上海市位育中学2025-2026学年高三下学期5月模拟练习数学试卷

2025学年第二学期位育中学高三第三次数学模拟练习 班级________ 姓名________________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则________． 2．若一圆锥底面半径为3，母线长为5，则其体积为________．（结果保留x） 3．已知复数满足，其中为虚数单位，则________________． 4已知双曲线：，则双曲线的渐近线夹角是________．（用反余弦表示） 5．已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为________． 6．若的展开式中的常数项是________． 7．已知则的解集是________． 8．将甲、乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 9．已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 10．学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”．已知，，，．如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为________． 11．如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千元需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，________．（结果精确到0.1°） 12．如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足．现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）．点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为S．则的最小值为______________． 二、选择题（本大题共4题第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A．， B．， C．， D．，，在面上，在面上 14．下列结论中正确的是（ ） A．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9 B．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的离差为22 D．若随机变量服从正态分布，且，则 15．若对于任意的，总存在．使得，则满足条计的的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 16．已知函数在上可导，导函数为，设：对任意实数，与均成立；：对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 三、解答题（本题共5小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．） 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为0.75，-0.88，0.42．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机拉取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 18．（满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分．） 如图，正四棱台中，，，侧棱与面的夹角为，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分．） 已知三角形的角，，所列的边为，，，且，，延长到点． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．） 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，设为椭圆上的一点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点坐标为，在椭圆上是否存在位于第二象限点的使的面积为？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线l与椭圆交于另一点，当直线l与轴和轴均不平行时，有向量，求实数的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．） 已知函数，，其中，、，若对任意均有，则称函数是函数的控制函数，当时，所有中取到的最小值记作，由此定义函数． （1）若，，问是否是的控制函数； （2）若，直线是曲线在处的切线方程，求证：函数是函数的控制函数，并求； （3）若曲线在（）处的切线经过点，且，求证：当且仅当或时，． 学科网（北京）股份有限公司 $