第四章 因式分解 单元试卷 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 北师大版八年级下因式分解单元卷，覆盖定义、公式法及综合应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|因式分解定义（第1题）、公式法辨析（第2题）、几何应用（第3题）|结合密码情境（第4题），体现数学眼光与应用意识| |填空题|6小题|提公因式（第11题）、新定义“智慧数”（第12题）、完全平方公式（第13题）|设计开放题（第15题），培养抽象能力与创新意识| |解答题|7小题|分步分解（第17题）、方法迁移（第18题）、几何与代数结合（第21题）|突出整体思想（第20题）与推理能力，契合单元复习需求|

2025-2026北师大版数学8年级下第四章因式分解 一．选择题（共10小题） 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1 B． C．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） D．（x﹣4）2＝x2﹣8x+16 2．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 5．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（　　） A．44 B．55 C．66 D．77 6．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6 7．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．无法确定 8．若A＝x2+6y+4，B＝﹣y2+2x﹣6，则A，B的大小关系为（　　） A．A≥B B．A＜B C．A＞B D．A＝B 9．已知x2+3x﹣3＝0，则代数式x3+5x2+3x﹣10的值为（　　） A．﹣1 B．10 C．6 D．﹣4 10．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题） 11．已知等式：x（y﹣1）+（_____）＝（y﹣1）（x+3），若括号内所填的式子记为A，则A＝　 　 ． 12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为　 　 ． 13．若a＝2b+1，则a2﹣4ab+4b2+2025的值为 　 　 ． 14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝　 　 ． 15．在多项式x2+1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是 　 　 .（写出一个即可） 16．a2+b2＝1，c2+d2＝1，且ac+bd＝0，求ab+cd的值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．把下列各式因式分解： （1）﹣3ax2+6axy﹣3ay2； （2）（x﹣1）2+6（1﹣x）+9； （3）a4﹣8a2b2+16b4； （4）（x+y）2+4（x﹣y）2﹣4（x2﹣y2）． 18．先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　 　 ，共应用了　 　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025，则需应用上述方法　 　 次，结果是　 　 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）； （4）利用（3）中的结论计算：5+52+53+…+52025． 19．观察下列算式，完成问题： 算式①：42﹣22＝12＝4×3， 算式②：62﹣42＝20＝4×5， 算式③：82﹣62＝28＝4×7， 算式④：102﹣82＝36＝4×9， … （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　 　 ； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 20．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝　 　 ； （2）若（2024﹣x）（x﹣2025），求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 21．小明从一张边长为acm的正方形纸板上减掉一个边长为bcm的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程揭示的因式分解的等式是　 　 ； （2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求4y﹣3x的值； （3）利用因式分解计算： ． 22．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b， 比较系数得，解得∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于x的多项式x2+mx﹣18有一个因式是（x﹣2），则m＝　 　 ； （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值； （3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式． 23．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当x＝　 　 时，代数式x2﹣2x+3有最小值，最小值是 　 　 ； （2）若W＝﹣x2+4x+9，此时W有 　 　 值（填”最大”或“最小”），即当x＝　 　 时，W最值＝　 　 ； （3）若﹣x2+5x+y﹣3＝0，则y+x＝　 　 （用含x的代数式表示），请求出y+x的最值． 2025-2026北师大版数学8年级下第四章因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　） A．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1 B． C．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） D．（x﹣4）2＝x2﹣8x+16 【分析】因式分解的定义是把多项式化为几个整式的乘积的形式，据此判断即可． 【解答】解：A、选项式子的右边为4x（x﹣1）+1，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、选项式子的右边含分式，不是整式，不是因式分解，不符合题意； C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y），是因式分解，符合题意； D、选项式子的右边为多项式，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是关键． 2．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【解答】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 3．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解． 【解答】解：移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0， c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0， （a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0， 所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0， 即a＝b或a2+b2＝c2， 因此，△ABC等腰三角形或直角三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键． 4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【解答】解：∵2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）＝2（a2﹣1）（x﹣y）， ∴2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1） ＝2（a﹣1）（a+1）（x﹣y）， ∵对应密码字：2→我，（x﹣y）→爱，（a+1）→河，（a﹣1）→南， ∴密码信息为“我爱河南”， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键． 5．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（　　） A．44 B．55 C．66 D．77 【分析】先将原式变形为，根据44＝22×11，55＝11×5，66＝2×3×11，可知44，55，66是11×23×3×53的因子，可使结果为整数；而77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数，即可得出结果． 【解答】解：原式 ， A、当n＝44时，44＝22×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项A不符合题意； B、当n＝55时，55＝11×5，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项B不符合题意； C、当n＝66时，66＝2×3×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项C不符合题意； D、当n＝77时，77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． 6．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　） A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6 【分析】根据所给等式结合完全平方的非负性可求出a，b，c的值，再利用勾股定理逆定理可得出∠C＝90°，最后利用面积法即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c， 所以a2+b2+c2+200﹣12a﹣16b﹣20c＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0， 所以a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， 则a＝6，b＝8，c＝10． 因为62+82＝102， 即a2+b2＝c2， 所以∠C＝90°， 所以△ABC斜边上的高为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能根据题意得出∠C＝90°及巧用面积法是解题的关键． 7．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．无法确定 【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算． 【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a， ∴m2﹣n2＝3n﹣3m， ∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0， ∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0， ∵m≠n， ∴（m+n）+3＝0， ∴m+n＝﹣3， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值． 8．若A＝x2+6y+4，B＝﹣y2+2x﹣6，则A，B的大小关系为（　　） A．A≥B B．A＜B C．A＞B D．A＝B 【分析】运用作差法和因式分解进行比较、辨别． 【解答】解：∵A﹣B ＝（x2+6y+4）﹣（﹣y2+2x﹣6） ＝x2+6y+4+y2﹣2x+6 ＝（x2﹣2x+1）+（y2+6y+9） ＝（x﹣1）2+（y+3）2≥0， ∴A≥B， 故选：A． 【点评】此题考查了整式因式分解的应用和大小比较的能力，关键是能准确确定解题方法，并能进行正确地变形、求解． 9．已知x2+3x﹣3＝0，则代数式x3+5x2+3x﹣10的值为（　　） A．﹣1 B．10 C．6 D．﹣4 【分析】本题首先要把x3+5x2+3x﹣10降幂利用因式分解分解成转化成含有x2+3x的式子，然后代入即可求解． 【解答】解：∵x2+3x﹣3＝0， ∴x2+3x＝3， x3+5x2+3x﹣10 ＝x3+3x2+2x2+3x﹣10 ＝x（x2+3x）+2x2+3x﹣10 ＝3x+2x2+3x﹣10 ＝2x2+6x﹣10 ＝2（x2+3x）﹣10 ＝2×3﹣10 ＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，关键是把x3+5x2+3x﹣10降幂利用因式分解分解成转化成含有x2+3x的式子，进而求解． 10．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc化为2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2，再应用完全平方公式，可得：2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2，然后把a、b、c的值代入，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020， ∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2， ∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc ＝2（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）÷2 ＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]÷2 ＝[（﹣1）2+（﹣1）2+22]÷2 ＝6÷2 ＝3 故选：D． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意完全平方公式的应用． 二．填空题（共6小题） 11．已知等式：x（y﹣1）+（_____）＝（y﹣1）（x+3），若括号内所填的式子记为A，则A＝　3y﹣3　 ． 【分析】把y﹣1看作整体，利用乘法分配律计算，即可求出A表示的代数式． 【解答】解：（y﹣1）（x+3）＝x（y﹣1）+3（y﹣1）＝x（y﹣1）+（3y﹣3）， 所以A＝3y﹣3， 故答案为：3y﹣3． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，正确计算是解题的关键． 12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为　6560　 ． 【分析】因为如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”，设相邻的两个奇数分别为（2n+1）、（2n﹣1），（n≥1，且n为正整数），可得（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，即8n≤321，因为n为正整数，所以n最大为40，此时2n+1＝81，2n﹣1＝79，所以求出不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+792﹣772+812﹣792，求出结果即可． 【解答】解：设相邻的两个奇数分别为（2n+1）、（2n﹣1），（n≥1，且n为正整数）， （2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝8n， 因为8n≤321， 所以， 所以n最大为40，此时2n+1＝81，2n﹣1＝79， 所以有： 32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+792﹣772+812﹣792 ＝812﹣12 ＝6560． 答：在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为6560． 故答案为：6560． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是理解“智慧数”的意义． 13．若a＝2b+1，则a2﹣4ab+4b2+2025的值为 　2026　 ． 【分析】根据完全平方公式对原式进行因式分解，再代入a的关系式计算即可． 【解答】解：a2﹣4ab+4b2+2025 ＝（a﹣2b）2+2025 ＝（2b+1﹣2b）2+2025 ＝12+2025 ＝2026， 故答案为：2026． 【点评】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是关键． 14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝　﹣6　 ． 【分析】利用待定系数法即可解得． 【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴， 另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得： ， ∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了待定系数法，二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题关键． 15．在多项式x2+1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是 　2x（答案不唯一）　 .（写出一个即可） 【分析】根据完全平方公式的形式解答即可． 【解答】解：∵x2+1+2x＝（x+1）2， ∴加上的单项式可以是2x． 故答案为：2x（答案不唯一）． 【点评】本题考查了完全平方式，单项式，熟知对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式，即a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键． 16．a2+b2＝1，c2+d2＝1，且ac+bd＝0，求ab+cd的值为 　0　 ． 【分析】将“a2+b2＝1，c2+d2＝1“中的“1”代换为等式左边的部分，从而ab+cd＝ab×1+cd×1＝ab（c2+d2）+cd（a2+b2），最后化为因式分解的形式，再根据ac+bd＝0，可得答案． 【解答】解：∵a2+b2＝1，c2+d2＝1， ∴ab+cd＝ab×1+cd×1 ＝ab（c2+d2）+cd（a2+b2） ＝bc（ac+bd）+ad（bd+ac） ＝（ac+bd）（bc+ad）， ∵ac+bd＝0， ∴ab+cd＝0． 【点评】本题考查了因式分解在整式求值中的应用，正确根据已知条件进行因式分解是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．把下列各式因式分解： （1）﹣3ax2+6axy﹣3ay2； （2）（x﹣1）2+6（1﹣x）+9； （3）a4﹣8a2b2+16b4； （4）（x+y）2+4（x﹣y）2﹣4（x2﹣y2）． 【分析】针对（1），首先原式提取公因式﹣3a，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； 针对（2），首先把原式化为（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； 针对（3），首先原式根据完全平方公式进行因式分解，再括号内根据平方差公式进行因式分解即可； 针对（4），首先把原式化为（x+y）2﹣4（x+y）（x﹣y）+4（x﹣y）2，进而得出（x+y）2﹣2（x+y）•2（x﹣y）+[2（x﹣y）]2，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣3a（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3a（x﹣y）2； （2）原式＝（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9 ＝（x﹣1﹣3）2 ＝（x﹣4）2； （3）原式＝（a2﹣4b2）2 ＝[（a+2b）（a﹣2b）]2 ＝（a+2b）2（a﹣2b）2； （4）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）（x﹣y）+4（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣2（x+y）•2（x﹣y）+[2（x﹣y）]2 ＝[（x+y）﹣2（x﹣y）]2 ＝（﹣x+3y）2 ＝（x﹣3y）2． 【点评】本题考查公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 18．先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述分解因式的方法是　提取公因式法　 ，共应用了　2　 次； （2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025，则需应用上述方法　2025　 次，结果是　（1+x）2026 ； （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）； （4）利用（3）中的结论计算：5+52+53+…+52025． 【分析】（1）根据已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （4）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次， 故答案为：提取公因式法，2； （2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）2025 ＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+…+x（1+x）2024] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+…+x（1+x）2023] ＝..． ＝（1+x）2026， ∴分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）2026，需应用上述方法2025次，结果是（1+x）2026； 故答案为：2025，（1+x）2026； （3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n ＝（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n ＝（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣2] ＝..． ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1； （4）5+52+53+...+52025 4×（5+52+53+...+52025） （4×5+4×52+4×53+...+4×52025） [（1+4+4×5+4×52+4×53+...+4×52025）﹣5] （1+4+4×5+4×52+4×53+...+4×52025） ． 【点评】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解答此题的关键． 19．观察下列算式，完成问题： 算式①：42﹣22＝12＝4×3， 算式②：62﹣42＝20＝4×5， 算式③：82﹣62＝28＝4×7， 算式④：102﹣82＝36＝4×9， … （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　122﹣102＝44＝4×11　 ； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立． 【分析】（1）根据题意即可得出答案； （2）先设两个连续偶数为2n和2n+2，再由平方差公式（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），即可得出答案． 【解答】（1）根据题意，可得算式⑤：122﹣102＝44＝4×11， 故答案为：122﹣102＝44＝4×11； （2）设两个连续偶数为2n和2n+2， ∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝2（4n+2）＝4（2n+1）， ∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍． 【点评】本题考查了命题与定理，因式分解一平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键． 20．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则： 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝　（x﹣3）4 ； （2）若（2024﹣x）（x﹣2025），求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 【分析】（1）令x2﹣6x＝A，原式＝A（A+18）+81＝（A+9）2＝（x2﹣6x+9）2；据此解答； （2）令2024﹣x＝a，x﹣2025＝b，可得ab，a+b＝﹣1，（2024﹣x）2+（x﹣2025）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入数据计算即可； （3）（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n2+5n+4）×（n2+5n+6）+1，令n2+5n+4＝a，原式＝a×（a+2）+1＝（a+1）2＝（n2+5n+5）2，据此证明． 【解答】解：（1）令x2﹣6x＝A， （x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81 ＝A（A+18）+81 ＝A2+18A+81 ＝（A+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2； ＝（x﹣3）4； 故答案为：（x﹣3）4； （2）因为（2024﹣x）（x﹣2025）， 令2024﹣x＝a，x﹣2025＝b， 则ab，a+b＝﹣1， （2024﹣x）2+（x﹣2025）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝2； （3）（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1 ＝（n+1）（n+4）×（n+2）（n+3）+1 ＝（n2+5n+4）×（n2+5n+6）+1， 令n2+5n+4＝a， 原式＝a×（a+2）+1 ＝a2+2a+1 ＝（a+1）2 ＝（n2+5n+5）2， 因为n为正整数， 所以n2+5n+5是整数， 所以式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的“整体思想”解决问题． 21．小明从一张边长为acm的正方形纸板上减掉一个边长为bcm的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程揭示的因式分解的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求4y﹣3x的值； （3）利用因式分解计算： ． 【分析】（1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）∵9x2﹣16y2＝30， ∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30， ∵3x+4y＝6， ∴3x﹣4y＝5， ∴4y﹣3x＝﹣5； （3）原式 ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 22．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b， 比较系数得，解得∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于x的多项式x2+mx﹣18有一个因式是（x﹣2），则m＝　7　 ； （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值； （3）已知x2+2x+1是多项式x3﹣x2+ax+b的一个因式，求a，b的值，并将该多项式分解因式． 【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣18＝（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），分别取x＝1和x＝2得关于m和n的二元一次方程组，求解即可； （3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1），将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【解答】解：（1）x2+mx﹣18＝（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n， 故﹣2n＝﹣18，m＝n﹣2， 解得n＝9，m＝7． 故答案为：7； （2）设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 分别令x＝1和x＝2得： ， 解得：， ∴n＝20，m＝﹣5； （3）设x3﹣x2+ax+b＝（x+p）（x2+2x+1）， ∵（x2+2x+1）（x+p） ＝x3+（2+p）x2+（1+2p）x+p， ∴， 解得：， ∴多项式x3﹣x2+ax+b＝x3﹣x2﹣5x﹣3， ∴原式＝（x﹣3）（x2+2x+1） ＝（x﹣3）（x+1）2， ∴a＝﹣5，b＝﹣3，该多项式分解因式为：x3﹣x2﹣5x﹣3＝（x﹣3）（x+1）2． 【点评】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． 23．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴当x＝﹣2时，x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）当x＝　1　 时，代数式x2﹣2x+3有最小值，最小值是 　2　 ； （2）若W＝﹣x2+4x+9，此时W有 　大　 值（填”最大”或“最小”），即当x＝　2　 时，W最值＝　13　 ； （3）若﹣x2+5x+y﹣3＝0，则y+x＝x2﹣4x+3　 （用含x的代数式表示），请求出y+x的最值． 【分析】（1）由x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，再结合非负数的性质可得答案； （2）由W＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13，再结合非负数的性质可得答案； （3）由﹣x2+5x+y﹣3＝0可得y+x＝x2﹣4x+3，结合x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，再进一步解答即可； 【解答】解：（1）∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2， ∴当x＝1时，有最小值2； 故答案为：1，2； （2）∵W＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴W≤13； ∴当x＝2时有最大值13； 故W＝﹣x2+4x+9有最大值，当x＝2时，最大值为13． 故答案为：大，2，13； （3）∵﹣x2+5x+y﹣3＝0， ∴y+x＝x2﹣4x+3， ∵x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，而（x﹣2）2﹣1≥﹣1； ∴当x＝2时，y+x的最小值为﹣1； 故答案为：x2﹣4x+3． 【点评】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质，正确进行计算是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/4 8:37:47；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $