11.5线段的垂直平分线 同步练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 本练习以线段垂直平分线性质与判定为核心，通过基础辨析、中档推理到综合应用的三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课知识巩固与几何直观、推理能力的初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|性质与判定概念|单选题1（外心位置）、填空题8（垂直平分线判定），以选择填空为主，强化基础认知| |中档层|性质与三角形综合|单选题6（最短路径）、解答题15（尺规作图与等边三角形判定），融合推理与计算，培养几何直观| |提高层|跨知识综合应用|解答题19（筝形性质）、20（新定义“美好等腰三角形”），涉及探究与证明，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.5线段的垂直平分线》 同步练习题（附答案） 一、单选题 1．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，且，若，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（） A．14 B．16 C．18 D．12 7．如图，的边的垂直平分线相交于点O，点M，N在边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 9．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 10．已知是有一个角为的等腰三角形，，分别作、的垂直平分线交直线于点、，则的度数为______． 11．如图，D是线段，的垂直平分线的交点．若，，则的大小是__________． 12．如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 13．如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 14．如图，在中，，，是的中线，，，且，则____________． 三、解答题 15．如图，在中，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； (2)在（1）得到的图中，若，判断的形状，并说明理由． 16．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 17．如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 18．如图，和均为等腰三角形，，，且，，连接交AE于点F，连接交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 19．如图①，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线，线段就是它的一条对角线． (1)求证：； (2)下列条件能够判定四边形是筝形的有________．（将所有正确的序号填在横线上） ①且；②且； ③且；④且． (3)如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内部找一点P，连接，，使折线恰好将筝形的面积分为相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 20．【理解问题】 如图1，在和中，，，点A，D在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做美好等腰三角形．在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线． (1)【拟定计划】 小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明． 已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线． (2)【实施计划】 如图2，在中，，点D在上，，，垂足为E，的延长线与交于点F，点G在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形． (3)【回顾反思】①小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，若，请直接写出的度数． ②参考小颖的问题尝试提出一个新的问题（不用解答）． 参考答案 1．C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 2．B 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解： ，， ， 垂直平分， ， ， ． 3．B 【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴等腰三角形有、两个． 4．A 【分析】先根据等边对等角得，再根据线段垂直平分线的性质得，进而得出，接下来根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据直角三角形的性质得，同理可得，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 5．A 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可推出，则，据此根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．A 【分析】连接，根据垂直平分得到，因此，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值是14． 7．A 【分析】先根据线段垂直平分线的性质定理得，进而得出，再根据三角形内角和定理得，然后求出，最后根据求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．/ 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上， 9． 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 10．或 【分析】分两种情况讨论：如图，当底角时，当顶角，再分别画图进一步求解即可． 【详解】解：如图，当底角时， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴， 如图，当顶角， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 11．/度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质，得，再根据等腰三角形的性质，易求，，从而可求，最后再根据等腰三角形的性质，计算即可求解． 【详解】解：D是线段，的垂直平分线的交点， ，， 则， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 12．17 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 13．3 【分析】连接，证明，再由线段垂直平分线的性质及周长条件即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， ∴． 14．6 【分析】延长交的延长线于，证明，得到，，根据垂直平分线的性质解答． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中线， ∴， ，， ， 又∵， ， ，， ， ． 15．(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，分别求出，，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：等边三角形，理由； ， ， ， 所以是等边三角形． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明得，然后利用三角形内角和定理可得，可证； （2）延长交于点H，证明垂直平分得，，则，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 19．(1)见解析 (2)②③④ (3)见解析 【分析】（1）证明是的垂直平分线即可得出结论； （2）根据“筝形”的定义逐个条件进行分析判断即可； （3）连接，作的垂直平分线交于点，连接，，则折线将筝形的面积分为相等的两部分． 【详解】（1）证明：∵， ∴点B在的垂直平分线上； ∵， ∴点D在的垂直平分线上； ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：①且，这是平行四边形的判定，平行四边形邻边不一定相等，不能判定为筝形； ②且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，能判定为筝形；； ③且， ∵，，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴，能判定为筝形； ④且； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，，能判定为筝形。 所以，正确的是②③④； （3）解：如图，折线将筝形的面积分为相等的两部分． 理由：由作图得，点是的中点， ∴，， ∴， 即折线将筝形的面积分为相等的两部分． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得 ，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）①证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数； ②证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：和是美好等腰三角形， ． ，即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是美好等腰三角形 （3）①解：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②问题：在图2的基础上继续探究：分别连接、，若，请直接写出的度数． 解：如图3， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 设． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $