精品解析：江苏泰州市姜堰区第四中学2025-2026学年下学期第二次学情检测数学试题

姜堰四中八年级第二次学情检测 完成时间：120分钟 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 下列词语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 冬去春来 B. 水中捞月 C. 缘木求鱼 D. 不期而遇 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件． 【详解】解：A、冬去春来是必然事件，故不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故不符合题意； C、缘木求鱼是不可能事件，故不符合题意； D、不期而遇是随机事件，故符合题意； 故选：D． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含分母，被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】A．的值不变，的值扩大4倍， ∴原式， ∴分式的值扩大了16倍，不符合题意； B． 的值不变，的值扩大4倍 ∴原式， ∴分式的值缩小为原来的，不符合题意； C． 的值都扩大2倍 ∴原式， ∴分式的值扩大了2倍，不符合题意； D．的值都扩大4倍 ∴原式， ∴分式的值扩大了4倍，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质． 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．根据二次根式有意义的条件可求出，从而可求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：， 当时，， ∴． 故选C． 5. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 【详解】对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 6. 如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，证明是解题的关键． 由“”可证，可得，可得，由，可得当有最小值时，有最小值，即可求的值． 【详解】解：∵正方形的对角线交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴两个正方形重叠部分形成图形的面积， ， ∵的周长为， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∵， ， ∴当时，有最小值为3， ∴的最小值为， 因为点不与点重合，所以不存在最大值，所以不存在最大值，所以不存在最大值， 故选：D． 二．填空题（每题3分，共30分） 7. 为了解某市八年级学生的身高情况，从该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是______． 【答案】1500 【解析】 【分析】本题主要考查了样本容量的定义，注意样本容量不带单位．根据样本容量的定义进行解答即可． 【详解】解：在该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是1500． 故答案为：1500． 8. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 9. 用配方法解方程，方程可化为，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先移项，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 10. 为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为280元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为240元，设平均每次降价的百分率为，由题意可列方程_____． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是280（1-x）2，根据关键语句“连续两次降价后为240元，”可得方程． 【详解】解：设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是280（1-x）2，根据题意得： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程平均变化率的问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 11. 若，则________________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意可得，或，，再根据二次根式的性质即可化简． 【详解】解：∵， ∴，或，， 当，时， ∴； 当，时， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，． 12. 已知是正整数，是整数，则的最小值为_______． 【答案】13 【解析】 【分析】先把被开方数分解质因数，只要取的n的值能全部开出来即可． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴13n应该能被开方，即n的最小值是13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和定义．能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 13. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，且平分， ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴和共线， ∴是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质，勾股定理，三角函数值的简单应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14. 形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 15. 在四边形中，点分别为的中点，则________________．（选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，取的中点，连接，证明，，可得，（当在上取等号），从而可得结论． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， ∵分别为，的中点， ∴， 同理：， ∵，（当在上取等号） ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转到点N，若分别为中点，则的最小值为__________________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由三角形中位线定理可得，可得当有最小值时，有最小值，即有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ∵将点绕点顺时针旋转到点， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵、分别为、中点， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为1， ∴的最小值为， 故答案为：． 三.解答题： 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 1 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 18. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：，． 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解： 直接开平方得，， ∴或， 解得：，． 【小问4详解】 解： 整理得，， ∴， 解得：，． 19. 先化简，再求值，其中x的值是方程的根． 【答案】，4 【解析】 【分析】根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可. 【详解】解：原式 ； ∵x的值是方程的根， 解得， 又∵， ∴， ∴， 原式． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键. 20. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到白球的概率估计值为________（精确到0.1）； （2）若袋子中白球有4个， ①求袋中黑色球的个数； ②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是________．（用含m的式子表示） 【答案】（1）0.2 （2）①16；② 【解析】 【分析】（1）根据图像可以看出，摸到白球的频率在0.2左右附近摆动，根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率约为0.2； （2）①根据摸到白球的频率与白球的个数可得袋中球的总个数，则根据黑球个数＝袋中球的总个数−白球的个数求之即可；②根据摸出白球的频率＝白球的个数÷球的总个数，然后根据频率与概率的关系，估计出摸出白球的概率． 【小问1详解】 解：由题图可以看出，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动，根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率为0.2， 故答案为：0.2； 【小问2详解】 解：①∵袋子中白球有4个， ∴袋中球的总个数为4÷0.2＝20， ∴袋中黑色球的个数为20﹣4＝16， ②∵将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里， ∴袋中白球的个数为4+m，袋中球的总个数为20+m， ∴摸到白球的频率为，根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 【答案】（1） （2）另一个根为5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式的意义、一元二次方程根与系数的关系． （1）先计算根的判别式，得关于m的方程，求解即可； （2）先设出方程的另一个根，根据根与系数的关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，，其中 由题意得：， ∴， 即方程的另一个根为5 22. 如图，在中，过点作交的延长线于点． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）连接，当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，得到四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形， 理由如下： 四边形为平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形． 23. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【答案】（1）当或时，代数式A比B的值大2； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 24. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 25. 【问题探究】 （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 （2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②图见解析，；③图见解析， （2）有最小值，最小值为10 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即； ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接， 故在中，，则， 在中，，故， 即； 【小问2详解】 解：有最小值； 理由如下：设，则，如图： ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． 26. 如图，在正方形中，，点是边上的一个动点，连接、，作、的垂直平分线交于点，且的垂直平分线分别交、、于点、、，的垂直平分线交于点． （1）如图，当点运动到的中点时， 证明：； 连接、，证明：； （2）若点从点出发，沿着边向点运动，到达点后停止运动， 利用图证明：无论点运动到边上的何处时，始终被点平分； 求整个运动过程中，点的运动路径长直接写出结果 【答案】（1）①详见解析；②详见解析 （2）①详见解析；② 【解析】 【分析】（1）由“”可证；由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，即可求解；由“”可证，可得，由三角形中位线定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ； ②如图，连接， ， ， ， 、的垂直平分线交于点， ， ， ； 【小问2详解】 证明：过点作，交于，交于，连接，，，过点作于， 四边形是矩形， ， 、的垂直平分线交于点， ， ， ， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 又，， ， ， 无论点运动到边上的何处时，始终被点平分； 解：如图，当点运动到的中点时，连接，交于点，连接， 、的垂直平分线交于点， ， 点在的中垂线上移动， 当点在点处时，点与点重合，点从点到的中点，则点从点往下平移，当点从的中点到点，则点往上平移到点， 点是的中点，点是的中点， ，，， ， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动路径长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姜堰四中八年级第二次学情检测 完成时间：120分钟 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 下列词语描述的事件为随机事件的是（ ） A. 冬去春来 B. 水中捞月 C. 缘木求鱼 D. 不期而遇 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 5. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两个正方形的边长都为，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、不与端点重合，设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 二．填空题（每题3分，共30分） 7. 为了解某市八年级学生的身高情况，从该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是______． 8. 函数中，自变量的取值范围是______． 9. 用配方法解方程，方程可化为，则___________． 10. 为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为280元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为240元，设平均每次降价的百分率为，由题意可列方程_____． 11. 若，则________________． 12. 已知是正整数，是整数，则的最小值为_______． 13. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 14. 形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 15. 在四边形中，点分别为的中点，则________________．（选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 16. 如图，点M为正方形边上一动点，，将点M绕点P顺时针旋转到点N，若分别为中点，则的最小值为__________________． 三.解答题： 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 先化简，再求值，其中x的值是方程的根． 20. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到白球的概率估计值为________（精确到0.1）； （2）若袋子中白球有4个， ①求袋中黑色球的个数； ②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是________．（用含m的式子表示） 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根是，求另一个根． 22. 如图，在中，过点作交的延长线于点． （1）若，求证：四边形是菱形； （2）连接，当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？并说明理由． 23. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 24. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 25. 【问题探究】 （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 （2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 26. 如图，在正方形中，，点是边上的一个动点，连接、，作、的垂直平分线交于点，且的垂直平分线分别交、、于点、、，的垂直平分线交于点． （1）如图，当点运动到的中点时， 证明：； 连接、，证明：； （2）若点从点出发，沿着边向点运动，到达点后停止运动， 利用图证明：无论点运动到边上的何处时，始终被点平分； 求整个运动过程中，点的运动路径长直接写出结果 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $