11.4直角三角形 同步练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 该同步练习通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，覆盖直角三角形核心知识点，梯度递进培养推理能力与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理及逆定理、直角三角形性质、逆命题|单选题1-5、填空题8-10，侧重概念辨析与简单计算，如判断直角三角形、对顶角逆命题真假| |中档层|网格与展开图中的直角三角形、HL全等判定、面积计算|单选题6-7、填空题11-13，结合图形情境，如正方体展开图角度计算、不规则绿地面积求解| |提高层|动态几何、综合证明与拓展延伸|解答题15-20，如倍长中线构造全等、旋转情境下的探究，培养推理能力与创新意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.4直角三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．满足下列条件的（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，的对边分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在4×4的正方形网格中，点，，都在格点上，若每个小正方形的边长均为，为边上的中线，则下列结论错误的是（   ） A． B．是直角三角形 C． D．的面积是 6．如图是一个棱长为1的正方体的展开图，，，是展开后小正方形的顶点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．下列结论中：①；②；③；④，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．“如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是________（填“真”或“假”）命题． 9．给出下列几组数据：①3，4，5；②1，3，4；③4，4，6；④6，8，10；⑤5，7，2；⑥13，5，12；⑦7，25，24．以每组数据为三边长，可构成三角形的有____________；可构成直角三角形的有____________．（填序号） 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角为_____度． 11．如图，在和中，，，若要利用“”证明，则需要添加条件______． 12．如图，在中，，是边上的高，．则与的数量关系是___________． 13．如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为______． 14．如图，在中，，直线上方存在一点，使，延长至点，使，当，且，时，则______． 三、解答题 15．在中，，，为边上一点，且，，求边的长度． 16．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 17．如图，某社区有一块四边形空地，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据：，，，从点到边的距离（垂足为），恰好是的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元． (1)求边的长； (2)请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？ 18．已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 19．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． (1)【初步感知】勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为c．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； (2)【问题解决】如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)【拓展延伸】如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，求新修路的长为________千米．（只填空） 20．【问题情景】为了提高同学们探究数学的热情，某校初一年级开展了“倍长中线微专题”探究活动，刘老师提出了如下问题： (1)如图1，在中，，，，，点为边上的中点，则的长为______． (2)【思考探究】如图2，在四边形中，若与不平行，是边的中点，且，平分，若，，试求的长度． (3)【拓展延伸】如图3，和是以点为公共锐角顶点的两个等腰直角三角形，，，，连接，点为的中点，连接，．将绕点逆时针旋转．若所在的直线恰好经过点时，请直接写出的面积为________． 参考答案 1．解：A选项： ， ， 不是直角三角形，符合题意； B选项：， ，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，不符合题意； C选项：， ， 是直角三角形，不符合题意； D选项：， ， 是直角三角形，不符合题意． 2．A 【分析】对等式变形后，根据勾股定理的逆定理判断直角对应的角即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， ∴根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且边是最长边， ∵边是的对边，三角形中最长边对直角， ∴． 3．C 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 4．A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，接着根据高线的定义和直角三角形两锐角互余求出的度数，最后通过计算出的度数，从而确定正确选项． 【详解】解：，， ． 是的角平分线 ． 是的高线， ，即． 在中， ． ． 5．D 【分析】根据勾股定理可判断；根据勾股定理的逆定理可判断；根据直角三角形的性质可判断；根据三角形的面积公式可判断． 【详解】解：、由网格可知，，该选项正确，不符合题意， 、由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项正确，不符合题意； 、∵是直角三角形，为中点， ∴，该选项正确，不符合题意， 、由上可得，，，是直角三角形， ∴的面积是，该选项错误，符合题意． 6．B 【分析】通过正方形格点和勾股定理逆定理证明是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ∴， 是等腰直角三角形， ． 7．D 【分析】根据等腰直角三角形的性质得，，，，根据可证明，可判断①；根据全等三角形的性质可判断②；根据勾股定理可判断④；根据直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可判断③． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，， ， ， ∴，即， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， ， 即，故结论④正确； 如图，设与交于点， 在和中，，即， ∴， ∴，即， ∴，故结论③正确； ∴正确的有个． 8．真 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据对顶角的性质判断逆命题的真假． 【详解】解：原命题的逆命题为：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 根据对顶角相等可知，该逆命题是真命题． 9． ①③④⑥⑦ ①④⑥⑦ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的三边关系定理的应用，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据三角形三边关系定理和勾股定理逐一判断每组数据． 【详解】解：根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，可判断： ①，，，能构成三角形； ②，不大于，不能构成三角形； ③，，，能构成三角形； ④，，，能构成三角形； ⑤，不大于，不能构成三角形； ⑥，，，能构成三角形； ⑦，，，能构成三角形. 故可构成三角形的有①③④⑥⑦. 对于能构成三角形的组，应用勾股定理判断： ①，是直角三角形； ③，不是直角三角形； ④，是直角三角形； ⑥，是直角三角形； ⑦，是直角三角形， 故可构成直角三角形的有①④⑥⑦. 故答案为：①③④⑥⑦；①④⑥⑦． 10．40或140 【分析】本题考查等腰三角形的性质及高的位置关系，根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴； 综上所述：等腰三角形的顶角度数为40度或140度． 故答案为：40或140． 11． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“”证明三角形全等是解题的关键． 利用“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∵为直角边相等， ∴只需添加斜边即可利用“”证明． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，在中分别根据所对的边等于斜边的一半即可求解． 【详解】在中，， ， ， ， 又是边上的高， ，则， ，即． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得，即得，进而得到是直角三角形，且，再根据绿地的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块绿地的面积， 故答案为：． 14． 【分析】连接交于点，延长至点，使得，过点作的垂线，交的延长线于点，设，根据三角形的内角和定理和平行线的性质，可推断出，则．容易证明，则，，结合与三角形的内角和定理可推断出，进而证明，则，．容易证明，则，根据，求出． 【详解】解：如图，连接交于点，延长至点，使得，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是全等三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定定理与性质并添加正确的辅助线是解题关键． 15． 【分析】利用勾股定理的逆定理可判定，再使用勾股定理计算出，最后相加即可． 【详解】解：∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 16．(1)全等，理由见详解 (2) 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 17．(1)18m (2)购买草皮的费用为8400元． 【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据中点的定义即可求解； （2）连接，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算出面积，然后用面积乘以每平方米的单价即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在中，， 是的中点， ； （2）解：连接， ，是的中点， ， ， ， ， ， （元）， 答：购买草皮的费用为8400元． 18．(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）根据垂直可得，由直角三角形的两锐角互余可得，，再结合对顶角相等等量代换即可得解； （2）根据垂直可得，由四边形的内角和列式计算即可得解； （3）设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ， ． （3）解：设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为． 根据题意，得或， 解得或． 当时，； 当时，， 这两个角的度数为，或，． 19．(1)见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据面积法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后由勾股定理逆定理证明，最后由求解即可； （3）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：； 整理，得， 所以； （2）解：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设千米，则千米， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴（千米）． 20．(1) (2)； (3)或． 【分析】（1）延长到点，使，证明，得出，，再证明，据此计算即可解答； （2）在上取点，使，证明，得出，，证明，据此计算即可解答； （3）分两种情况讨论：当，在同侧和，在异侧时，利用全等三角形的判定和性质，进而解答． 【详解】（1）解：延长到点，使， ∵点为边上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在上取点，使， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵和是以点为公共锐角顶点的两个等腰直角三角形，，，， ∴，，，， 当，在同侧时： 如图，延长至点，使得，连接，， ∵所在的直线恰好经过点， ∴， 为中点， 同法可得， ，，， 设，则， ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴； 当，在异侧时： 如图，延长至点，使得，连接，，设、交于点， 同理可得， ，，， ， 同理求得， ， ，， ， ， 为中点， 综上：的面积为或． 学科网（北京）股份有限公司 $