精品解析：上海市位育中学2025-2026学年高三下学期5月模拟练习数学试卷

2025学年第二学期位育中学高三第三次数学模拟练习 班级________ 姓名________________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 2. 若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 4. 已知双曲线：，则双曲线的渐近线夹角是______．（用反余弦表示） 5. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 6. 若的展开式中的常数项是________． 7. 已知，则的解集是_______． 8. 将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 9. 已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 10. 学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为_____. 11. 如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 12. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 二、选择题（本大题共4题第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 14. 下列结论中正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 15. 若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又不非必要条件 三、解答题（本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 18. 如图，正四棱台中，，侧棱与面的夹角为分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 19. 已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 21. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期位育中学高三第三次数学模拟练习 班级________ 姓名________________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】. 故答案为：48. 2. 若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆锥母线、底面半径和高的勾股关系求出高，再代入圆锥体积公式计算即可 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥母线、底面半径，则 . 所以圆锥的体积为 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简复数，结合共轭复数定义求. 【详解】因为， 所以， 故. 4. 已知双曲线：，则双曲线的渐近线夹角是______．（用反余弦表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线标准方程求出渐近线方程，再利用三角恒等变换计算夹角的余弦值，最终用反余弦表示夹角. 【详解】由题意可得双曲线的两条渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， 则， 故双曲线的渐近线夹角为，有， 故双曲线的渐近线夹角是. 5. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，可得，， 则在方向上的投影数量为. 6. 若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 7. 已知，则的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 8. 将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率. 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 9. 已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数性质，函数的导数，结合函数在给定区间的零点个数以及极值点个数建立不等式求解即可. 【详解】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. 10. 学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】记“李同学第二天去了乙食堂就餐”， 由全概率公式，得， 因事件与事件是对立事件，则，， 由贝叶斯公式，得. 故答案为：. 11. 如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 12. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系 则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 二、选择题（本大题共4题第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 14. 下列结论中正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C. 已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为22 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A：先按分位数计算规则确定位置，再根据位置对应的数据判断是否正确，对于选项B：因为多选题正确答案至少为1个，所以计算4个选项的非空子集个数，判断是否符合结论，对于选项C：先求时的预测值，结合残差公式计算后判断结果是否正确，对于选项D：由条件结合正态分布曲线的对称性计算即可判断. 【详解】对于选项A，由条件可知该组数据包含个数据，第三四分位数即分位数， 又，因此第三四分位数为，A错误； 对于选项B，多选题正确答案为1个或多个，4个选项中每个选项有选/不选两种可能， 总情况为种，减去「都不选」的无效情况，共种可能的正确答案，B错误； 对于选项C，残差定义为：实际值减预测值， 将代入回归方程可得时的预测值， 故残差为 ，C错误， 对于选项D，正态分布的密度曲线的对称轴为， 因为，所以，由对称性得， 又因为该正态分布的对称轴为，所以， 所以，D正确. 15. 若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可判断. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 16. 已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又不非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的导数性、不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若与均成立，则对任意正整数， 都有，即，充分性成立； 当时，，，， ； 所以恒成立； 但是并不满足恒成立， 所以由不能推出，必要性不成立， 因此，是的充分非必要条件， 故选：A. 三、解答题（本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】（1）②①③ （2）的分布为： 期望 （3） 【解析】 【分析】（1）利用相关系数绝对值越大相关性越强的性质排序； （2）先确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布，再代入期望公式求解； （3）先由正态分布的原则求单个零件直径小于的概率，再结合二项分布概率公式计算所求概率. 【小问1详解】 由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； 【小问2详解】 由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； 【小问3详解】 由，， 故，  记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 18. 如图，正四棱台中，，侧棱与面的夹角为分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点G，根据已知证得，再由线面平行的判定证明结论； （2）延长交于点P，连接交于点O，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求二面角的大小. 【小问1详解】 如图1，连接，交于点G， 因为，所以与相似，且， 故，故，且，故， 而平面平面，故平面； 【小问2详解】 延长交于点P，则为正四棱锥， 连接交于点O，则，且平面， 以所在直线为坐标轴，建立如图2所示空间直角坐标系， 点H为点在平面内的投影点，结合已知以及正四棱台的几何性质知， 故，则，，， 分别为平面与平面的法向量， ，可取， ，可取，则， 记为二面角的平面角，为的夹角， 由图可知为锐角，故，故． 19. 已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求. （2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. 【小问2详解】 设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限的点使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 【答案】（1）椭圆的焦距为，离心率. （2）存在；. （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆标准方程分析求解即可； （2）根据三角形面积公式，点到直线的距离公式，以及平行直线间距离公式，再结合椭圆方程分析即可； （3）将问题转化，结合韦达定理，判别式可，构造出相关的不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由椭圆知：，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率. 【小问2详解】 由（1）知：，因为，所以， 若存在点，使得的面积为， 设点到直线的距离，则，即， 因为，所以直线方程为：，即， 设过点平行于直线的直线方程为， 由点到直线的距离，即直线与间的距离为， 所以，解得：或， 当时，直线方程为， 联立得：，解得：或， 因为点位于第二象限点，所以，代入解得：，即， 当时，直线方程为， 联立得：， 由，所以方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点， 综上所述：存在满足条件的点，且. 【小问3详解】 由题意可设直线，， 联立化简得：， 由，即， 所以， 设线段中点为，则， 所以，即，又为中点，所以， 因为，所以，即， 所以， 因为直线与轴和轴均不平行，所以，所以， 所以，整理可得：， 因为，所以，解得：，又， 所以实数的取值范围为. 21. 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，试问是否为的控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，． 【答案】（1）是的控制函数 （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （2）利用导数的几何意义求得切线的方程，再利用导函数求单调性进而判断在上的正负即可； （3）设曲线在处的切线为，利用切线过求出与的关系，再利用控制函数的定义求解即可； 【小问1详解】 当时，令， 所以，令解得或， 所以在单调递减， 又因为，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以由题意是的控制函数. 【小问2详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线为，整理得， 令，则， 令解得，所以在单调递增，在单调递减， 又，所以在上小于等于0恒成立， 即在上恒成立，所以是的控制函数， 由题意. 【小问3详解】 由题意 设在处的切线为， 则，因为 且， 所以， 所以， ， 所以， 则即恒成立， 所以函数必是函数的“控制函数”. 是函数的“控制函数” 此时“控制函数”必与相切与点，与在处相切，且过点， 由上及知：当且仅当或时等号成立，其他位置恒有， 所以或. 所以曲线在处的切线过点，且， 当且仅当或时，. 【点睛】关键点点睛：对于第3问，利用导数求得在一点处的切线，再根据切线过点可解出与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $