16. 已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，． （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，则由已知条件列方程可求出公差，从而可求出，设等比数列的公比为，由已知条件列方程组求出，从而可求出； （2）由（1）可得，然后利用错位相减法可求出 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因，，则，得， 所以， 所以，， 因数列为单调递增的等比数列，则可设数列的公比为， 因为，所以，得或（舍）， 所以，解得， 所以， 则数列的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 当，则，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，因此曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，， 当时，，，此时在上单调递增； 当时，，，此时在上单调递减； 因此，若在上恰有2个零点， 则必须满足：，解得：， 所以实数a的取值范围为. 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，于是， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，； 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，，利用求导判断单调性； （2）利用求导，分类讨论求解的范围； （3）根据（2），进行放缩，令代入整理，累加可得. 【小问1详解】 证明：由，则， 故，令， 则，令，则， 故，，在单调递增， ，，在单调递减， 故， 则在单调递减； 【小问2详解】 由在恒成立， 则在恒成立， 令在恒成立， ，令， 当时，，，，所以 所以，则在单调递减， 所以这与在恒成立矛盾，所以不满足条件， 当时，，对称轴， 若 即, 当时，，， 故，则在单调递增， 所以，故 . 若 即 当时，,则 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以与在恒成立矛盾， 故. 【小问3详解】 由（2）时， 故时，， 令，则，， 则个不等式相加 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天立集团高2024级高二下五月联测试题（3+1+2） 数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若成等差数列，成等比数列，（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知函数 的导函数为，且满足，则 （ ） A. B. C. 1 D. 4. 某校6名同学打算去武汉旅游，现有黄鹤楼、古德寺、湖北省博物馆三个景区可供选择.若每个景区中至少有1名同学前往打卡，每人仅去一个景点，则不同方案的种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 540 D. 670 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列的前50项和为（ ） A. 2160 B. 2240 C. 2236 D. 2490 8. 已知函数，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项为 B. 含x的系数为 C. 所有的二项式系数之和为64 D. 所有项的系数之和为 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. 的图象关于直线对称 C. 若，则的单调递增区间为 D. 当时，在上单调递增 11. 谢尔宾斯基垫片（Sierpinski Gasket）是一种分形图形，其构造过程如下： ①从一个边长为1的等边三角形开始； ②将三角形分成4个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作； ③对剩下的3个三角形重复步骤②； 设第次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为. 下列结论正确的是（ ） A. 经过次操作，可以使得 B. 经过次操作，可以使得 C. 经过次操作，可以使得 D. 经过次操作，可以使得 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 13. 甲方和乙方分别作为买家和卖家藏某商品进行价格谈判．第一轮，甲方出价万元，乙方要价万元．以后每一轮谈判中，双方根据上一轮的情况调整自己的报价，其中甲方新报价为上一轮自己报价的加上乙方上一轮报价的，乙方新报价为上一轮甲方报价的加上自己上一轮报价的．当双方报价的近似值（四舍五入到万元）相等时，以该近似值为成交价结束谈判，则成交价为______万元，共进行了______轮报价． 14. 函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）7名学生站成一排照相留念，其中男生5人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某兴趣小组有10名同学，其中男生6名，女生4名，现要从中选取3人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，1，3，5中任取2个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 16. 已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，． （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，求证：在上单调递减； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $