拓展与延伸19 离心率的最值范围问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线离心率范围这一高考热点，依据高考评价体系梳理直接法、定义法等核心方法，分析椭圆定义应用、双曲线几何性质等高频考点，归纳选择填空常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于真题驱动与技巧赋能，精选2025年四川德阳等模拟题，通过例1用基本不等式求最值、例2用双曲线定义转化等实例，培养学生数学思维与几何直观素养，传授“定义转化+不等式构建”突破方法，助力学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习指导。

拓展与延伸19 离心率的最值范围问题 一、考情分析 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转 化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使得问题求解更简 洁. 二、知识梳理 椭圆与双曲线的离心率的求法： 1.直接法：找出基本量关系 2.点代入法：将曲线上点的坐标用a,b,c表示，代入方程. 3.第二定义法：将焦半径关系转化为到准线距离. 例如，如图，若AF2=FB,cos0= 2-1 ,a,,e知二求一. e0λ+1☐ 小 Q 4.化等式为不等式：利用全域思想求解范围. 三、考点扫描 考点一根据椭圆和双曲线的定义求解 例1(1）(2025·四川德阳市糢拟已知椭圆M:号+兰=1(a>6>0)的左、右焦 点分别为F1,F2,P为椭圆M上任意一点，且PFPF2最大值的取值范围为 [2c2,3c2](其中c2=a2-b2,c>0),则椭圆M的离心率的取值范围是() a停，9B竖，c停，) DB,引 A【解析】由基本不等式及椭圆定义可知PFPF≤ ‘-,当且仅 当PF1=PF时，等号成立，所以PF1PF2的最大值为a2.由题意知2c2≤a2≤3c2, 所以V2c≤a≤V3c,所以≤e≤号故选A (2)已知双曲线C: 足=1a>0,>0)的右焦点为26,0)，点A的坐标 a2 b2 为0,1)，P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的 离心率的取值范围是 【解析】由右焦点为F26,0),点A的坐标为(0,1)，可得AF=24+1 =5.因为△APF的周长不小于18，所以PA十PF的最小值不小于13.设F2为双曲 线的左焦点，可得PF=PF2+2a,故PA+PF=PA+PF2十2a,当A,P,F2三点 共线时，PA+PF2+2a取最小值，最小值为AF2+2a,即5+2a,所以5+2a心13， 即心4因为c=26.所以e:26,6又el,所以e∈ a a2 2 对点训练已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B,直线BF与C 相交于另一点A.则当c0s∠FAB最小时，则椭圆C的离心率为 3 ,=1(a>b>0),其焦距为2c.由题 3 【解析】如图，设椭圆C的方程为”+ 意可知BF=BF2=a.设AF2=X,则AF1=2a一x,AB=a十x,故CoS∠FAB= AF+ABP-BFi22a-x)2+(x+a)2-a2 x2-ax+2a2 4a2 =一1 2AFAB 2(2a-x)x+a) -x2+ax+2a2 x2-ax-2a2 4a2 取最小值 则在△AG中，AG=,A=及则ca∠F=cos∠B= 21 AF2+AF22-FFP7 9目- 7 整理得a2=3c2,故椭圆C的 2AFAF2 9 2×3a×0 22 离心率e=C=13 B a F 考点二根据椭圆和双曲线的几何性质求解 例2(1)(2025·陕西西安市铁一中学模拟)已知双曲线号-兰-1(a>0,6>0)的 左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，且PF1=5PF2,则此双 曲线的离心率e的最大值为( A C.2 D B【解桥】根据双曲线的定义可得P-PF,=2a因为PF=5PF,所以PF,=号 PF=三因为点P在双曲的右支上，所以PF≥c-a,即≥c-a,所以2≥c, 所以1<e=≤3， 所以双曲线的离心率e的最大值为故选B (2)已知F,F2分别是椭圆C:兰+兰=1(a>i>0)的左、右焦点，P,Q是C 上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若PF1+QF2≥b,则C的离心率 的取值范围是( A(o,引BB,c(0,D原，1) C【解析】由点P,Q是C上位于x上方的任意两点，延 PF交于另一 交点，记为A,由PF∥QF2再合的称性 ,易知AF=QF,所以PF,十 QF=PA,由椭圆过焦点的弦中通径最短，所以当PA垂直于x轴时，PA最短， 所以h≤P4m2 所以ub≤2R即又0ce1,e--三9即0e号 故选C 规律方法： 利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上 的点到焦点距离的范围等，建立不等式（不等式组）求解 对点训练 )2025·陕西西安市模拟)已知双曲线E:二=1(0>0，b0 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在E上.若对所有的点P,均满足PF1+PF2≥4a 一4b,则E的离心率的取值范围是( A.(2,+∞) B(1,c2,2）D2,+∞) D【解析】由题意，根据双曲的称性 不妨点P在E的右支上，由双曲线 的定义可得PF1-PF2=2a,即PF=PF+2a.由PF1十PF2≥4a-4b,可得2PF +2a≥4a-4b,即PF2≥a-2b.又PF2长的最小值为c-a(当点P为双曲线右顶 点时取得最小值)，可得c-a≥a-2b,即2a-c≤2b.当2a-c≤0，即-≥2时， 不等式显然成立；当2a-c>0,即1<<2时，(2a-c)2≤4b2=4c2-4a2,可得 272<2综上可知，双曲线E的离心率的取值范围是一，+）故选D 3 ②已鬼w行片 =1(a>0,b>0)上一点A,它关于坐标原点的对称点为B,F 为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF设∠ABF=a,且a∈ 则该椭圆的离 心率的最小值为 2 解析】由题意，A关于原点的对称点为B,点F为椭圆右焦点，设左焦点为 F,如图所示 B 因为AF⊥BF,所以四边形AFBF为矩形，所以AB=FF=2C.因为∠ABF=a, 所以AF=2 csin a,BF=AF1=2 ccos a,由椭圆的定义得2a=2 csin a+2 ccos a, 所以e=c= a sin a+cos a 因为 (3)所a+e(g7②） 服m号 考点三根据几何图形的性质求解 例3（1)已知F1,F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭 b2 圆C上的一点，直线Ax-+,且PQL1,垂足为Q.若四边形QPF为 a 平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( B.(2-1,1) C.0,V2-1) B【华】设，则 因为四边形QPFF2为平行四边形， 所以P0=F5,所以4+-0=2c,即0-+-2c-2a-c-2ac∈(-4， a a a,所以-1<24-c3-2c<1,所以-1<2-e2-2e<1,解得2-1<e<1故选B d (2)(2025山东烟台市第-中学期末)已知F1,分别是双曲线-兰=1a>0, b>0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点A,使得点F2到直线AF1的距离 为2a,则双曲线离心率e的取值范围是( A.[V2,+∞) B.(V2,+∞) C.1,V2 D.(1,V2 B【解析】设直线AF:y=x+c<,即x-y+c=0,则点F(c,0)到 直线Af的距离为0+2a,即=即，所以e=1+兰2故选 /1+a2 B. 规律方法： 利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之 间的关系. 对点训练(1)设，分别是椭圆 =1(ab>0)的左、右焦点若在直线x _(上有在点P,使得线段PF的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是 吗t, D【解析】如图所示，因为线段PF1的中垂线过F2,所以FF2=PF2=2c,又QF2 -Co,且P5空0枚2g-o,即em,放e又oe1,所以1 0 故选D F C (2) 设过坐标原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C: d b2 =1(a>0,b>0)的 左、右两支分别交于A,B两点，F是C的焦点若△ABF的面积大于√写 则双曲线C的离心率的取值范围是( A.(1,V7)B.(N2,7)C.(2,7)D.(2,V7) D 【解析】不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程 为y=3x A y=V3x, 由2_y2 =1, 得x=士 ab 且b2>3a2,所以y4= b2 b2-3a2 1V2-3a2’B= 3ab 2\3ab 3abc . b2-3a2 b2-3a2 1Vb2-3a2’ 且 b SAABF> B=6ac,所以 6ac,所以 b2-3a2 >2,解得 b2-3a2 0<e<7.又因为b2>3a,解得e>2,所以2<e<v7.故选D 四、巩固提升 1. 圆十心0的左、石焦点分别为上，，椭圆上存在点 b21 得∠FM=于 则椭圆离心率的取值范围是( G D【解析】由题意，设椭圆上顶点为B,若椭圆上存在点A,使得∠F4F2= 3 则只需∠FBF≥即可.当∠FBF=时，△FBF,为等边三角形，此时a=2c, 放当∠所，2，用时又01，故高心*ee 故选D 2.2025·湖南长沙市第一中学痢末)若双曲线G:号-兰1a0,b0的新近 线与圆C2:x一2)2+y2=1有公共点，则C的离心率的取值范围是( A(1,29)B(1, C.(1,2) D.(1,2] B【解析】因为双曲线的渐近线方程为bx±y=0,且渐近线与圆x-2}+y2=1 有公共点，所以圆心2,0)到渐近线的距离小于等于半径，即 ≤1，所以 e2+o2 3b2≤，所以c2=d+b≤女，所以1<e=≤2故选B 3.(2025·山东实验中学模拟)已知F1,F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它 们的一个公共点，且∠FPF2=60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为( A.23 3 B.1 D.2 2 C【解析】不妨设PF=m,PF2=(m>m).椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半 轴长为a2,两曲线的半焦距均为c,由椭圆及双曲线的定义得m+n=2a1,m一n =2a2,于是m=a1十a2,n=a1-a2.又在△PFF2中，由余弦定理得m2+2-2mcos 60°=4c2→a+am)2+a-am2-(a十a)a-an)=4c2,则a+3a=4c2,得，+3 2e3 4由结本不等式得4一日十2 1/3 →ee2 2’ 当且仅当e1=12 6时， e 2 等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为故选C. 4.(多诡题)已知0为坐标原点，双曲线C:片=1a>0,6>0的右焦点为下， a2 b2 1是C的一条渐近线，以F为圆心，α为半径的圆与1交于A,B两点，则有( A.过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B.双曲线C的离心率的最大值是2 C.若>0，则双曲线C的离心率的取值范围是 D.若OA=AB,则双曲线C的离心率为 17 ACD【解析】对于选项A,因为双曲线C的渐近线I与圆F交于A,B两点，所 以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点（如图），故选项A正确 对于选项B,过点F作FD⊥I,垂足为D,易知FD=b,因为圆F与直线I相交， 所以b<a,又c2=a2+b2,所以c2<2a2,即e2<2,又e>1,所以双曲线C的离心 率的取值范围是(1,2).故选项B错误 对于选项C,若1F办0，则0∠AFB?故0<∠AFD,故，2cos∠AFD1, 以骨n治西r260（西 2 a 项C正确！ 对于选项D,因为OA=AB,所以A为线段OB的中点，设AD=m,则OA=2m, b2+m2=a2, OD=3m,在Rt△AFD和Rt△OFD中，由勾股定理得， 消去 b2+9m2=c2, m2得c2=9a-82,即17a2=9c2,所以e=N17, 故选项D正确.故选ACD 3 5.2025·安徽六安市模拟)已知椭圆C: 2+y=1(>b>O)的上顶点为B,O为 62 坐标原点，点P(a,b),线段OP与椭圆C交于点M,点Q在线段OM上，且 OM2=OP.OQ.若直线BQ与圆x2+y2=a2-b2相交，则椭圆C的离心率的取值范 围是 1, b2 X= 5-1 0 b 21 【解析】设直线OP的方程为y=x由 解得 2 a y= 即临受 设点00a,),其中a∈ 由Of=0P00得+ =+以+，解得子放0[侣》 则直线BQ的方程为bx+y-ab=0.由直线BQ与圆x2+y2=-b2相交，得 ab a2-b2,故d-b4-a2b2>0,即b4←a2(a2-b2.因为a2-b2=c2,所以(a -c2)2<ac2,即a2-c2<ac,即1-e2<e.又因为0<e<1,所以 5-l<e1 2 感谢观看 THANKS