第四章 因式分解 单元试卷 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026北师大版数学8年级下第四章因式分解

一．选择题（共10小题）

1．下列各式从左到右变形是因式分解的是（　　）

A．4x2﹣4x+1＝4x（x﹣1）+1 B． 

C．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y） D．（x﹣4）2＝x2﹣8x+16

2．下列各式：①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④x2+2xy+y2；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（　　）

A．直角三角形 

B．等腰三角形 

C．等腰三角形或直角三角形 

D．等腰直角三角形

4．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣1，x﹣y，2，a2+1，x，a+1分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将2x（a2﹣1）﹣2y（a2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学

5．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（　　）

A．44 B．55 C．66 D．77

6．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC斜边上的高为（　　）

A．2.4 B．4.8 C．6 D．9.6

7．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）

A．9 B．6 C．4 D．无法确定

8．若A＝x2+6y+4，B＝﹣y2+2x﹣6，则A，B的大小关系为（　　）

A．A≥B B．A＜B C．A＞B D．A＝B

9．已知x2+3x﹣3＝0，则代数式x3+5x2+3x﹣10的值为（　　）

A．﹣1 B．10 C．6 D．﹣4

10．已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

二．填空题（共6小题）

11．已知等式：x（y﹣1）+（_____）＝（y﹣1）（x+3），若括号内所填的式子记为A，则A＝　       　 ．

12．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“智慧数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过321的正整数中，所有的“智慧数”之和为　       　 ．

13．若a＝2b+1，则a2﹣4ab+4b2+2025的值为 　       　 ．

14．已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝　     　 ．

15．在多项式x2+1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是 　            　 .（写出一个即可）

16．a2+b2＝1，c2+d2＝1，且ac+bd＝0，求ab+cd的值为 　   　 ．

三．解答题（共7小题）

17．把下列各式因式分解：

 （1）﹣3ax2+6axy﹣3ay2；

 （2）（x﹣1）2+6（1﹣x）+9；

 （3）a4﹣8a2b2+16b4；

 （4）（x+y）2+4（x﹣y）2﹣4（x2﹣y2）．

18．先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x（x+1）+x（x+1）2

＝（1+x）[1+x+x（x+1）]

＝（1+x）2（1+x）

＝（1+x）3．

（1）上述分解因式的方法是　         　 ，共应用了　   　 次；

（2）若分解因式1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2025，则需应用上述方法　       　 次，结果是　            　 ；

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）；

（4）利用（3）中的结论计算：5+52+53+…+52025．

19．观察下列算式，完成问题：

算式①：42﹣22＝12＝4×3，

算式②：62﹣42＝20＝4×5，

算式③：82﹣62＝28＝4×7，

算式④：102﹣82＝36＝4×9，

…

（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　                  　 ；

（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立．

20．先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则：

原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

（1）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝　         　 ；

（2）若（2024﹣x）（x﹣2025），求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值；

（3）求证：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1的值一定是某一个整数的平方．

21．小明从一张边长为acm的正方形纸板上减掉一个边长为bcm的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）．

（1）上述过程揭示的因式分解的等式是　                  　 ；

（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求4y﹣3x的值；

（3）利用因式分解计算：

．

22．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题，已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．

解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b），