第四章 因式分解 单元综合素养提升卷 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第四章     因式分解 单元综合素养提升卷

（时间：90分钟  满分：100分）

 

一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．多项式的公因式是（　　）

A． B． C． D．

2．已知x-y=1，xy=2，则.的值为（　　）

A． B．-2 C． D．2

3．利用因式分解计算（　　）

A．1 B．2023 C．2024 D．

4．因式分解x2+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（　　）

A．1 B．4 C．11 D．12

5．下列各式不能分解因式的是（　　）  

A． B． C． D．

6．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）  

A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌

7．已知三个实数a、b、c满足，，则（　　）

A．， B．， C． D．

8．长和宽分别为的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为（　　）

A．2560 B．490 C．80 D．49

9．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为（　　）

A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定

10．若 有一个因式为 ，则k的值为（　　） 

A．17 B．51 C．－51 D．－57

二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)

11．分解因式：=　          　.

12．-3(a-b)2·[2(a-b)3]·[   (a-b)]=　         　. 

13．把多项式 分解因式的结果是　            　.  

14．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a=　     　 　，b=　     　

15．分解因式：　           　

16．在实数范围内因式分解： 　                    　．  

三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．分解因式：

（1）

（2）

18．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．

（1）求整式M，P．

（2）将整式P因式分解．

（3）P的最小值为　     　

19．已知．

求的值；      

求的值；

20．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4与奇数的积吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

21．下面是某同学用 “换元法”对两个多项式进行因式分解的过程， 请将解题过程补充完整．

（1） ；
解： 设 ，

原式=

=

=

=

= 　     　

（2） ．
解： 设 ，
原式 　              　

22．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下：

．

这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式：．

（2）若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由．

23．许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：

（1）42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2024呢?

（2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么?

（3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.