专题03图形的变换期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题03图形的变换期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.清晰掌握平移、旋转、轴对称三种图形变换的定义、基本性质，能区分三种变换的异同。 2.掌握平移的方向、距离两大要素；掌握旋转的中心、方向、角度三要素；理解轴对称的对称轴、对应点关系。 3.理解三种变换的核心性质：变换前后图形形状、大小不变，只改变位置，对应边、对应角保持相等。 4.掌握中心对称、中心对称图形的概念，能区分轴对称图形与中心对称图形。 1.具备识图能力，能准确判断图形属于平移、旋转、轴对称、中心对称中的哪种变换。 2.具备作图能力，能根据要求画出平移后的图形、旋转后的图形、轴对称图形，作图规范、找点准确。 3.具备推理能力，能利用图形变换的性质求边长、角度，解决简单几何计算问题。 4.具备观察归纳能力，能利用变换规律解决图形循环、拼接、折叠类问题。 1.基础题不丢分：熟练应对选择填空题，能快速判断变换类型、识别轴对称与中心对称图形、判断性质正误。 2.作图题拿满分：掌握网格平移、网格旋转、画对称轴、补全轴对称图形等必考作图，做到线条规范、找点精准、不留痕迹错误。 3.中档计算题稳得分：会利用变换前后边角相等的性质，求角度、线段长度，解决折叠、旋转求角问题。 4.综合题突破：能解决图形变换规律题、拼接题、简单几何综合题，熟悉期末常考题型套路，规避易错点。 题型01.平移现象的识别与判定 题型02.利用平移的性质求解 题型03.利用平移解决实际问题 题型04.平移作图 题型05.轴对称图形与成轴对称的识别 题型06.作已知线段的垂直平分线 题型07.作垂线 题型08.成轴对称特征的判定与计算 题型09.作角平分线 题型10.轴对称的实际应用 题型11.折叠问题 题型12.镜面对称的实际应用 题型13.旋转现象与旋转图案识别 题型14.找旋转中心.旋转角.对应点 题型15.由旋转性质求解 题型16.由旋转性质说明线段或角相等 题型17.中心对称图形的识别 题型18.由中心对称性质求解 题型19.方格纸中补画中心对称图形 题型20.中心对称图形规律问题 知识点01.图形的平移 1. 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变位置，不改变形状、大小、方向。 2. 平移的性质（重点） (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线 3. 平移作图步骤 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点，得到平移后图形。 (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02:轴对称（翻折变换） 1. 两个易混概念区分 名称 对象 定义 轴对称 两个图形 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合 轴对称图形 一个图形 单个图形沿一条直线对折，直线两侧部分互相重合 2.对应点.对应线段.对应角的概念 图示 3. 常见轴对称图形及对称轴条数 图形 对称轴数量 线段 2 条（自身所在直线、中垂线） 角 1 条（角平分线所在直线） 等腰三角形 1 条 长方形 2 条 正方形 4 条 圆 无数条 4.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 2. 旋转的性质（重点） (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 3.旋转作图 将 △ABC 绕点 M 顺时针旋转 120 后，得到 △ DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为 120。 （2）找：寻找构成图形的关键点 A,B, C,连接关键点A和旋转中心M，即线段 AM。 （3）转：以旋转中心 M 为顶点，过关键点 A 的射线 MA 为一边，按顺时针方向作一个120的角。 （4）截：在角的另一边上取一点 D，使MD=MA，得到点 A 的对应点 D；以此作法，可得点 B 的对应点E，点 C 的对应点F。 （5）连：按原图顺序连接D, E, F，得到△ DEF，如图所示。 知识点04:中心对称与中心对称图形 名称 研究对象 判定方法 中心对称 两个图形 一个图形绕某点旋转 180°，与另一图形重合 中心对称图形 一个图形 自身绕中心点旋转 180° 和原图重合 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 普通平行四边形：是中心对称图形，不是轴对称图形。 中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点05:三大变换综合对比表 变换类型 关键要素 对应点规律 图形方向变化 不变量 平移 方向、距离 对应点连线平行且相等 方向不变 形状、大小、边长、角度 轴对称 对称轴 对称轴垂直平分对应点连线 方向翻转改变 形状、大小、边长、角度 旋转 中心、方向、角度 到旋转中心距离相等 方向发生偏转 形状、大小、边长 题型01.平移现象的识别与判定 1．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，图②可看作由图①先左平移______个单位，再向上平移______个单位得到． 3．在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    题型02.利用平移的性质求解 4．如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 5．如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置，若，，则，之间的距离为__________． 6．如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为32，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为24，．当所扫过的面积为36时，求a的值． 题型03.利用平移解决实际问题 7．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是_____________． 8．如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 9．如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 题型04.平移作图 10．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 12．在如图所示的方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上），每个小正方形的边长均为1． (1)在图中画出平移后的，A，B，C的对应点D，E，F均在格点上，且； (2)在（1）的条件下，线段扫过的面积为________． 题型05.轴对称图形与成轴对称的识别 13．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 14．下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 16．下图形中，是轴对称图形的是（   ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 17．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办，本届冬奥会的主题是“纯洁的冰雪，激情的约会”．下列会标中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型06.作已知线段的垂直平分线 18．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 19．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为20，BE＝4，则△ABD的周长为_______． 20．如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使，（保留作图痕迹，不写作法） 题型07.作垂线 21．观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 22．作线段的垂直平分线 作法： ①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁． ②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E． ③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F． ④作直线CF． 23．如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高． 题型08.成轴对称特征的判定与计算 24．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 27．数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 题型09.作角平分线 28．如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则______°． 29．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 30．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 题型10.轴对称的实际应用 31．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 32．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 34．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为____________．      35．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 题型11.折叠问题 36．如图，已知正方形，点、、、分别是、、、的中点，四边形沿对折能与四边形重合，点的对称点是点_________；四边形沿对折能与四边形重合，点的对称点是点_________． 37．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为（     ）． A． B． C． D． 38．如图，在直角中，，，直线经过点．将沿直线对折得到，点的对应点为，且点在上，则图中与相等的角有（　　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 39．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 题型12.镜面对称的实际应用 40．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 41．平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 42．平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 43．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 44．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 题型13.旋转现象与旋转图案识别 45．通过图形变换来设计图案是常用方法，下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（   ） A．B．C． D． 46．如图所示，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是（   ） A．旋转、轴对称 B．平移、轴对称 C．旋转、平移 D．平移 47．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 48．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 题型14.找旋转中心.旋转角.对应点 49．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 50．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 51．如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角，，小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点旋转了（   ） A． B． C． D． 52．如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 题型15.由旋转性质求解 53．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 54．如图，线段由线段绕点按逆时针方向旋转得到，由沿方向平移得到，且直线过点则___________． 55．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 56．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形． (1)图中点的对应点是点______，______； (2)若，，求的度数． 题型16.由旋转性质说明线段或角相等. 57．如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，则的度数是_______． 58．如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到．若，，则的度数是_________． 59．将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，． (1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数； (2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数． 题型17.中心对称图形的识别 60．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 61．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 62．以下四个正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，并将其部分涂黑．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 题型18.由中心对称性质求解 63．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A． 点A与点是对称点 B． C． D． 64．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 65．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 题型19.方格纸中补画中心对称图形 66．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 67．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 68．如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 题型20.中心对称图形规律问题 69．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 70．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 71．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的变换期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.清晰掌握平移、旋转、轴对称三种图形变换的定义、基本性质，能区分三种变换的异同。 2.掌握平移的方向、距离两大要素；掌握旋转的中心、方向、角度三要素；理解轴对称的对称轴、对应点关系。 3.理解三种变换的核心性质：变换前后图形形状、大小不变，只改变位置，对应边、对应角保持相等。 4.掌握中心对称、中心对称图形的概念，能区分轴对称图形与中心对称图形。 1.具备识图能力，能准确判断图形属于平移、旋转、轴对称、中心对称中的哪种变换。 2.具备作图能力，能根据要求画出平移后的图形、旋转后的图形、轴对称图形，作图规范、找点准确。 3.具备推理能力，能利用图形变换的性质求边长、角度，解决简单几何计算问题。 4.具备观察归纳能力，能利用变换规律解决图形循环、拼接、折叠类问题。 1.基础题不丢分：熟练应对选择填空题，能快速判断变换类型、识别轴对称与中心对称图形、判断性质正误。 2.作图题拿满分：掌握网格平移、网格旋转、画对称轴、补全轴对称图形等必考作图，做到线条规范、找点精准、不留痕迹错误。 3.中档计算题稳得分：会利用变换前后边角相等的性质，求角度、线段长度，解决折叠、旋转求角问题。 4.综合题突破：能解决图形变换规律题、拼接题、简单几何综合题，熟悉期末常考题型套路，规避易错点。 题型01.平移现象的识别与判定 题型02.利用平移的性质求解 题型03.利用平移解决实际问题 题型04.平移作图 题型05.轴对称图形与成轴对称的识别 题型06.作已知线段的垂直平分线 题型07.作垂线 题型08.成轴对称特征的判定与计算 题型09.作角平分线 题型10.轴对称的实际应用 题型11.折叠问题 题型12.镜面对称的实际应用 题型13.旋转现象与旋转图案识别 题型14.找旋转中心.旋转角.对应点 题型15.由旋转性质求解 题型16.由旋转性质说明线段或角相等 题型17.中心对称图形的识别 题型18.由中心对称性质求解 题型19.方格纸中补画中心对称图形 题型20.中心对称图形规律问题 知识点01.图形的平移 1. 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变位置，不改变形状、大小、方向。 2. 平移的性质（重点） (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线 3. 平移作图步骤 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点，得到平移后图形。 (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02:轴对称（翻折变换） 1. 两个易混概念区分 名称 对象 定义 轴对称 两个图形 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合 轴对称图形 一个图形 单个图形沿一条直线对折，直线两侧部分互相重合 2.对应点.对应线段.对应角的概念 图示 3. 常见轴对称图形及对称轴条数 图形 对称轴数量 线段 2 条（自身所在直线、中垂线） 角 1 条（角平分线所在直线） 等腰三角形 1 条 长方形 2 条 正方形 4 条 圆 无数条 4.两个图形成轴对称与轴对称图形的区别与联系 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 2. 旋转的性质（重点） (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 3.旋转作图 将 △ABC 绕点 M 顺时针旋转 120 后，得到 △ DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为 120。 （2）找：寻找构成图形的关键点 A,B, C,连接关键点A和旋转中心M，即线段 AM。 （3）转：以旋转中心 M 为顶点，过关键点 A 的射线 MA 为一边，按顺时针方向作一个120的角。 （4）截：在角的另一边上取一点 D，使MD=MA，得到点 A 的对应点 D；以此作法，可得点 B 的对应点E，点 C 的对应点F。 （5）连：按原图顺序连接D, E, F，得到△ DEF，如图所示。 知识点04:中心对称与中心对称图形 名称 研究对象 判定方法 中心对称 两个图形 一个图形绕某点旋转 180°，与另一图形重合 中心对称图形 一个图形 自身绕中心点旋转 180° 和原图重合 常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 普通平行四边形：是中心对称图形，不是轴对称图形。 中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点05:三大变换综合对比表 变换类型 关键要素 对应点规律 图形方向变化 不变量 平移 方向、距离 对应点连线平行且相等 方向不变 形状、大小、边长、角度 轴对称 对称轴 对称轴垂直平分对应点连线 方向翻转改变 形状、大小、边长、角度 旋转 中心、方向、角度 到旋转中心距离相等 方向发生偏转 形状、大小、边长 题型01.平移现象的识别与判定 1．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 2．如图，图②可看作由图①先左平移______个单位，再向上平移______个单位得到． 【答案】 【分析】本题考查了平移变换，根据前后图形的位置变化即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图②可看作由图①先左平移个单位，再向上平移个单位得到， 故答案为：，． 3．在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 题型02.利用平移的性质求解 4．如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意和平移的特点，可以写出和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：根据平移可得，， 则图中阴影部分的面积为． 5．如图，将三角形沿水平方向向右平移到三角形的位置，若，，则，之间的距离为__________． 【答案】4 【分析】根据平移的性质得到，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，之间的距离为4 ． 6．如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为32，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为24，．当所扫过的面积为36时，求a的值． 【答案】(1)四边形的周长为； (2)a的值为． 【分析】（1）连接，根据平移的性质可得，，根据的周长为32得到，即可求出四边形的周长； （2）作于H，先求出，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∴四边形的周长为； （2）解：如图，作于H， 根据平移的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 题型03.利用平移解决实际问题 7．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是_____________． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为米，宽为米的长方形，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 绿化的面积为． 8．如图，有一块长方形区域，，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为米，若边的长为米，则图中空白区域的面积为（      ）平方米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，矩形的面积，利用平移的性质得出空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米，根据矩形面积公式计算即可求解，解题的关键是读懂题意，利用平移把空白区域可以拼成一个矩形． 【详解】解：由平移的性质知，空白区域为一个矩形，矩形的长为米，宽为米， ∴空白区域的面积（平方米）， 故选：． 9．如图，广场上有一块长米，宽米的长方形的草坪，草坪上有一条弯曲等宽的小路，小路的左边线向右平移可以与右边线重合，小路宽为米． (1)求草坪的总面积；（用代数式表示并化简） (2)草坪每平方米一年的维护费用为元，若米，米，求草坪的一年的维护总费用． 【答案】(1)草坪的总面积为平方米； (2)草坪一年维护总费用为1155元． 【分析】（1）左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形，即总面积为，化简即可； （2）将，代入求出总面积，再计算维护费即可． 【详解】（1）解：左侧草坪向右平移，两块草坪可以拼成一个长方形 平方米 答：草坪的总面积为平方米； （2）解：当，时， 原式 （平方米） （元） 答：草坪一年维护总费用为1155元． 题型04.平移作图 10．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到①，②，③中的（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到①，②，不能拼成③， 故选C． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 11．如图，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，记正方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，区域内的整点个数为______； ②当时，区域内的整点个数为______． 【答案】 3 3 【分析】本题主要考查了平移作图，根据题意画出平移后的图形是解题的关键． ①将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可； ②将图中正方形向左平移6.5个单位长度，得到正方形，然后统计重叠的区域（不含边界）为内格点的个数即可． 【详解】解：①当时，将图中正方形向左平移3个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3； 解：①当时，将图中正方形向左平移个单位长度，得到正方形，区域内的整点个数为3． 故答案为：3,3 12．在如图所示的方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上），每个小正方形的边长均为1． (1)在图中画出平移后的，A，B，C的对应点D，E，F均在格点上，且； (2)在（1）的条件下，线段扫过的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的性质． （1）根据可确定点D的位置，再根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）线段扫过的面积为 ． 故答案为：8． 题型05.轴对称图形与成轴对称的识别 13．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，则由轴对称图形的定义可知四个选项中，只有B选项中的图形是轴对称图形． 14．下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 15．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 16．下图形中，是轴对称图形的是（   ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的识别是解题的关键．根据轴对称图形的识别方法，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，依次判断即可得到答案． 【详解】解：①可回收物不是轴对称图形，不符合题意； ②其他垃圾不是轴对称图形，不符合题意； ③厨余垃圾是轴对称图形，符合题意； ④有害垃圾是轴对称图形，符合题意； 故正确的是③④， 故选A． 17．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办，本届冬奥会的主题是“纯洁的冰雪，激情的约会”．下列会标中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两旁能够重合的图形是轴对称图形，据此分别判断得出即可得答案． 【详解】A.不是轴对称图形，故该选项符合题意， B.是轴对称图形，故该选项不符合题意， C.是轴对称图形，故该选项不符合题意， D.是轴对称图形，故该选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿着对称轴折叠，两边能够重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键． 题型06.作已知线段的垂直平分线 18．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是解题的关键．根据，结合图形分析可得，只需作线段的垂直平分线，分析选项即可得出结论． 【详解】解：根据题意，， 由图可知，， ， 故符合要求的作图是作线段的垂直平分线， 由作图痕迹可知，只有B选项符合题意． 故选：B． 19．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为20，BE＝4，则△ABD的周长为_______． 【答案】12 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，BC=2BE=8，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB=DC，BC=2BE=8， ∵△ABC的周长为20， ∴AB+BC+AC=20， ∴AB+AC=12， ∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 20．如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 题型07.作垂线 21．观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，由垂线的作图方法即可作出判断． 【详解】解：由作图痕迹可知，，所以B是正确的，符合题意． 22．作线段的垂直平分线 作法： ①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁． ②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E． ③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F． ④作直线CF． 【答案】 CK AB D E 【解析】略 23．如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高． 【答案】解：如图，中线，高线即为所求作． ． 【分析】先作线段的垂直平分线交于E，则为中线；再过点A作的垂线，垂足为H即可． 【详解】略． 题型08.成轴对称特征的判定与计算 24．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，． ∴， 故A，B，D正确， 不一定成立， 故选：C． 25．如图，某快递公司计划在主干路上设一个机器人配货总部，在主干路同侧有与两个机器人配送点，若使配货总部到两个配送点的距离和最小，则下列示意图中配货总部的位置符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质将折线转化为直线即可． 【详解】解：A．不符合要求； B．不符合要求； C．不符合要求； D．作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，根据两点之间线段最短，此时为最小值，符合要求； 26．如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 27．数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 题型09.作角平分线 28．如图，已知中，，小明以点B为圆心，为半径作弧交于F；又以A为圆心，为半径作弧交于M；接着又以M为圆心，为半径作弧交前弧于N；最后作射线交于D．若，则______°． 【答案】 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，角的和差倍分等知识，根据得到，由作图可知，． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知， ， 故答案为：． 29．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的尺规作图可判断图①；垂直平分线的尺规作图可判断图②；由平行线和等边对等角性质可判断图③；由三线合一性质可判断图④． 【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意； 图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 图③，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 图④，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，判断正确的是①③④． 30．如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为制作， ． 题型10.轴对称的实际应用 31．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 32．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 33．如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 34．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为____________．      【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形求解是解题关键．过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点D作， 根据题意得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图1是光的反射示意图，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，点O叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则________． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点A，B，C，D，E，F，M在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为________． (3)如图3，点A处有一个光源，入射光线经过镜面l反射后，恰好经过点B，请用无刻度直尺和圆规作出入射点O，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从A沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达B处．则________． 【答案】(1)38 (2)42 (3)见解析 (4)5 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C于点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l于点E，再以点E为圆心，为半径画弧交于点，连接交l于点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 题型11.折叠问题 36．如图，已知正方形，点、、、分别是、、、的中点，四边形沿对折能与四边形重合，点的对称点是点_________；四边形沿对折能与四边形重合，点的对称点是点_________． 【答案】 【分析】折叠后能够重合的点互为对称点，根据正方形各中点的位置，结合折叠后重合的四边形即可确定对应点的对称点． 【详解】解：四边形沿对折能与四边形重合，点的对称点是点；四边形沿对折能与四边形重合，点的对称点是点． 37．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质得到，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．如图，在直角中，，，直线经过点．将沿直线对折得到，点的对应点为，且点在上，则图中与相等的角有（　　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由折叠性质及点在上推导出，再利用互余关系和折叠的性质找出所有等于的角即可． 【详解】解：， ， 将沿直线对折，点的对应点在上， 直线垂直平分线段， 直线经过点，且在上， ， ， 在中，， 由折叠性质可知， 在中，， ， 综上所述，图中与相等的角有，共个． 39．综合实践 折纸中的数学 问题背景 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 折垂直平分线 折角平分线       提出问题   如图，能折出过点且与边平行的折痕吗？ 问题解决 折平行线的方法步骤   说明：第一次过点折叠使点落在边上的点，折痕为，第二次过点折叠使点落在射线上的点，展开压平得到折痕，则．    (1)结合图至图的操作，说明：； 迁移探究：再次折叠得到， (2)如图，将沿过点的某直线折叠得到，与边交于． ①若将沿过点的某直线折叠后的对应边所在直线垂直于，如图，请你在图中用直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，，直接写出当的某一边与平行时的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)①图见解析；②的度数为或或 【分析】（）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （）①作的角平分线即可；以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点、，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； ②分三种情况，结合折叠性质与平行线性质，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， ∴； 第二次折叠后，， ∴； ∴， ∴； （2）解：①如图： ②由题意得，当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴ ； 当时， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴； 由题意得，当时，如图： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 题型12.镜面对称的实际应用 40．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 41．平面镜中的电子钟示数为，则实际时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，但数字和在镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后不变，因此实际时间与镜中示数相同． 【详解】解：平面镜中的电子钟示数为“”的数字均为或，这些数字在平面镜中成像不变，且数字序列左右颠倒后仍为1，0，0，1， ∴实际时间为， 故选：A． 42．平面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴实际时间是“”， 故选：A． 43．河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 44．有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称”牌照．如果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　） A．200个 B．400个 C．1000个 D．2000个 【答案】A 【分析】根据有5个数字的“数字对称”牌照，第一个数与第五个数相同，第二个数与第四个数相同分析，分以8开头和以9开头两类，只考虑第二个数和第三个数，即可求解； 【详解】解：根据题意，若以8开头，则第五个也是8，只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况． 同样地，以9开头只需考虑中间3位，又因为第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有种情况，所以最多可制作200个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 题型13.旋转现象与旋转图案识别 45．通过图形变换来设计图案是常用方法，下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】A、平移，故符合题意； B、轴对称，故不符合题意； C、旋转，故不符合题意； D、轴对称，故不符合题意． 46．如图所示，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是（   ） A．旋转、轴对称 B．平移、轴对称 C．旋转、平移 D．平移 【答案】C 【分析】通过对比甲、乙两个图案的方向和位置变化，结合平移、旋转、轴对称三种图形变换的特征，判断用到的变换类型． 【详解】解：∵甲图案主干竖直，乙图案主干倾斜，方向发生了改变． ∴图形变换中包含旋转． ∵甲图案的分枝在主干右侧1枝，左侧2枝，乙图案分枝在主干右侧1枝，左侧2枝． ∴图形变换中包含平移． 综上所述，从甲图案到乙图案的变化过程中，用到的图形变换可以是旋转、平移． 47．下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．能够互相重合的两个图形成轴对称 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，在实际当中的运用，把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 48．如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 题型14.找旋转中心.旋转角.对应点 49．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 【答案】D 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 50．【中档】如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 _____ ． 【答案】B 【分析】设中点H与中点为对应点，连接，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到， ∵E与为对应点，中点H与中点为对应点连接， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故答案为：B． 51．如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角，，小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点旋转了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，根据平角，旋转角的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，， ∴当小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上时，旋转角为， ∴． 52．如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 【答案】(1)点 (2) (3) 【分析】本题考查的是图形旋转的性质，即：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． （1）找出两重合三角形的公共顶点即可得出其旋转中心； （2）根据两重合边所夹的角度即可求出旋转的度数； （3）根据图形旋转的性质，即对应边相等可直接进行解答． 【详解】（1）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 点即为两三角形的公共顶点， 旋转中心是点． 故答案为：点； （2）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 与重合， ， 旋转的度数为：． 故答案为：； （3）解：由题意知和是对应线段，根据旋转的性质可得． 故答案为：． 题型15.由旋转性质求解 53．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，， ∵ ∴． 54．如图，线段由线段绕点按逆时针方向旋转得到，由沿方向平移得到，且直线过点则___________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，熟练掌握是解本题的关键． 由旋转的性质得，，，再由平移的性质即可求出角的度数． 【详解】线段是由线段绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， 是沿方向平移得到， ， ； 故答案为：． 55．如图，线段，P为上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，同时将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，．若，则的面积为（   ） A．8 B．8.5 C．10 D．10.5 【答案】D 【分析】设，，由题意可得，，由旋转的性质可得，，，，则，连接，则，利用完全平方公式求出，即可得出结果． 【详解】解：设，， 由题意可得：，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 如图，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 56．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形． (1)图中点的对应点是点______，______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据旋转的性质得，根据平行线的性质得，然后由可得答案． 【详解】（1）解：∵将三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ∴图中点的对应点是点，； （2）解：∵将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 题型16.由旋转性质说明线段或角相等. 57．如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转，得到，则的度数是_______． 【答案】 【分析】先根据旋转的性质，求得的度数，再根据，求得的度数即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针方向旋转得到， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 58．如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到．若，，则的度数是_________． 【答案】80° 【分析】根据将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C'，得∠BCB'=50°，∠A=∠A'=40°，即得∠A'CB'=180°-∠B'-∠A'=30°，从而∠BCA'=∠BCB'+∠A'CB'=80°． 【详解】解：∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C'， ∴∠BCB'=50°，∠A=∠A'=40°， ∵∠B'=110°， ∴∠A'CB'=180°∠B'∠A'=30°， ∴∠BCA'=∠BCB'+∠A'CB'=50°+30°=80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质． 59．将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，． (1)如图1，点F在线段的延长线上，求的度数； (2)将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可 （2）根据角平分线的性质、、，即可求得的度数 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴ （2）∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∵、， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查了根据旋转的性质说明线段或角相等、邻补角的定义、角平分线的性质，熟悉直角三角板的角度是解决问题的关键 题型17.中心对称图形的识别 60．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，只有B选项的图形，绕一点旋转180度后，能与自身重合，是中心对称图形，其余选项的图形都不是中心对称图形. 61．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意． 62．以下四个正六边形均是由6个相同的小等边三角形拼成的，并将其部分涂黑．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：图①：既是轴对称图形，又是中心对称图形； 图②：是轴对称图形，不是中心对称图形； 图③：是轴对称图形，不是中心对称图形； 图④：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ∴既是轴对称图形，又是中心对称图形的有图①和图④，共2个． 题型18.由中心对称性质求解 63．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A． 点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 64．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 65．【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 题型19.方格纸中补画中心对称图形 66．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图．现轮到白方落子，要使得落子后所得的对弈图是中心对称图形，白方落子应在网格的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义，图形绕对称中心旋转后能与自身重合，观察图形中黑子的分布确定对称中心，再根据已有白子的位置找出缺失的对称点． 【详解】解：图中4个黑子构成一个正方形，且关于网格中心对称， 该对弈图的对称中心为网格的中心点， 左上方的白子与右下方的白子关于网格中心对称， 要使整个图形成为中心对称图形，只需使右上方的白子与落子点关于网格中心对称， 观察图形可知，白方落子应在C点． 67．如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有______种． 【答案】3 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 68．如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，并熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形 （2）如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形． 题型20.中心对称图形规律问题 69．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 70．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 71．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $