精品解析：2025年江苏省宿迁市沭阳县梦溪中学 中考模拟数学试卷（5月

江苏省宿迁市沭阳县梦溪中学2025中考模拟 数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分180分．考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 我国人口总数约为13亿，用科学记数法可表示成（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式组的所有整数解之和是（ ） A. 60 B. 12 C. 13 D. 15 6. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的解是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、填空题（本大题共有10个题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如果有意义，那么x的取值范围是_________． 11. 梯形的中位线长为4，高为3，则该梯形的面积为________． 12. 已知，则________． 13. 如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么_____ ． 14. 如图，D、E两点分别在ABC 的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足_____条件（写出一个即可）时，ADE∽ACB． 15. 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是__________． 16. 由中央和地方财政直补的方式对农民购买的家电产品给予销售补贴，促进内需和外需协调发展．村民小郑购买一台彩电，在扣除的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了元钱，那么他购买这台彩电节省了___元钱． 17. 如图，等腰梯形中，，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于点，若，则的长为_______． 18. 如图，已知点A的坐标为，轴，垂足为B，连接，反比例函数的图象与线段、分别交于点C、D．若，以点C为圆心，的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 当时，求的值． 21. 为推进阳光体育活动的开展，某校九年级三班同学组建了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动小组．经调查全班同学全员参与，各活动小组人数分布情况的扇形图和条形图如下： （1）求该班学生人数； （2）请你补上条形图的空缺部分； （3）求跳绳人数所占扇形圆心角的大小． 22. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． 23. 在湖南电视台举行的“快乐女声”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论． （1）写出三位评委给出选手的所有可能的结论； （2）对于选手，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？ 24. 如图：在等腰梯形中，，对角线、相交于． （1）图中共有 对全等三角形； （2）写出你认为全等的一对三角形，并证明． 25. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 26. 姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： （1）方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； （2）如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 27. 已知抛物线交轴于、两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接，过点O作直线交抛物线的对称轴于点E． 求证：四边形是等腰梯形； （3）抛物线上是否存在点Q，使得的面积等于四边形的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 28. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）． （1）D，F两点间的距离是 ； （2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF－FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省宿迁市沭阳县梦溪中学2025中考模拟 数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分180分．考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．答题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 我国人口总数约为13亿，用科学记数法可表示成（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法进行解答即可 【详解】13亿＝1300000000 根据科学记数法的表示形式，，可确定，n值等于原数的整数位数减1，可确定， 故1300000000用科学记数法表示为：． 故选：C 【点睛】本题考查科学记数法，正确理解科学记数法的表示形式是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根定义、幂的乘方、单项式乘法及负指数运算规则．关键要区分算术平方根与方程解的区别，正确应用指数运算性质．错误选项常通过忽略符号规则或指数计算错误设置陷阱．对每个选项逐一进行运算，验证其是否符合题意． 【详解】解：A、，A选项错误； B、，B选项正确； C、，C选项错误； D、，D选项错误． 故选：B． 4. 如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞从物体的三视图中即有圆形又有正方形的物体可以堵住空洞，然后对各选项的视图进行一一分析即可． 【详解】解：∵既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞， ∴从物体的三视图来看，三视图中具有圆形和方形的可以堵住带有圆形空洞和方形空洞的小木板， A．正方体的三视图都是正方形，没有圆形，不可以是选项A； B．圆柱形的直径与高相等时的正视图与左视图都是正方形，俯视图是圆形，具有圆形与正方形，可以是选项B， C．圆锥的正视图与左视图都是三角形，俯视图数圆形，没有方形，不可以是选项C； D．球体的三视图都是圆形，没有方形，不可以是选项D． 故选择B． 【点睛】本题考查物体能堵住圆形空洞和方形空洞，实际上是考查物体的视图，掌握物体三视图中找出具有圆形和方形的物体是解题关键． 5. 不等式组的所有整数解之和是（ ） A. 60 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，先求出两个不等式的解集，再求出公共解集，进而求出整数解，求和即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 该不等式组的解集为， 所有整数解之和为：， 故选B． 6. 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，据此可得答案． 【详解】解：进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少， ∴四个选项中，只有D选项的函数图象符合题意， 故选D 7. 方程的解是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 ， ， 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解． 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 8. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设直线y=x+b与x轴交于点C，如图所示． 令y=x+b中x=0，则y=b， ∴B（0，b）； 令y=x+b中y=0，则x=-b， ∴C（-b，0）． ∴∠BCO=45°． ∵α=∠BCO+∠BAO=75°， ∴∠BAO=30°， ∵点A（5，0）， ∴OA=5， 在Rt△BAO中，∠BAC=30°，OA=5， ∴tan∠BAO==， ∴BO=， 即b=． 故答案是B． 【点睛】一次函数图象上点的坐标特征；三角形的外角性质；等腰直角三角形；解直角三角形． 二、填空题（本大题共有10个题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如果有意义，那么x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 11. 梯形的中位线长为4，高为3，则该梯形的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了梯形中位线定理和梯形的面积公式即可得到结论．根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵梯形的中位线长为4，高为3， ∴该梯形的面积为， 故答案为：12． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式应用，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么_____ ． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次方程求解，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据题意列出，解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 14. 如图，D、E两点分别在ABC 的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足_____条件（写出一个即可）时，ADE∽ACB． 【答案】∠ADE=∠C（答案不唯一） 【解析】 【分析】要使两个三角形相似，使两个角对应相等，或两边对应成比例且夹角相等，即可得出其相似． 【详解】解：∵∠A=∠A ∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或或AD•AB=AC•AE时，两三角形相似． 故答案为：∠ADE=∠C（答案不唯一） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定，熟练掌握满足两个三角形相似的条件． 15. 如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率和正方体表面展开图，解题的关键是熟识正方体表面展开图的结构，根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率． 【详解】解：∵共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分， ∴剩下7个小正方形．在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有最上面的4个， ∴先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是， 故答案为：． 16. 由中央和地方财政直补的方式对农民购买的家电产品给予销售补贴，促进内需和外需协调发展．村民小郑购买一台彩电，在扣除的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了元钱，那么他购买这台彩电节省了___元钱． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设他够买的这台彩电标价为元，根据优惠方案和实际售价找出等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设他够买的这台彩电标价为元，根据题意得， 解方程得 （元） 所以，他购买这台彩电节省了元． 17. 如图，等腰梯形中，，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，利用切线定理和等腰梯形的性质得到和，然后判定为等腰直角三角形，求出和，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点， ∴，， ∵四边形为等腰梯形，， ∴，且， ， ∴为等腰直角三角形， ， , ∴的长为， 故答案为：． 18. 如图，已知点A的坐标为，轴，垂足为B，连接，反比例函数的图象与线段、分别交于点C、D．若，以点C为圆心，的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，直线与圆的位置关系，两点间距离公式等知识，过点C作于E，先求出点D的坐标，再根据待定系数法反比例函数和直线的解析式，然后联立方程组求出点C的坐标，则可求出圆的半径，最后根据直线和圆的位置关系判断即可． 【详解】解：过点C作于E， ∵已知点A的坐标为，， ∴，，， ∴D点的坐标为 ， 代入，得， ∴反比例函数 解析式为：， 设直线解析式为：， 则， ∴ ， ∴， 联立方程组， 解得，（不符合题意，舍去） ∴ ∴， ， ∴， ∴ ∵， ∴该圆与x轴的位置关系是相交， 故答案为：相交． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，绝对值，求特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算加减即可． 【详解】解：原式． 20. 当时，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的分母有理化． 先利用分式的减法法则计算小括号里面的，然后计算除法，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 为推进阳光体育活动的开展，某校九年级三班同学组建了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动小组．经调查全班同学全员参与，各活动小组人数分布情况的扇形图和条形图如下： （1）求该班学生人数； （2）请你补上条形图的空缺部分； （3）求跳绳人数所占扇形圆心角的大小． 【答案】（1）48（人） （2）篮球小组人数为（人）， 补全条形图如下： （3）它所占扇形圆心角的大小为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由扇形图知，乒乓球小组人数占全班人数的，由条形图可知，乒乓球小组人数为12，所以可求得总人数=乒乓球小组人数； （2）由扇形图可知，篮球小组人数占，再乘以总人数可得篮球小组人数； （3）圆心角的度数所占的百分比． 【小问1详解】 解：由扇形图可知，乒乓球小组人数占全班人数的 ， 由条形图可知，乒乓球小组人数为12， 故全班人数为（人）； 【小问2详解】 解：由扇形图可知，篮球小组人数为（人）； 【小问3详解】 解：因为跳绳小组人数占全班人数的 ， 所以，它所占扇形圆心角的大小为． 22. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长． 【答案】（1）60°；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：(1)、方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出；方法2，证明△ABP为等边三角形，从而可将∠APB的度数求出； (2)、方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP中，利用三角函数，可将AP的长求出；方法2，作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，将AD的长求出，从而将AB的长求出，也即AP的长． 试题解析：(1)、方法一： ∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°， ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°， ∴在四边形OAPB中， ∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°． 方法二： ∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA； ∵∠OAB=30°，OA⊥PA， ∴∠BAP=90°﹣30°=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB=60°． (2)、方法一：如图①，连接OP； ∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°， 又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴AP==3． 方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD=AB； ∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30° ∴AD=OA•cos30°=， ∴AP=AB=3． 考点：切线的性质． 23. 在湖南电视台举行的“快乐女声”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论． （1）写出三位评委给出选手的所有可能的结论； （2）对于选手，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？ 【答案】（1） 画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果： （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果； （2）根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种． 对于A选手，“只有甲、乙两位评委给出相同结论”有2种，即“通过-通过-待定”、“待定-待定-通过”， 所以对于A选手“只有甲、乙两位评委给出相同结论”的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图：在等腰梯形中，，对角线、相交于． （1）图中共有 对全等三角形； （2）写出你认为全等的一对三角形，并证明． 【答案】（1）3 （2） ①根据等腰梯形的性质得： ， ∴； ②根据等腰梯形的性质得： ， ∴； ③结合①②可得：和， ∴， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的判定定理． （1）利用腰梯形的性质，全等三角形的判定定理和性质即可求解； （2）腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 解：①； ②； ③； 故答案为：3； 【小问2详解】 略 25. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命．位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？（结果精确到个位．参考数据：） 【答案】28分钟 【解析】 【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，分别在Rt△ABD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案． 【详解】解：过点B作BD⊥AC于D，由图可知， 作于（如图）， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴（分钟） 答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 26. 姚明将带队来我市体育馆进行表演比赛，市体育局在策划本次活动，在与单位协商团购票时推出两种方案．设购买门票数为（张），总费用为（元）． 方案一：若单位赞助广告费8000元，则该单位所购门票的价格为每张50元；（总费用＝广告赞助费+门票费） 方案二：直接购买门票方式如图所示． 解答下列问题： （1）方案一中，与的函数关系式为 ；方案二中，当时，与的函数关系式为 ，当时，与的函数关系式为 ； （2）如果购买本场篮球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； （3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场篮球赛门票共700张，花去总费用计56000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张． 【答案】（1） （2）当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省 （3）甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张 【解析】 【分析】本题主要考查了函数关系式，利用待定系数法求一次函数的解析式，求图象的交点坐标，利用图象判定自变量的大小，利用一元一次方程解决实际问题等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质，分类讨论的数学思想． （1）根据题意列出函数关系式，利用待定系数法求正比例函数和一次函数的解析式即可； （2）联立方案一和方案二解析式，求出交点坐标，利用图象即可判定出省钱的方案； （3）设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，分类两种情况进行讨论，根据总费用列出一元一次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：方案一中，与的函数关系式为； 方案二中，当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， ， 解得 所以，当时，与的函数关系式为； 当时，假设与的函数关系式为， 将代入解析式得， 解得 所以，当时，与的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示， 联立 解得 所以，当时，选择方案二总费用最省；当时，方案一、二均可；当时，选择方案一，总费用最省； 【小问3详解】 解：设甲单位购买了张门票，则乙单位购买了张，根据题意得， 当时， 解得，不符合题意舍去； 当时， 解得， 则， 所以，甲单位购买门票400张，乙单位购买门票300张． 27. 已知抛物线交轴于、两点，交y轴于点C，其顶点为D． （1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴； （2）连接，过点O作直线交抛物线的对称轴于点E． 求证：四边形是等腰梯形； （3）抛物线上是否存在点Q，使得的面积等于四边形的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），3， （2） 证明：∵抛物线的解析式为， 令，可得，即C点坐标为， ∵， ∴， 如下图，设抛物线的对称轴交轴于点，连接， 则点坐标为， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， 在和中，，， ∴， ∴四边形是等腰梯形； （3）存在，点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将点、代入抛物线解析式，利用待定系数法解得b、c的值，即可确定该抛物线解析式，并确定其对称轴； （2）首先确定点C，D坐标；设抛物线的对称轴交轴于点，连接，易得点坐标为，分别证明，均为等腰直角三角形，易得，可证明，可知四边形是梯形，再利用勾股定理确定，即可证明结论； （3）点坐标为，首先求得于四边形的面积，由题意得，易得或，然后分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，理由如下： 由题意得，可得， 设点坐标为， 由题意得， ∴， ∴或， 当时，可有， 解得， ∴点坐标为或， 当时，可有， 解得， ∴点坐标为． 综上所述，若的面积等于四边形的面积的，则点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数综合应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 28. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）． （1）D，F两点间的距离是 ； （2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF－FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值． 【答案】（1）25；（2）能，t=；（3），；（4）和 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质求解即可； （2）能，连结，过点作于点，由四边形为矩形，可知过的中点时，把矩形分为面积相等的两部分，此时，通过证明，可得，再根据即求出t的值； （3）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，根据相似的性质、线段的和差关系列出方程求解即可； （4）（注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点，均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻；当时，点，均在上，不存在． 【详解】解：（1）∵D， F分别是AC， BC的中点 ∴DF是△ABC的中位线 ∴ （2）能． 连结，过点作于点． 由四边形为矩形，可知过的中点时， 把矩形分为面积相等的两部分． （注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明）， 此时． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵F是BC的中点 ∴ ∴． 故． （3）①当点在上时，如图1． ，， 由，得． ∴． ②当点在上时，如图2． 已知，从而， 由，，得． 解得． （4）和． （注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点，均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻；当时，点，均在上，不存在．） 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，掌握中位线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、平行线的性质以及判定定理、解一元一次方程的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $