拓展与延伸20 概率与统计的综合问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦概率与统计综合问题，依据新高考从“计算型”转向“分析型”的定位，梳理回归模型与概率分布、独立性检验与概率分布两大核心考点，分析情境化、融合化、思维化命题趋势，归纳概率与数列/函数结合等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题模拟与思维训练结合，如例1通过超几何分布解决回归模型中的概率问题，例2结合独立性检验与分层抽样培养数据分析素养，指导“少算多想”技巧，帮助学生掌握跨模块综合题解法，教师可据此精准突破高频考点，提升复习效率。

拓展与延伸20 既率与统计的综合问题 考情分析 概率统计板块在新高考中的定位已发生根本转变，从曾经的“送分题”变为如今 承载数据分析、实际应用与跨学科融合的核心载体，命题理念正从传统的“计算 型”转向“分析型”. 命题趋势三大转向 1. 情境化：真实情境占比预计超过60%，扶贫数据、环境治理、科技前沿等社 会热点直接作为命题素材 2.融合化：打破知识壁垒，不仅内部知识融合，更与函数、导数、数列等跨模 块知识综合 3.思维化：贯彻“少算多想”，增加开放性、结构不良问题，注重考查概率本质 理解和统计思想 知识梳理 1.概率与数列结合常见两类题型： 概率问题转化成一个与自然数有关的数列问题，借助数列求和、基本不等式求 最值或者证明不等式， 利用全概率公式、正态分布或者概率之间的关系获得数列的递推关系式，然后通 过配凑构造等比数列，求出概率中的期望值，进而做出最佳的决策， 2.概率与函数结合常见两类题型：将与概率有关的问题（尤其是最值问题）转化 为函数问题，再利用导数知识解决；以决策判断的开放性问题来巧妙设置，从数 学角度进行科学创新与判断，为决策或判断提供理论支持. 三、考点扫描 考点一回归模型与概率分布的综合问题 例1(2025·山东青岛市模拟)为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在 农村儿童聚居地区捐建悦读小屋”.自2021年以来，某村一直在组织开展悦读小 屋读书活动”.下表是对2021年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y/册 yI V2 36 92 142 (1)在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X,求X 的分布列和数学期望E(X): (2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①y=35x一47和②y=5x2+m两种模 型作为年借阅量y关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出 模型②的回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好 参考数据：之29 【解】(1)由题知，5年的借阅量的平均数为290=58，又十2=290-36-92- 5 142=20,则y1<58,y2<58,所以低于平均值的有3个，所以X服从超几何分布， P(=)=C5C C3 6-o,.2所以mX-o--0%=S-8 C?10 3 PC-2)-CC c 所以X的分布列如下： 10 X 0 2 1 3 3 P 10 5 10 所以E)=0×,+1×3+2 36 10 105 2)因为2+2+3+4+52 =11, 290 =58,所以58=5×11十m,即m=3 5 5 所以模型②的回归方程为)=5x2+3,根据模型①的回归方程可得1=一12，， =23,,=58,,=93,=128.根据模型②的回归方程可得=8，少，=23， 3=48,)4=83,；=128.因为[y1+12)2+02-23)2+(36-58)2+(92-932+ (142-128)2]-[0y1-8)2+02-23)2+(36-48)}+(92-83)2+(142-128)2]=0y1+ 12)2-0y1-8)2+222-122+12-92=40y1+340,且y20,所以模型①的残差平方 和大于模型②的残差平方和，所以模型②的拟合效果更好」 规律方法： 高考常将回归模型与概率分布等交汇在一起进行考查，求线性回归方程时要充分 利用已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要注意概率模型的应用， 明确所求问题所属的事件类型是关键. 对点训练 (2025·河南周口市模拟)直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模 式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切 实助力农民增收.我国南方某蜜橘种植县通过网络平台直播销售蜜橘，其中每箱 蜜橘重5千克，单价为40元/箱.已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的 直播时长之和，单位：小时)与蜜橘的单目销售量y(单位：百箱)之间的统计 数据如下表： 直播总时长x/小时 8 9 11 12 15 单日销售量y/百箱 67 63 80 80 85 可用线性回归模型拟合y与x之间的关系 (1)试求变量y与x的线性回归方程 (2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使得每天直播带货销售蜜橘的 总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？ (3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱 按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙 两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为夺元/箱，且每箱坏果的个数X =-0 服从Hx)-i1245 0i6…;80 若采用乙款包装箱，成本为1元/箱，且每箱坏果的个数Y服从 6 =0, PY=)= m=1,23,请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得 0,i=45,:80 的利润更大 之0y习 参考公式和数据： 多对，自石点=空压 &925 S85 【解】(1)由题意，得 5 5 53 5万3 所以 所以 所以经验回归方程为下④ (2)根据题意，得 解得x置五，又 288,所以至少要请9位主播进行直播 4 (3)对于乙款包装箱，由 茎字度宝.所 m= 2. 设采用甲款包装箱每 箱获得的利润的数学期望为E, 则 1223 32 设采用乙款包装箱每箱获得的利润的数学期望为E, 则 3 解得-没 因为上≤，所以令 )3 令 2 解得 ,令 子解得综上所述，当：总时，采用两款 必 包装箱获得的利润一样：当1（云5时，采用甲款包装箱获得的利润更大：当 时. 采用乙款包装箱获得的利润更大 考点二独立性检验与概率分布的综合问题 例2(2025·广东广州市模拟)近年中国新能源汽车进入高速发展时期专家预测 2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者 购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对 400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买 新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿 意购买燃油车的4倍 单位：人 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 青年 年龄段 中老年 合计 (1)完善2×2列联表，请根据小概率值题的独立性检验，分析消费者对新能 源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中 随机抽取4人，求这4人中青年人数的期望 (④品 参考公式和数据：毛气CG料 兄a 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 【解】(1)中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的 2倍，所以愿意购买新能源车的中老年人数为100，愿意购买燃油车的中老年人 数为50，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以 青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下2×2列 联表： 单位：人 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 年龄段 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设H。：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关， 。根据小概率值的独立性检验， 我们推断H,不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关 (2)愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2：1，所以 分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，记这4人中，青年 的人数为X,则X的可能取值为1,2,3,4， 9答3 字至代蹄罗号代4在 所以X的分布列 如下： X 1 2 3 4 10 5 P 21 14 21 42 所以这4人中青年人数的期望为： 规律方法： 高考常将独立性检验、回归分析等与分布列等交汇在一起进行考查，由频率分布 直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布 直方图正确计算出各组数据 对点训练(2025·四川成都市模拟)在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选 择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和 女生人数之比为1：1，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就 餐”，不超过8次的学生认定为不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不 喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人， 单位：人 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值①的独立性检验，分析学生 喜欢食堂就餐是否与性别有关： (2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人 数为X.事件“二的概率为，求随机变量X的期望和方差， 参考公式和数据： 巨©子 元3生 其中 兄2 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 零假设H。:：假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得 根据小概率O的独立性检验推断H。 不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 (2)由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数X服从二项分布， 且喜欢饭堂就餐的须率为”-06，则-购，故其期望③区，方差 四、巩固提升 1.(2025·辽宁沈阳市模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走 进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称笔记 本”)也非常流行.某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别 有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示， 单位：人 男性 女性 合计 喜欢“台式机” 20 5 25 喜欢“笔记本” 10 15 25 合计 30 20 50 (1)试判断能否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关： (2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216 人，老年108人，用分层抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这 3人中的青年人数设为随机变量X,求X的概率分布与数学期望， 参考公式和数据：x2= n (ad-bc)2 ,其中n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(2≥xo) 0.10 0.05 0.01 0.005 Xo 2.706 3.841 6.635 7.879 【解】(1)提出假设Ho:喜欢哪种机型与性别无关.由表中数据可得= 5D≤ ≈8.333>6.635，即有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有 2e0 关 (2)由题意，324：216：108=3：2：1，所以12人中有青年人6人，中年人4人， 老年人2人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，PX=0) C8C8=1,PX=1)= C.C Ci211 Ciz 2X-2 cCb_9, C8C8_1 则概率分布如下： Ciz 22 PX=3)= Ci211 X 0 1 2 3 1 9 9 1 P 11 22 22 11 EC)=0x1,+1 11 9十2x 1-3 22 十3 22 112 2、(2025·湖北武汉市武昌区模拟)设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为@m, 测得的一些数据如下表所示： 第r天 1 9 16 25 36 49 高度/an 0 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现： (套与第x天之间近似满足关系式 匙，其中a,b均为大于0的常数. (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对α，b作出估计， 并求y关于x的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个 点中幼苗的高度大于？的点的个数为5，其中)为表格中所给的幼苗高度的平均 数，试求随机变量；的分布列和数学期望 参考公式：对于一组数据（中，(2，.，（为，其回归直线方程 4 ∑4 的斜率和截距的最小二乘估计分别为B- -m 方， 【解】(1)令，则上，根据已知数据表得到如下表： 4 9 16 25 36 49 2 3 4 5 6 7 y 0 9 11 12 13 可得 二 通过上表计算可得 字欧 因为回归直线过点()，则 G点所以y关于“的回归方程裂号 (2)由题意可知：7天中幼苗高度大于8的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，所以这4个点中幼苗的高度大 于y的点的个数5的取值为1,2,3,4，则有 传芒气字容 路答生怎名 所以随机变量5的分布列如下： 1 2 3 4 4 12 1 P 35 35 5 35 随机变量：的期望值 感谢观看 THANKS