精品解析：重庆西南大学附属中学校2025-2026学年下学期初一数学5月定时练习

初一数学定时练习 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答时认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 3，3，7 C. 3，6，2 D. 2，4，2 2. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生的体重情况 B. 调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C. 调查某市居民的防诈意识 D. 调查某班学生的节水意识 4. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 第四象限内的点，它到x轴的距离是，到y轴的距离是，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知整式，其中n为正整数，，，…，，均为整数，满足：，，，则下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有10个； ②满足条件的任意一个整式M所对应的方程都有一个解是； ③要使满足条件的整式M存在，则且p为偶数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 的算术平方根是________. 12. 若是关于，的二元一次方程，则________． 13. 在中，是边上的高，若，，则的长为________． 14. 如图，将长方形纸条先沿着折叠，点，分别落于点，，交于点，再将纸条沿着折叠，点，分别落于点，，若，则的度数是________． 15. 关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，若它的千位数字的倍与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和的倍，则称为“双控数”．例如：，因为各个数位上的数字互不相等，满足，所以是“双控数”．最小的“双控数”是________；将“双控数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数，记，若能被整除，是一个自然数的平方，则满足条件的所有的和是________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算或化简： （1） （2） 18. 解方程组、不等式组： （1） （2） 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为响应国家关于加强劳动教育的号召，某校随机抽取了部分七年级学生对他们的一周家务劳动时长（单位：小时）进行了调查，根据调查数据得到以下不完整的统计图表： 分组 A B C D 劳动时长/小时 频数/人 12 40 8 请根据信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该校七年级共有600名学生，请估计每周家务劳动时长不少于2小时的学生总人数． 20. 如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． （1）求证：； （2）若且，求的度数． 21. 某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． （1）求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ （2）经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 某超市推出甲、乙、丙三种糖果礼盒，每种礼盒均装有A、B、C三种糖果．其中，甲礼盒装有4个A糖果，4个B糖果，9个C糖果；乙礼盒装有7个A糖果，7个B糖果，5个C糖果；丙礼盒装有若干个A糖果，6个B糖果，4个C糖果，且每种礼盒的售价等于其所装糖果的售价之和．每个甲礼盒的售价为86元，每个乙礼盒的售价不低于80元，不高于95元，每个丙礼盒的售价为88元．已知每种糖果的售价均为整数，且每个A糖果的售价高于3元，不超过8元，求每个丙礼盒中A糖果的个数． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，，定义与中值较大的为点，的“绝对距离”，记为，即：．特别地，当时，． （1）已知点，，求的最小值及取得最小值时的取值范围； （2）已知点，点，若，求点的坐标； （3）已知点，若动点满足，请求出满足条件的所有组成的图形的面积． 24. 在平面直角坐标系中，点，，，满足． （1）求的面积； （2）如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； （3）动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 25. 数学课上，同学们用和两条平行线展开研究．如图，，． （1）如图1，若，点在上，与相交于点，的平分线的反向延长线与的平分线交于点，求的度数； （2）如图2，点，在上，点在，之间，分别延长，交于点，，是上一点，连接，恰好平分，是内部一点，若，，用等式表示，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到．与此同时，线段绕点以每秒的速度逆时针旋转得到线段，设旋转时间为，当所在直线与其中一条边所在直线平行（或共线）时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学定时练习 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答时认真阅读答题卡上的注意事项； 3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 3，3，7 C. 3，6，2 D. 2，4，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可判断能否组成三角形． 【详解】A、三条线段从小到大排列为，，， ，满足三边关系， 能组成三角形，A选项符合题意； B、三条线段从小到大排列为，，， ，不满足三边关系， 不能组成三角形，B选项不符合题意； C、三条线段从小到大排列为，，， ，不满足三边关系， 不能组成三角形，C选项不符合题意； D、三条线段从小到大排列为，，， ，不满足两边之和大于第三边， 不能组成三角形，D选项不符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点平移的坐标规律：向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，即可求解． 【详解】∵点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生的体重情况 B. 调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C. 调查某市居民的防诈意识 D. 调查某班学生的节水意识 【答案】D 【解析】 【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查． 【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意； B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意； C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意； D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查． 4. 已知，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A，∵ 当 时，，此时 ，不满足 ，∴ A说法错误， 对于选项B，∵ ，不等式两边同时平方，不等号方向不变，∴ ，即 ，∴ B说法正确， 对于选项C，∵ ，∴ ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴ ，∴ C说法正确， 对于选项D，∵ ，∴ ，其中 ，，可得 ，∴ ，∴ D说法正确． 6. 第四象限内的点，它到x轴的距离是，到y轴的距离是，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，列出方程，求解即可得到点的坐标． 【详解】点在第四象限 ，， 则，； 点到x轴的距离是，到y轴的距离是， ∴，， 故，； 将代入，得， 解得； 将代入，得； 点P的坐标为． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出的坐标为，结合图中向上平移个单位得到推得向下平移个单位可以得到，即可求解． 【详解】由，，，，……， 可得对于，到坐标轴的距离为， 结合题意可得，的坐标为； ∵， 故的坐标为， 结合题意可得，向上平移个单位得到， 故向下平移个单位得到，， 故的坐标为． 8. 如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 9. 如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵分别为的外角， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， 即，故③正确； ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①②③④，共4个． 10. 已知整式，其中n为正整数，，，…，，均为整数，满足：，，，则下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有10个； ②满足条件的任意一个整式M所对应的方程都有一个解是； ③要使满足条件的整式M存在，则且p为偶数． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】逐个判断三个结论，利用多项式求值判断②，根据系数性质推导的特征判断③，列举法验证①，最后统计正确个数。 【详解】解：判断②：当时，， 一定是方程的解，故②正确； 判断③：设所有正系数的和为，由系数和为，可得非正系数的绝对值和也为，因此，故一定是偶数。为正整数，时仅有两个系数，由和得，矛盾，不存在； 时至少有个系数，最小的三个不同整数绝对值和为，不存在更小的符合条件的组合，故，因此③正确； 判断①：时，，所有系数绝对值和为，找递增正整数序列，要求存在子集和为： 三个绝对值：仅和符合条件，每个组合对应个不同整式，共个； 四个绝对值：仅符合条件，对应个不同整式，共个； 长度的序列最小和为，不存在； 合计共个整式，不是个，故①错误． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 的算术平方根是________. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析： 的算式平方根是 故答案为 12. 若是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到关于的不等式和含绝对值的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵是关于，的二元一次方程， ∴，， 由， 解得； 由， 解得或； 综上所述，． 13. 在中，是边上的高，若，，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分为点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别计算的长度，即可求解． 【详解】解：是边上的高，分两种情况讨论： 当点在线段上时，； 当点在的延长线上时， ； 综上，的长为或． 14. 如图，将长方形纸条先沿着折叠，点，分别落于点，，交于点，再将纸条沿着折叠，点，分别落于点，，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合直角三角形的两个锐角和为90度、平行线和折叠的性质先证，再通过三角形的内角和与平角的性质证明，再代入即可求出的度数，最后利用折叠与平角的性质求出的度数即可． 【详解】解：设交于点，交于点， 在长方形中，， ∴， 由折叠得， 又， ∴， 又， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，根据方程组的解为整数且为整数，得到所有符合条件的，再解一元一次不等式，根据不等式整数解的和为得到的取值范围，最后计算的最大值即可． 【详解】解：解方程组， 由②得， 代入①得 ， 整理得， 解得， 代入③得， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴是的因数，即或， 分别计算得：当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 综上，的可能取值为和，最大值为， 解不等式： 各项减得， 各项除以得：， 该取值内最多有个连续整数，由整数解的和为，得整数解为，，因此： ， 解得，故的最大值为， ∴的最大值为． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，若它的千位数字的倍与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和的倍，则称为“双控数”．例如：，因为各个数位上的数字互不相等，满足，所以是“双控数”．最小的“双控数”是________；将“双控数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数，记，若能被整除，是一个自然数的平方，则满足条件的所有的和是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求最小的“双控数”时，要使四位数最小，需千位最小，再依次使百位、十位最小，结合“双控数”定义和各数位互不相等求解；第二问先根据的数位表示化简，再结合能被整除，是自然数的平方，得到关于的表达式，枚举所有可能情况，筛选出符合条件的，再求和． 【详解】解：①最小的“双控数” 是四位自然数，故， 要使最小，取最小，取最小， 由“双控数”定义得：，代入得：， 故为奇数，且互不相等，， 时，，重复，不符合； 时，，四个数字互不相等，符合， 故最小的“双控数”是； ②由题意得：， 交换后， ∴， 由得， 设，则， ∴ 又能被整除， ∴能被7整除，故能被7整除， 由是自然数的平方，得：（为自然数）， 故， 将代入得：， 由是个位数字，得，故， 即，是到之间的平方数，即， 结合，互不相等，枚举筛选得： 当时，无整数解； 当时，，，，符合题意，故； 当时，无整数解； 当时，，符合题意，故； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 符合条件的为和， 故所有的和为， 故答案为；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算或化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的性质，绝对值的性质等进行化简，再加减运算即可求解； （2）根据整式的加减混合运算法则展开计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组、不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 整理得：， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 所以原不等式组的解集为． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图象（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为响应国家关于加强劳动教育的号召，某校随机抽取了部分七年级学生对他们的一周家务劳动时长（单位：小时）进行了调查，根据调查数据得到以下不完整的统计图表： 分组 A B C D 劳动时长/小时 频数/人 12 40 8 请根据信息，解答下列问题： （1）______，______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若该校七年级共有600名学生，请估计每周家务劳动时长不少于2小时的学生总人数． 【答案】（1）20；54 （2） （3）每周家务劳动时长不少于2小时的学生总人数为210人 【解析】 【分析】（1）用D组的人数除以所占的百分比求得抽样总人数，再减去其它组的人数即可求出m，再根据A组人数求出n； （2）根据（1）求出的数据补全即可； （3）用该校总人数乘以样本中每周家务劳动时长不少于2小时的学生所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，D组的频率为，且D组频数为8， ∴总人数为（人）， ∴C组频数为（人）， ∵A组的频数为12， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，“不少于2小时”对应C组和D组， ∴（人）， ∴“不少于2小时”的频率为， ∵七年级共600人， ∴估计人数为（人）． 20. 如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． （1）求证：； （2）若且，求的度数． 【答案】（1）证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故． 21. 某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． （1）求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ （2）经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元 （2）共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球13个；②购进A品牌足球8个，B品牌足球12个；③购进A品牌足球9个，B品牌足球11个. 购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元 【解析】 【分析】（1）设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元，根据题意，得：，解答即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得 ，解答即可． 【小问1详解】 解：设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元； 【小问2详解】 解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 故共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球个； ②购进A品牌足球8个，B品牌足球个； ③购进A品牌足球9个，B品牌足球个； 设总利润为w元，根据题意，得， 又w随m的增大而增大， 故时，w取得最大值，此时（元）， 故购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元． 22. 某超市推出甲、乙、丙三种糖果礼盒，每种礼盒均装有A、B、C三种糖果．其中，甲礼盒装有4个A糖果，4个B糖果，9个C糖果；乙礼盒装有7个A糖果，7个B糖果，5个C糖果；丙礼盒装有若干个A糖果，6个B糖果，4个C糖果，且每种礼盒的售价等于其所装糖果的售价之和．每个甲礼盒的售价为86元，每个乙礼盒的售价不低于80元，不高于95元，每个丙礼盒的售价为88元．已知每种糖果的售价均为整数，且每个A糖果的售价高于3元，不超过8元，求每个丙礼盒中A糖果的个数． 【答案】 【解析】 【分析】先设未知数表示各糖果单价和丙中A糖果个数，根据甲礼盒售价得到各量关系，结合乙礼盒售价范围确定C糖果单价和A、B单价的和，再利用A单价的范围和丙礼盒售价的等式，结合整数性质求出丙中A糖果的个数． 【详解】解：设每个A糖果售价为x元，每个B糖果售价为y元，每个C糖果售价为z元，丙礼盒中A糖果的个数为a，x、y、z、a均为正整数， 根据题意得：， 设，则，得，且， ∵x、y均为正整数， ∴s是正整数，，，即， ∴是4的倍数，即， ∴，且z除以4余2， ∴或， 当时，， 计算乙的售价得，，不符合要求，舍去。 当时，， 计算乙的售价得，满足，符合要求； ∴，，即， 由，可得：，即， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵a为正整数， ∴可以为10或者9， 当时，，不为整数，舍去， 当时，，符合题意． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，，定义与中值较大的为点，的“绝对距离”，记为，即：．特别地，当时，． （1）已知点，，求的最小值及取得最小值时的取值范围； （2）已知点，点，若，求点的坐标； （3）已知点，若动点满足，请求出满足条件的所有组成的图形的面积． 【答案】（1）的最小值为，此时的取值范围是 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“绝对距离”可得，从而得到，即可求解； （2）根据“绝对距离”可得，然后分两种情况解答即可． （3）根据“绝对距离”可得，再由，可得，即该不等式表示的区域为一个大正方形挖去一个小正方形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 此时， 即， ∴， 即的最小值为，此时的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵点，点， ∴， ∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 当时，， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 综上所述点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点，点， ∴， ∵， ∴， 即该不等式表示的区域为一个大正方形挖去一个小正方形， ∵， ∴， ∴大正方形边长为，其面积为， ∵， ∴， ∴小正方形边长为，其面积为， ∴满足条件的所有组成的图形的面积为． 24. 在平面直角坐标系中，点，，，满足． （1）求的面积； （2）如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； （3）动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根的非负数性质得出，进而求出，可得，，利用三角形面积公式即可得出答案； （2）连接，过点作轴于，根据平移的性质得出，根据与的面积相等得出，根据各点坐标求出，设，根据可求出，即可求出点坐标； （3）根据的面积为，得出点在外，分两种情况，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行，设运动时间为，，由两点速度可得，利用三角形面积公式可得，利用割补法，结合的面积为可列出方程，解方程求出的值即可得出点坐标；当点在第一象限时，同理可求出点坐标，综上即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作轴于， ∵将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵点在轴上且位于点左侧，， ∴设 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵的面积为，， ∴点在外， 如图，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行， 设运动时间为，，则，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，即， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在第一象限时，过点分别作轴于、轴于， 设，同理可得：， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 25. 数学课上，同学们用和两条平行线展开研究．如图，，． （1）如图1，若，点在上，与相交于点，的平分线的反向延长线与的平分线交于点，求的度数； （2）如图2，点，在上，点在，之间，分别延长，交于点，，是上一点，连接，恰好平分，是内部一点，若，，用等式表示，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在（2）的条件下，，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到．与此同时，线段绕点以每秒的速度逆时针旋转得到线段，设旋转时间为，当所在直线与其中一条边所在直线平行（或共线）时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）数量关系为：，证明如下： 设，． 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入， 得 ； （3）的值为1，2，4，7，8，10 【解析】 【分析】（1）过点作，由得；结合角平分线的定义，得，；由平行线内错角相等得，进而即可求得； （2）设，，则，，由内角和得；由得，；结合平分，利用外角性质，代入即可求解； （3）由得；绕顺时针转，绕逆时针转，分、、三个阶段，分别讨论与三边平行的情况，列角度方程求解，舍去不合理解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 设平分，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点H作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 则 解得， ∴， ， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， 将线段绕E逆时针旋转，速度秒，t秒后旋转， ∴当时，即在内部时，此时； 当时，即在直线上面时，此时， 将绕A顺时针旋转，速度秒，t秒后旋转， ∴此时，； ，， 当时，延长至于点G，如图， 由旋转可得，，， 此时 ，； 当时，延长至于点H，如图， 此时 ，； ∴在范围内，当时，， ∴ 解得； 当时，， ∴ 解得； 当时，， ∴ 解得（舍去）； 在范围内，当，， ∴ 解得； 当，， ∴ 解得， 当时，，， ∴ 解得； 当时，，， ∴ 解得； 综上所述，的值为1，2，4，7，8，10． 【点睛】本题核心技巧是平行线中作辅助线转化角度、参数法推导角的数量关系、旋转问题分类讨论．常见错误是旋转角度方向搞反、漏分阶段讨论、平行时角度对应错误；避坑需明确旋转方向，按角度范围分段，逐一验证平行条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $