精品解析：2026年江苏盐城市鹿鸣路等两校中考一模数学试题

初三数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 若水位上升记作，则水位下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 7. 小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 在平面直角坐标系中，点绕点旋转后得到点，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 盐城是全国海上风电产业的标杆城市，截至2026年第一季度，全市海上风电并网规模已突破7200000千瓦，持续领跑全国．数据7200000用科学记数法可表示为________． 11. 如图，直线，，被直线所截，若，则的度数为_____． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 13. 已知，则________． 14. 边长相等的正六边形和正方形按照如图方式摆放，则______． 15. 关于的不等式的解集为或，则________． 16. 如图，点在的边上，连接交于点，若，且，则________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 计算：． 18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为丰富周末课余生活，感受家乡的城市魅力，小明、小丽和小华计划参加盐城本地研学活动．为了公平决定打卡景点，三人准备从“大洋湾”“荷兰花海”“珠溪古镇”这三个盐城热门景点中，通过随机抽取卡片的方式，每人各选一个景点打卡．下面是班长制作的正面印有不同盐城景点的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这3张卡片背面向上，洗匀，放好． ．大洋湾 ．荷兰花海 ．珠溪古镇 （1）小华从这3张卡片中随机摸出一张，摸到“．荷兰花海”的概率是________； （2）小明从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，然后将卡片放回，洗匀，小丽再从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人选到同一景点打卡的概率．（卡片名称用，，表示即可） 21. 某商店促销甲、乙两种饮料活动规则如图所示．小明买了甲，乙饮料各1杯，用了12元；小华买了3杯甲饮料和5杯乙饮料，用了38元．甲，乙两种饮料每杯分别是多少元？ 22. 为迎接射击比赛，甲、乙两名运动员进行射击训练，两人各射击5次，他们的总成绩（单位：环）相同，小明根据他们的成绩绘制了不完整的统计图表． 甲、乙两人射击成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 7 7 8 10 9 乙 9 8 8 10 （1）________环，甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环． （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． （3）谁将被选中参加比赛？请说明理由． 23. 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 24. 如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点320米的点测得山顶的仰角为，请帮助小明解决下列问题： （1）求山顶到山脚的距离． （2）如图2，若在山脚距离60米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度．（，，，） 25. 如图，矩形中，，点在边上，经过点，，与交于点，与相切于点，，，连接． （1）求证：是的切线； （2）仅用无刻度直尺，尝试用较少的步骤，过点作直线． 26. 项目主题：“天眼”中的数学 “中国天眼”（）是当今世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．其核心工作原理是：望远镜在追踪天体时，反射面可实时调整形成瞬时抛物面，将平行入射的电磁波经反射后精准汇聚于馈源舱（信号接收器）． 为深入理解天眼抛物面反射信号的原理，“鹿鸣·博约”数学项目小组将空间抛物面的光学性质近似转化为平面抛物线问题进行了如下研究： 探究一：理解电磁波在抛物面上的反射 电磁波在平面镜上的反射符合光的反射定律，因而电磁波在抛物面上的反射可以近似转化成电磁波在平面镜上的反射． 如图，直线与抛物线交于点，直线过点且与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，电磁波在抛物线上的反射，等同于电磁波在平面镜（直线）上的反射，反射电磁波与轴交于点．推理发现与之间的数量关系为： ① ． 探究二：性质研究 项目组尝试对直线一般化，计算直线的反射电磁波与轴的交点，发现均为同一个定点； 项目组又尝试对直线和同时一般化，计算直线在抛物线上的反射电磁波与轴的交点坐标为 ② ，发现依然是同一个定点． 探究三：灵活运用 电磁波在抛物线上发生两次反射，入射电磁波和第二次反射后的电磁波之间距离为，则 ③ ． （1）求“探究一”中直线的函数表达式； （2）写成①处空缺的内容：________，并求点的坐标； （3）完成②处空缺的内容：________，并写出计算过程； （4）完成③处空缺的内容：________． 27. 如图1，是的直径，矩形的顶点在上，，点在上，点在上，，相交于点． （1）①猜想与的数量关系，并证明； ②当________时，是的中点； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，连接交于，若，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 若水位上升记作，则水位下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵水位上升记作，说明规定上升为正方向， ∴与上升意义相反的下降应记为负，因此水位下降记作. 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A，，∴ A错误； 对选项B，，∴ B错误； 对选项C，，∴ C错误； 对选项D，，运算符合幂的乘方法则，∴ D正确． 4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：主视图是指从物体正面观察得到的图形， 从正面看，底层有3个小正方形， 上层最右侧有1个小正方形， ∴选项B满足题意． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式，原式，根据，可得． 【详解】原式． 因为， 所以． 所以． 所以原式的值在和之间． 故选：B 6. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 7. 小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可． 【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 8. 在平面直角坐标系中，点绕点旋转后得到点，则旋转中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转中心到旋转前后对应点的距离相等，因此旋转中心在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，即可结合选项得到的坐标. 【详解】∵ 旋转中心到对应点的距离相等，即 ， ∴ 点在线段的垂直平分线上， 已知 ，， ∴的中点坐标： 横坐标为 ，纵坐标为 ，即中点为 ， 设点，则，， ∵， ∴, 解得：，则点的坐标为， 设线段的垂直平分线解析式为， 将点与代入解析式中， 得，解得， ∴线段的垂直平分线解析式为， 将各选项的点代入，只有C满足． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. 盐城是全国海上风电产业的标杆城市，截至2026年第一季度，全市海上风电并网规模已突破7200000千瓦，持续领跑全国．数据7200000用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如图，直线，，被直线所截，若，则的度数为_____． 【答案】##130度 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 12. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴． 13. 已知，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】将所求代数式变形后，再整体代入即可求解． 【详解】解：． 14. 边长相等的正六边形和正方形按照如图方式摆放，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出正六边形的每个内角度数，可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵正六边形的内角和为，  ∴正六边形的每个内角为，  ∵正方形的每个内角为， ∴， 又∵， ∴． 15. 关于的不等式的解集为或，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为直线与反比例函数的图象的交点问题，得到直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为和，进而求出交点坐标，代入一次函数解析式，即可得出结果. 【详解】解：∵的解集为或， 即的解集为或， ∴直线与反比例函数的图象的交点的横坐标为和， 当时，，当时，， ∴两条图象的交点为， 把，代入，得. 16. 如图，点在的边上，连接交于点，若，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，从而证得，得到；结合已知条件及公共角证得，得到；设，利用线段的和差关系及已知比例列出关于的方程求解即可  【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，  ∵，， ∴， 又∵， ∴，  ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， 经检验，不合题意，舍去， ∴. 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 解集在数轴上表示如图： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式. 20. 为丰富周末课余生活，感受家乡的城市魅力，小明、小丽和小华计划参加盐城本地研学活动．为了公平决定打卡景点，三人准备从“大洋湾”“荷兰花海”“珠溪古镇”这三个盐城热门景点中，通过随机抽取卡片的方式，每人各选一个景点打卡．下面是班长制作的正面印有不同盐城景点的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同．将这3张卡片背面向上，洗匀，放好． ．大洋湾 ．荷兰花海 ．珠溪古镇 （1）小华从这3张卡片中随机摸出一张，摸到“．荷兰花海”的概率是________； （2）小明从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，然后将卡片放回，洗匀，小丽再从这些卡片中随机摸出一张确定打卡景点，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人选到同一景点打卡的概率．（卡片名称用，，表示即可） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到“．荷兰花海”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人选到同一景点打卡的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸到“．荷兰花海”的结果有1种， ∴小华从这3张卡片中随机摸出一张，摸到“．荷兰花海”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中两人选到同一景点打卡的结果数有3种， ∴两人选到同一景点打卡的概率为． 21. 某商店促销甲、乙两种饮料活动规则如图所示．小明买了甲，乙饮料各1杯，用了12元；小华买了3杯甲饮料和5杯乙饮料，用了38元．甲，乙两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】甲饮料每杯5元，乙饮料每杯7元 【解析】 【分析】设甲，乙两种饮料每杯分别是元，元，根据“甲，乙饮料各1杯共12元”得出；小华买了3杯甲饮料和5杯乙饮料，根据促销规则，实际付费为，然后列方程组求解即可. 【详解】解：设甲，乙两种饮料每杯分别是元，元， 根据题意，得， 解得， 答：甲饮料每杯5元，乙饮料每杯7元. 22. 为迎接射击比赛，甲、乙两名运动员进行射击训练，两人各射击5次，他们的总成绩（单位：环）相同，小明根据他们的成绩绘制了不完整的统计图表． 甲、乙两人射击成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 7 7 8 10 9 乙 9 8 8 10 （1）________环，甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环． （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线． （3）谁将被选中参加比赛？请说明理由． 【答案】（1）6；7；8 （2）见解析 （3）甲，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据他们的总成绩相同，得出，再利用平均数、众数及中位数的定义即可解答； （2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可； （3）分别求出甲、乙成绩的平均数，方差，然后根据两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：甲的总成绩是：， 则， 甲成绩中，7出现的2次，次数最多，故甲成绩的众数是7， 乙成绩从小到大排序为6、8、8、9、10， 故乙成绩的中位数是8； 【小问2详解】 解：如图， 【小问3详解】 解：， ， ； ， 甲的成绩比较稳定． 甲将被选中． 23. 小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图 信息二：图2是6个碗叠放的总高度和碗的数量（个）的函数图象 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度和碗的数量的函数表达式：________． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由图1知：增加一个碗，总高度增加，由图2知：当时，，且与是一次函数，据此求解即可； （2）把，分别代入（1）所求函数解析式，即可判断. 【小问1详解】 解：由图1知：增加4个碗，总高度增加， ∴每增加一个碗，总高度增加， 由图2知：当时，，且与是一次函数， ∴； 【小问2详解】 解：将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗， 当时，， 当时，， ∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层. 24. 如图1，山坡的坡角为，小明在距山脚点320米的点测得山顶的仰角为，请帮助小明解决下列问题： （1）求山顶到山脚的距离． （2）如图2，若在山脚距离60米处有一与地面垂直的索道，为索道的支架，在山坡上还有若干个索道支架（索道支架都与地面垂直），山坡上顶端处的支架为．已知支架之间的钢索，钢索与地面平行，米，米，求点距离地面的高度．（，，，） 【答案】（1）500米 （2）260米 【解析】 【分析】（1）过A作于E，设，在、中，根据正切的定义分别求出，，结合得出，求出，，然后根据勾股定理求解即可； （2）以B为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设交y轴于D，过A作于E，延长交于F，待定系数法求出直线解析式为，根据，可设直线解析式为，把代入可求出，则可求出，根据平行线间的距离求出，即可求解． 【小问1详解】 解：过A作于E， 根据题意，得，，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 答：山顶到山脚的距离为500米； 【小问2详解】 解：以B为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设交y轴于D，过A作于E，延长交于F， 根据题意，得， ，，， ∴， 由（1）知：，， ∴， 设直线解析式为， ∴ ， 解得， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：点距离地面的高度为260米． 25. 如图，矩形中，，点在边上，经过点，，与交于点，与相切于点，，，连接． （1）求证：是的切线； （2）仅用无刻度直尺，尝试用较少的步骤，过点作直线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，并反向延长交于N，连接、，根据切线的性质得出，证明四边形是矩形，得出，，根据垂径定理求出，则，根据勾股定理求出，证明，可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）过A作直径，连接并延长交于H，连接、相交于P，过O、P作直线l即可． 【小问1详解】 解：连接，并反向延长交于N，连接、， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，直线l即为所求， 理由：∵是直径， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴． 26. 项目主题：“天眼”中的数学 “中国天眼”（）是当今世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．其核心工作原理是：望远镜在追踪天体时，反射面可实时调整形成瞬时抛物面，将平行入射的电磁波经反射后精准汇聚于馈源舱（信号接收器）． 为深入理解天眼抛物面反射信号的原理，“鹿鸣·博约”数学项目小组将空间抛物面的光学性质近似转化为平面抛物线问题进行了如下研究： 探究一：理解电磁波在抛物面上的反射 电磁波在平面镜上的反射符合光的反射定律，因而电磁波在抛物面上的反射可以近似转化成电磁波在平面镜上的反射． 如图，直线与抛物线交于点，直线过点且与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，电磁波在抛物线上的反射，等同于电磁波在平面镜（直线）上的反射，反射电磁波与轴交于点．推理发现与之间的数量关系为： ① ． 探究二：性质研究 项目组尝试对直线一般化，计算直线的反射电磁波与轴的交点，发现均为同一个定点； 项目组又尝试对直线和同时一般化，计算直线在抛物线上的反射电磁波与轴的交点坐标为 ② ，发现依然是同一个定点． 探究三：灵活运用 电磁波在抛物线上发生两次反射，入射电磁波和第二次反射后的电磁波之间距离为，则 ③ ． （1）求“探究一”中直线的函数表达式； （2）写成①处空缺的内容：________，并求点的坐标； （3）完成②处空缺的内容：________，并写出计算过程； （4）完成③处空缺的内容：________． 【答案】（1） （2）， （3），见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）设直线 的表达式为 ，因其过点，可得。将直线与抛物线联立，消元后得到一元二次方程。根据两者只有一个公共点，令判别式 ，解得斜率，进而求出截距 ，得到直线解析式；    （2）结合光学反射定律与几何性质求解。由反射定律及平行线性质可得 ，从而得出，即与的数量关系为相等。接着利用第一问求出的点 坐标和点 坐标，通过作垂线构造直角三角形，设未知数利用勾股定理列方程求解，最终确定点 的坐标；    （3）设入射线与抛物线 的交点为 ，仿照第一问方法求出切线（平面镜）的解析式，进而求出其与 轴交点的坐标，再仿照第二问，利用 的关系及勾股定理列方程，求解出反射光线与轴交点的坐标，计算发现无论取何值（ 或 ），交点始终为定点 ；   （4） 已知抛物线 ，由（3）结论可知第一次反射光线必过定点 。设入射线与抛物线交于，连接并延长交抛物线于，则第二次反射光线平行于 轴（即）。利用韦达定理表示出 和 mn 的关系，结合已知距离 列方程求解，最终得出的值． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 因为直线过点，代入得：，即， 又因为直线与抛物线只有一个公共点，联立方程： 消去得：， 由于只有一个公共点，判别式， 即：， 将代入，得： ， ， 解得， 则， 因此，直线的函数表达式为。 【小问2详解】 解：如图，作轴于点， 由平面镜反射原理可得 直线 与 轴平行 令，得，故。 设 ，则 ， 解得 【小问3详解】 解：①当时， 不妨设，如下图所示： 作 轴于点 ，设直线 的解析式为 把 代入 ，得 的坐标为 把 代入 ，得 直线 与抛物线 只有一个公共点. 联立方程组： 得 即 直线 的解析式为 当 时， 的坐标为 由 (1) 可知 ，设 ，则 解得 反射电磁波与 轴交点坐标为 ②当时，如下图所示： 此时，直线与轴重合，反射电磁波与轴重合，也经过点， 综上所述，直线在抛物线上的反射电磁波与轴的交点坐标为，发现依然是同一个定点． 【小问4详解】 解：由得， ∴第一次反射：入射电磁波（）与抛物线交于 ，反射后过点， 第二次反射：设反射光线与抛物线再次交于 ，根据光路可逆，第二次反射后电磁波平行于轴，方程为， 入射电磁波与第二次反射后的电磁波的距离为，即， 设直线 为 ， 把 代入得 ， 解得：， ∴直线为。 联立直线与抛物线，得： ， 由韦达定理，两根和满足： ， ， 代入，得： ， 因为，去绝对值后化简： ， 整理得： ， 解得： ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用、待定系数法求解析式、根的判别式、勾股定理以及光的反射定律，解题的关键在于理解“相切”的几何含义（ ），利用反射定律和等腰三角形性质（）建立几何与代数的联系，并能通过类比推广发现反射光线过定点  的规律，进而结合韦达定理解决复杂的动态几何问题． 27. 如图1，是的直径，矩形的顶点在上，，点在上，点在上，，相交于点． （1）①猜想与的数量关系，并证明； ②当________时，是的中点； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，连接交于，若，，求． 【答案】（1）①，理由见解析；②60 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）①过O作，根据垂径定理得出，根据矩形的性质并结合辅助线可证明，根据平行线分线段成比例可得出，即可得出结论； ②连接，根据弧、圆心角的关系可求出，证明，得出，结合已知可求出，然后在中，根据余弦的定义和特殊角的三角函数值可求出，最后根据对顶角的性质即可求解； （2）设，，则，， 连接，，根据勾股定理求出，由（1）知：，得出，解得，结合，得出，解得，即可求解； （3）以O为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过F作于H，设，则，，根据待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，结合，可求出设直线解析式为，联立直线、直线解析式，求出交点，结合，得出，解出，则，然后解直角三角形求出，，最后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：① 证明如下：过O作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，即，， ∴， ∴， ∴，即是的中点； ②连接， ∵， ∴， 又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故当时，是的中点； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， 设，则， 连接，， 则 ， ∴， 由（1）知：， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得或 （不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：以O为原点，为横轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过F作于H， 设， 则，， ∵， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程， 解得， ∴， 又， ∴， 化简得 ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $