22.2 函数的表示 分层练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 22.2函数的表示同步分层训练通过基础夯实、能力提升、培优拓展三层设计，以4:4:2题量配比实现从概念识别到综合应用的梯度进阶，强化函数表示法与实际情境的联结，适配分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实练|函数概念、三种表示法识别、自变量取值范围|以填空、选择为主，聚焦单一知识点辨析，如自变量范围判断| |能力提升练|表示法转化、图象信息提取、实际情境应用|结合生活情境（如行程问题），设计函数关系建立与图象分析题| |培优拓展练|动态变化分析、数形结合综合应用|以动点问题、多过程函数图象（如快车慢车相遇）为载体，考查综合思维|

22.2 函数的表示 同步分层训练（含答案解析） 建议时长：40分钟 | 总分：100分 【基础夯实练】（全员必做，共40分） 本模块侧重基础概念、三种表示法的识别与自变量取值范围判断。 1. 从单个图象获取信息，首先确定横轴、纵轴表示的量及实际意义，当已知自变量的值时，可借助图象找到对应的　　　　　　　　值；当已知函数值时，可借助图象找到对应的　　　　　　　　的值． 2. 下列函数中，自变量取值范围错误的是（  ） A. B. C. （为任意实数） D. 3. 在函数中，若自变量的取值范围为，则函数值的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 4. 已知正比例函数，函数值随自变量的增大而增大，写出一个满足条件的正比例函数解析式　　　　　　　　． 5. 一个三角形的底边长为，高可以任意伸缩．写出面积随变化的表达式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值范围． 6. 甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量的增大而减小．”乙：“函数图象经过点．”请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【能力提升练】（选做提升，共40分） 本模块侧重三种表示法的转化、图象信息提取与实际生活情境应用。 7. 为了更好地保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积一定的污水处理池，池的底面积与其深度满足关系式，则关于的函数图象大致是 A. B. C. D. 8. 活动 会列函数关系式及求函数值、会确定自变量的取值范围 变式 等腰三角形的周长为，底边的长为，腰的长为． (1) 写出关于的函数解析式； (2) 求自变量的取值范围． 9. 地与地之间的距离是千米，汽车以平均每小时千米的速度从地开往地． (1) 写出汽车行驶的距离（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系式，指出它是什么函数，并求出它的自变量的取值范围； (2) 写出汽车距地的路程（千米）与行驶的时间（小时）之间的函数关系式，指出它是什么函数，并求出它的自变量的取值范围． 10. 如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以的速度沿的路线匀速运动，的面积与点运动的时间之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是 A. B. C. D. 11. 已知甲、乙两地相距，小徐和小马两人沿同一条公路从甲地到乙地，小徐骑自行车到达．小马骑摩托车比小徐晩出发，骑行时追上小徐，停留后继续以原速骑行．在整个行程中，两人与甲地的距离与小徐骑行时间的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为． (1) 线段所对应的函数表达式为　　　　　　　　，相应自变量的取值范围是　　　　　　　　，线段所对应的函数表达式为　　　　　　　　，相应自变量的取值范围是　　　　　　　　； (2) 小马在段的速度为　　　　　　　　，　　　　　　　　； (3) 求小马第二次追上小徐时与乙地的距离． 【培优拓展练】（拔高冲刺，共20分） 本模块侧重多过程动态变化分析、综合数形结合解决实际复杂问题。 12. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是个单位秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为 A. B. C. D. 13. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： (1) 甲、乙两地之间的距离为　　　　　　　　千米． (2) 请解释图中点的实际意义． (3) 求慢车和快车的速度． (4) 求线段所表示的与间的函数关系式，写出自变量的取值范围． (5) 若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇分钟后，第二列快车与慢车相遇．则第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 参考答案与解析 1. 函数，自变量 从单个图象获取信息时，横轴表示自变量，纵轴表示函数值。已知自变量的值时，通过横轴找到对应点，再沿纵轴方向读取对应的值；已知函数值时，通过纵轴找到对应点，再沿横轴方向读取对应的值。 2. D 本题考查函数自变量的取值范围。需要根据函数的表达式确定自变量的限制条件。选项A：，分母不能为零，所以，描述正确。选项B：，被开方数必须非负，即，解得，描述正确。选项C：，二次函数的自变量可以取任意实数，描述正确。选项D：，分母要求被开方数（因为分母不能为零且根号内非负），所以。题目中给出的范围包含了，此时分母为零，无意义，因此描述错误。综上所述，选项D的自变量取值范围描述错误。 3. 题目给出函数关系式，这是一个正比例函数。已知自变量的取值范围为。由于是正数，函数值随的增大而增大。因此：当时，；当时，。所以函数值的取值范围为。 4. （答案不唯一） 根据题目描述，正比例函数中，函数值随自变量的增大而增大，说明比例系数必须满足。因此，只要写出一个的正比例函数解析式即可，例如、、等。 5. ，，为常量，，为变量，为自变量，是的函数 6. （答案不唯一） 函数值随自变量的增大而减小，且该函数图象经过点， 该函数为一次函数． 设该一次函数的表达式为，则，． 取，此时一次函数的表达式为．（答案不唯一） 7. C 8. (1) (2) 9. (1) ，此函数是正比例函数， 两地之间的距离是千米， 行驶的距离，即， ， 此函数的自变量的取值范围为； (2) ，此函数是一次函数， 汽车距地的路程，即， 此函数的自变量的取值范围为． 10. B 动点 从点 出发，沿 以 匀速运动， 的面积 随时间 的变化分为以下阶段： ### 1. ** 秒（ 在 上运动）** 此时 到 的垂直距离为 （速度为 ），设 ，则面积公式为： 当 时，，代入得： 故 ，**选项 A 错误**。 同时， 的长度为 ，**选项 B 正确**。 ### 2. ** 秒（ 在 上运动）** 段运动时间为 秒，故 。 此时 到 的垂直距离不变（等于 ），水平移动不改变高，故面积保持 不变。 ### 3. ** 秒（ 在 上运动）** 段运动时间为 秒，故 。 此时 继续垂直向下运动（图中各角为直角），到 的垂直距离增加，面积线性增长。 ### 4. ** 秒（ 在 上运动）** 段运动时间为 秒，故 ，**选项 C 错误**。 此时 水平移动，到 的垂直距离不变，面积保持最大值不变。 ### 验证选项 D 的长度需结合图形结构：，，，，。 由于图形各角为直角， 为水平方向总长度，需通过水平分段计算，但根据图像分析，选项 D 未通过上述推导验证，且 已明确正确，故最终正确答案为 **B**。 11. (1) ，，， (2) ， (3) 解：设小马在小徐出发小时后第二次追上小徐， 由题意得，， 解得， 小马在小徐出发小时后第二次追上小徐， 小马第二次追上小徐时与乙地的距离为． 12. A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ， 点、是中点， ，， 当时，点在上，点在上，， ； 如图，当时，点在上，点在上， ， ，，， ； 如图，当时，点、都在上， ， 综上判断选项A的图象符合题意， 故选：A． 13. (1) (2) 图中点的实际意义是：当慢车行驶小时时，慢车和快车相遇． (3) 由图象可知，慢车小时行驶的路程为千米， 慢车的速度为（千米时）； 当慢车行驶小时时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为千米， 慢车和快车行驶的速度之和为（千米时）， 快车的速度为千米时． (4) 根据题意，快车行驶千米到达乙地， 快车行驶（小时）到达乙地，此时两车之间的距离为（千米）， 点的坐标为． 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 把，代入得解得 线段所表示的与之间的函数关系式为． 自变量的取值范围是． (5) 慢车与第一列快车相遇分钟后与第二列快车相遇， 此时，慢车的行驶时间是小时． 把代入，得． 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离千米， 两列快车出发的间隔时间是（小时），即第二列快车比第一列快车晚出发小时． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $