《11.3等腰三角形》同步练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 同步练，初中数学，《11.3等腰三角形》，分层梯度清晰，从基础概念到综合模型，适配不同认知水平，强化推理意识与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、性质初步应用|反证法假设（单选题1）、角度计算（单选题2），巩固核心概念| |中档|性质综合、简单计算|三线合一求周长（填空题9）、角平分线与平行线结合（单选题5），提升应用能力| |拔高|动态几何、模型构建|手拉手模型证明（解答题19）、折叠分类讨论（填空题14），培养创新意识与推理能力|

2025-2026学年鲁教版（五四制)七年级数学下册《11.3等腰三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1.用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是钝角”，应先假设() A.一个三角形中只有一个角是钝角B.一个三角形中有两个角是钝角 C.一个三角形中三个角都是钝角 D.一个三角形中没有钝角 2.如图等腰△ABC中，AB=AC,∠B=25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度 数是() D A.75o B.650 c.55 D.50° 3.将一台带有保护套的平板电脑按图1放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示.经 测得AB=BC=BD=10cm,AC=12cm.则A,D两点间的距离为() 图1 图2 A.12cm B.13cm C.16cm D.20cm 4.手工社团正在筹备校园文化节，要设计一面独特的三角形活动旗帜，为了让旗帜更有设 计感，社员们在底边BC上选了一点M,让AB=AM=MC,已知旗帜的∠B=50°，现 在需要精算出∠C的度数，才能保证成品美观规整.则∠C的度数为() M A.25o B.30 C.35 D.40° 5.如图，在△ABC中，己知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE‖BC, 交AB于点D,交AC于点E,若BD=5、CE=3,则线段DE的长为() A.6 B.12 C.10 D.8 6.如图，在△ABC中，D,E两点均在AB边上，己知AC=AEBC=BD,∠ACB=a, 则∠DCE=() D A.专a B.90°-a c.90°-a D.2a-90° 7.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点，点E、F分别在边 AB、AC上，且∠EDF=90°.以下四个结论：①△BED兰△AFD;②EF=AD:③ AC=BE十FC;④∠AGF=∠AED.上述结论正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题 8.己知等腰三角形的底边和腰长分别为8和5，则这个等腰三角形的面积为 9.已知等腰三角形的腰长为17cm,底边上的中线长为15cm,则它的周长为 10.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2,若∠B=15°，则腰AC上的高为 B 11.如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，连接AD, DE⊥AB于点E,AE=2,那么BE的值为· 12.如图，将含有45°角的直角三角板ABC放置于平面直角坐标系中，己知直角顶点A的 坐标为(1,0)，顶点B的坐标为（一3,1），则顶点C的坐标为 13.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AC=CD,连接AC, BD:若BC=8,BD=10,则AB的长为· B 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=110°，D是BC上的动点，连接AD,将 △ABD沿AD折叠，得到△AED,且点E在直线BC的下方，AE与边BC交于点M,继续 将AC向下折叠，使AC与AE重合，折痕为AF(F在边CM上)，连接EF.若△DEF是等 腰三角形，则∠BAD的度数为 三、解答题 15.如图，AC与BD相交于点E,AC=BD.若，则△ABE兰△DCE 请从①AE=DE;②∠ACB=∠DBC;③AB=DC这三个选项中选择一个作为条件，使 结论成立，并证明. D E B 16.在梯形ABCD中，ADIBC,点E为边AB的中点，连接CE、DE,且AD十BC=CD.求 证：CE⊥DE. 17.如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE‖BC交AC于点E,连接CD,DE 平分∠ADC,在BC边上取点F,连接DF,∠DFC=45°，过点D作DM⊥BC于点M B F (1)求证：△BCD为等腰三角形： (2)若BC=12,BF=2,求DM的长. 18.如图1，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D B 图1 图2 (1)求证：△BCD为等腰三角形 (2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2，求证：BD+AD=AB+BE (3)若△ABC的外角平分线AE交CB的延长线于点B,请你探究(2)中的结论是否仍然成 立，若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论. 19,综合与实践 如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，底角顶点连起来，在相对位置变 化的同时，始终存在一对全等三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”.如图 1,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE. 图1 图2 图3 (1)求证：BD=CE. (2)如图2，已知△ABC,以AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE与 CD交于点P.求∠BPD的度数. 3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在AC右上方，且 AD=CD=2,∠ADC=45°，连接BD,直接写出线段BD的长 20.已知△ABC为等边三角形，D为边AC所在直线上一点，E为射线BC上一点，直线 AE,BD交于点G,且BG=BC. GAA B B E 图① 图② 图③ (1)如图①，当点G在线段AE上时，易证：BD=AD+CE; (2)如图②，当点G在线段BD上时，探究线段BD,AD,CE之间有怎样的数量关系，请写 出你的结论，并说明理由： 3)如图③，当点G在线段EA的延长线上时，猜想线段BD,AD,CE之间又有怎样的数量 关系，请直接写出你的猜想，不需要证明. 参考答案 1.B 【详解】解：应先假设“一个三角形中有两个角是钝角”. 2.B 【详解】解：∵AB=AC,∠B=25°， ∠C=∠B=250, .∠BAC=180°-2∠B=130°， :AD是△ABC的中线， ∠BAD=∠BAC=65°. 3.C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理以及勾股定理，解题的关键是得 到△ACD为直角三角形， 连接AD,根据三角形内角和定理可以得到∠DAC=90·，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：连接AD,如下图： D B A 图2 AB=BC=BD=10cm, :∠BAC=∠ACB,∠BDA=∠BAD,CD=20cm, 又：∠DAC+∠ADC+∠ACB=180°， .∠DAB+∠CAB+∠ADC+∠ACB=180°，即2（∠DAB+∠CAB)=180°，即 ∠DAC=90°， .△ACD为直角三角形， 由勾股定理可得，AD=VCD2-AC2=16cm. 4.A 【分析】根据等边对等角得出∠ABM=∠AMB=50·,∠CAM=∠ACM,再结合三角 形的外角性质得出∠AMB=∠CAM+∠ACM,即可求解. 【详解】解：“AB=AM=MC,∠B=50°， ∠ABM=∠AMB=50°，∠CAM=∠ACM, :∠AMB=∠CAM+∠ACM, ∠ACM=支∠AMB=克X50°=25°. 5.D 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠BCF,再利用平行线的性 质可得∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠BCF,从而可得∠ABF=∠DFB,∠ACF=∠EFC, 然后利用等角对等边可得DB=DF,EF=EC,即可解答. 【详解】解：BP平分∠ABC,CF平分∠ACB, ∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠BCF, DE‖BC, ∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠BCF, .∠ABF=∠DFB,∠ACF=∠EFC, :DB=DF,EF=EC, BD=5,CE=3, :DE=DF+EF=BD+CE=5+3=8. 6.C 【分析】先证明∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,再结合三角形的外角的性质进一步求 解即可。 【详解】解：：AC=AE,BC=BD, :∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC, :∠AEC=∠B+∠BCE,∠BDC=∠A+∠ACD, :∠ACD+∠DCE=∠B+∠BCE①， ∠BCE+∠DCE=∠A十∠ACD②， ①+②得：∠ACD+2LDCE+∠BCE=∠B+∠BCE+∠A+∠ACD :2∠DCE=∠B+∠A, :∠ACB=, ·2∠DCE=180°-， ∠DCE=90°-a. 7.c 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①；EF的长 是变化的，而AD是定值，可判断②；由全等三角形的性质得到BE=AF,再由线段的和差 关系可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④， 【详解】解：：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点， ·∠B=∠C=∠CAD=45°，AD=专BC=BD,∠ADB=90°， ·∠BDE+∠ADE=90°， :∠EDF=90°， :∠ADE+∠ADF=90o, ·∠BDE=∠ADF, ·△BED兰△AFD(ASA),故①正确： DE=DF, :.EF=DE2+DE2=2DE, :DE的长是变化的， EF的长是变化的，而AD的长是定值， ·EF和AD不一定相等，故②错误； :△BED≌△AFD, BE=AF, :AC=AF十FC=BE+FC,故③正确； DE=DF,∠EDF=90°， :∠DFE=∠DEF=45°， :∠AGF=∠ADF+∠DFE=∠ADF+45°， :∠AED=∠BDE+∠B=∠BDE+45°，∠BDE=∠ADF ·∠AGF=∠AED,故④正确； .正确的有①③④， 8.12 【分析】过A作AH⊥BC于H,由等腰三角形的性质推出BH=BC=5,由勾股定理得到 AH=VAB2-BH2=V52-42=3,由三角形的面积公式即可求出△ABC的面积. 【详解】解：如图：AB=AC=5,BC=8, 过A作AH⊥BC于H, B H AB=AC, BH=专BC=专X8=4, ∴AH=AB2-BH7=52-42=3, :△ABC的面积=专BC·AH=号×8X3=12 9.50cm 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知底边上的中线即为底边上的高，利用勾股定 理求出底边一半的长度，再得到底边长，最后计算三角形的周长即可 【详解】解：：等腰三角形的腰长为17cm,底边上的中线长为15cm, 由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高， .底边的-半长=V172-152=V289-225=V64=8cm ·底边长=2×8=16cm :等腰三角形的周长=17+17+16=50cm. 10 1 【分析】过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D,易得∠BAD=30°，根据含30度角的 直角三角形的性质，求解即可. 【详解】解：AB=AC=2,∠B=15°， ∠C=∠B=150, 过点B作AC的垂线交CA的延长线于点D,如图， D B 则∠BAD=∠ABC十∠C=30°， :BD=AB=1, 故腰AC上的高为1. 11.6 【分析】根据在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点 E,可以求得AD⊥BC,∠B=∠C,以及∠B和∠C的度数，从而可以求得ADAB的长， 本题得以解决 【详解】解：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D是BC的中点， ∴AD⊥BC,∠B=∠C=30°， ∠ADC=90°， :DE⊥AB于点E,EA=2, .∠DEA=90°，∠DEB=90°， ∠BAD=60°，∠EDA=30°， :AD=2AE=4, ∴AB=2AD=8, :BE=AB-AE=6. 12.（24) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点 的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键。 过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,易证明 △ABD兰△CAE(AAS),则AD=CE、BD=AE,利用点A、点B的坐标求出CE、 AE,从而求出点C的坐标. 【详解】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E, B D OA E :△ABC是等腰直角三角形，点A为直角顶点， ·AB=AC、∠BAC=90°， ·∠BAD+∠CAE=90°、∠BAD十∠CAE=90°， :∠ABD=∠CAE, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC=90 AB-AC ·△ABD≌△CAE(AAS), ·AD=CE、BD=AE, :点A的坐标为(1,0)，顶点B的坐标为(-3,1)， ÷点D(-3,0), ÷AD=1-(-3)=4、BD=1、0A=1, :CE=4、AE=1, ÷0E=0A+AE=1+1=2, :点C位于第一象限， ÷点C的坐标为(2,4). 13.6 【分析】如图，以AB为边作等边△ABE,连接CE.证明△ACE≌△ADB(SAS), ∠EBC=90°.在Rt△EBC中，BE=VEC2-BC=V102-82=6,进一步可得答 案 【详解】解：如图，以AB为边作等边△ABE,连接CE E B :∠ADC=60°，AC=CD, .△ACD为等边三角形. .∠CAD=60°， 又：△ABE为等边三角形， AE=AB=BE,∠ABE=∠BAE=60°. .∠BAD=∠CAE, △ACE≌△ADB(SAS), .CE=BD=10. 又：∠ABC=30°， ∠EBC=90°. 在Rt△EBC中，BE=VEC2-BC=V102-82=6, ∴AB=BE=6: 14.20°或27.5°或35° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 ∠B=∠C=专(180°-∠BAC)=35°，根据折叠的性质得到∠ADE=∠ADB, ∠AED=∠B=35°，∠AEF=∠C=35°，设∠BAD=C,分别表示出∠FDE和 ∠DFE,再根据△DEF是等腰三角形，分3种情况讨论，列出关于：的方程，即可得出答 案 【详解】解：：AB=AC,∠BAC=110°， .∠B=∠C=(180°-∠BAC)=35°， ·将△ABD沿AD折叠得到△AED, ∴·∠ADE=∠ADB,∠AED=∠B=35°， :将AC向下折叠，使AC与AE重合， ∴∠AEF=∠C=35°， 设∠BAD=《, ·.∠ADC=∠BAD+∠B=C+35°， .∠ADB=180°-∠ADC=180°-(a+35°)=145°-， ∠ADE=∠ADB=145°-， ∠FDE=∠ADE-∠ADC=145°--(+35°)=110°-2a, :∠FED=∠AEF+∠AED=350十35°=70°， ∠DFE=180°-∠FDE-∠FED=180°-(110°-2a)-70°=2a, :△DEF是等腰三角形， 当DF=EF时，则∠FDE=∠FED, .110°-2a=70°， 解得a=20°； 当DE=EF时，则∠FDE=∠DFE, 110°-2=2， 解得a=27.5o; 当DF=DE时，则∠DFE=∠FED, .28=70°， 解得=35o: 综上所述，∠BAD的度数为20°或27.5°或35°. 15.①；见解析. 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，熟练掌握全等三角形的 判定及等腰三角形的判定是解决本题的关键。 【详解】选① 证明：“AC=BD,AE=DE, .BE=CE, 在△ABE和△DCE中， AE-DE ∠AEB=∠DEC BE-CE .△ABE≌△DCE(SAS): 选② :∠ACB=∠DBC, :CE=BE, AC=BD, ·AE=DE, 在△ABE和△DCE中， AE-DE ∠AEB=∠DEC BE-CE .△ABE≌△DCE(SAS): 选③ 在△ABC和△DCB中， AB=DC BC=CB AC=BD ·△ABC≌△DCB(SSS) ·∠A=∠D,∠ACB=∠DBC, ·EC=EB, 在△ABE和△DCE中， ∠A=∠D ∠AEB=∠DEC EB=EC .△ABE≌△DCE(AAS). 16.见详解 【分析】延长DE交BC的延长线于点F,证明△ADE兰△BFE,得出AD=BF, DE=EF.结合AD十BC=CD,得出CF=CD,再根据等腰三角形三线合一的性质即 可证明CE⊥DF, 【详解】证明：延长DE交BC的延长线于点F, F--- B C.ADI BC, ∴∠A=∠EBF,∠ADE=∠F, 又E是AB中点， :AE=BE, :△ADE≌△BFE(AAS), AD=BF,DE=EF. :AD十BC=CD, :BF+BC=CD, 又CF=BC十BF, 即CF=CD ∴△CDF是等腰三角形， :E是AB中点， .CE⊥DF,即CE⊥DE 17.(1)见解析 (2)4 【分析】(1)根据平行线的性质和角平分线的定义可证明∠B=∠DCB,得到DB=DC, 据此可证明结论； (2)由三线合一定理得到BM=BC=6,则可求出MF=4,证明△DMF是等腰直角 三角形，可得到DM=MF=4, 【详解】(1)证明：：DEBC, .∠B=∠ADE,∠DCB=∠CDE, :DE平分∠ADC, .∠ADE=∠CDE, ∠B=∠DCB, DB=DC, △BCD为等腰三角形 (2)解：：DB=DC,DM⊥BC, BM=专BC=6,∠DMB=90°， :MF=BM-BF=4, 又∠DFC=45°， ∴△DMF是等腰直角三角形， :DM=MF=4. 18.(1)见解析 (2)见解析 (3)结论不成立。正确结论：BD+AD=BE-AB 【分析】(1)由三角形内角和计算∠ABC=80°，根据BD是∠ABC的平分线得 ∠DBC=青∠ABC=40·=∠ACB,从而△BCD为等腰三角形得证； (2)在AC上截取AF=AB,连接EF,证明△ABE兰△AFE(SAS)得 BE=EF,∠ABE=∠AFE=80·,证得EF=FC,即可证明结论： (3)在BE上截取BF=AB,连接AF,根据∠ABC=80°，∠AFB+∠BAF=∠ABC得 ∠AFB=∠BAF=40°，证明∠EAF=∠AEF,得AF=EF,根据等腰三角形的判定得 AF=AC=EF,最后根据线段间的数量关系得出结论即可 【详解】(1)证明：：△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°， :∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-60°-40°=80°， :BD是∠ABC的平分线， :∠DBC=克∠ABC=40°， ·∠DBC=∠ACB, ·△BCD为等腰三角形； (2)解：如图，在AC上截取AF=AB,连接EF, :△BCD为等腰三角形， :BD=CD, :BD+AD CD +AD=AC, :AE平分∠BAC, ∠EAB=∠EAF, AE=AE :△ABE≌△AFE(SAS), BE=EF,∠ABE=∠AFE=80°， ∴∠FEC=∠AFE-∠ACB=40°， ·.∠FEC=∠ACB, :EF=FC, .AB+BE=AF+FC=AC, .BD十AD=AB+BE; (3)解：探究(2)中的结论不成立，正确结论：BD+AD=BE-AB,理由如下： 如图，在BE上截取BF=AB,连接AF, H E F B :∠ABC=80°，∠AFB+∠BAF=∠ABC, :∠AFB=∠BAF=号X80°=40°， :∠BAC=60°， ∠HAB=180°-∠BAC=120°， :AE平分∠HAB, ∠EAB=∠HAB=号×120°=60°， ∠EAF=EAB-∠BAF=60·-40°=20°， :∠AEF=∠ABC-∠EAB=20°， .∠EAF=∠AEF, AF=EF :∠AFC=∠ACB=40°， :AF=AC=EF, :BE-AB=BE-BF-EF-AD+CD-AD+BD, 即BD+AD=BE-AB 19.(1)见解析 (2)∠BPD=60o 3)BD=2W5 【分析】(1)证明△ABD兰△ACE(SAS),得出BD=CE即可； (2)证明△ADC≌△ABE(SAS),得出∠ADC=∠ABE,根据 ∠BPD十∠ABE=∠BAD十∠ADC,即可得出答案： (3)过点A作AE⊥AD,取AE=AD=2,连接DE,CB,根据勾股定理得出 DE=NAD2+AB2=V2AD=2W2,根据等腰三角形的性质得出 ∠ADE=∠AED=(180°-90°)=45°，再证明∠CDE=90°，根据勾股定理求 出CE=VDE2+CD2-J(2V2)2+22=25,证明△BAD兰△CAE(SAS),即可 得出答案。 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠DAE, ∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS), :BD=CE (2)解：“△ABD和△ACE都是等边三角形， AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°， ∠BAD十∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, 在△ADC和△ABE中， AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE .△ADC≌△ABE(SAS), .∠ADC=∠ABE :∠BPD十∠ABE=∠BAD+∠ADC, ∠BPD=∠BAD=600. (3)解：如图，过点A作AE⊥AD,取AE=AD=2,连接DE,CE, D B 则∠DAE=90°， :DE=NAD2+AE2=V2AD=2W2,∠ADE=∠AED=(180°-90°)=45°， :∠ADC=45°， ∠CDE=∠ADC+∠ADE=45°十45°=90°， CE=VDE2+CD2=(2V2)+22=2V3. :∠BAC=∠DAE=90°， ·∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB-AC ∠BAD=∠CAE AD-AE △BAD≌△CAE(SAS), ·BD=CE=25. 20.(1)证明过程见解析： (2)BD=AD-CE,理由见解析； (3)BD-CE-AD. 【分析】(1)在CA延长线上截取AK=CE,连接BK,证明△BAK兰△ACE(SAS), 可得∠K=∠E,∠ABK=∠CAE,设∠ABG=2,可得∠DBK=∠K=30°十a,可 得DB=DK=DA十AK,即可证得结论； (2)在AD上截取AF=CE,连接BF,证明△BAF≌△ACE(SAS),可得 ∠ABF=∠CAE,设∠ABG=23,可得∠DBF=∠DFB=B+30°，可得 DB=DK=DA十AK,即可得线段BD,AD,CE之间的数量关系； (3)在CA延长线上截取AP=CE,证明△BAP兰△ACE(SAS),可得∠P=∠E, 设∠ABG=2Y,可得∠DBP=∠P=30°-Y,可得BD=DP=AP-AD,即可得线 段BD,AD,CE之间的数量关系 【详解】(1)证明：在CA延长线上截取AK=CE,连接BK, :△ABC为等边三角形， AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60o, .∠BAK=ACE, 在△BAK和△ACE中， AK=CE ∠BAK=∠ACE BA=AC △BAK≌△ACE(SAS), ·∠K=∠E,∠ABK=∠CAE, BG=BC,AB=BC, BG=BA, 设∠ABG=2&,则∠BAG=∠BGA=专(180°-2a)=90°-， ∠GBE=60°-2， .∠E=90°--(60°-2a)=30°+a,∠CAE=90°-x-60°=30°-， ∠K=30°十x,∠ABK=30°-， ∴∠DBK=∠ABK十∠ABD=30°-a+2a=30°+， ∠DBK=∠K, DB=DK=DA十AK, ∴BD=AD+CE (2)解：BD=AD-CE 理由如下： 在AD上截取AF=CE,连接BF, :△ABC为等边三角形， AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=600, 在△BAF和△ACE中， AF=CE ∠BAF=∠ACE BA-AC .△BAF≌△ACE(SAS), .∠ABF=∠CAE, BG=BC,AB=BC, ∴BG=BA, 设∠ABG=2B,则∠BAG=∠BGA=号(180·-2B)=90°-B, ∠CAE=60°-(90°-F)=B-30°， .∠ABF=B-30°， .∠DBF=ABD-∠ABF=23-(B-30°)=B+30°， ∠DFB=∠ABF+∠BAF=60°+(B-30°)=B+30° ∠DBF=∠DFB, :DB=DF=AD-AF, :BD=AD-CE. (3)解：BD=CE-AD. 理由如下： 在CA延长线上截取AP=CE, GA :△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60o, ∠BAP=∠ACE, 在△BAP和△ACE中， AP=CE ∠BAP=∠ACE BA-AC △BAP≌△ACE(SAS), ∴∠P=∠E, BG=BC,AB=BC, BG=BA, 设∠ABG=2Y,则∠BAG=∠BGA=专(180·-2Y)=90·-Y, ∠BDC=60°-2Y, ∠E=∠BAG-∠ABE=90°-Y-60°=30°-Y, ∠P=30°-Y, ∴∠DBP=∠BDC-∠P=60°-2y-(30°-Y)=30°-Y, ∠DBP=∠P, :BD=DP=AP-AD, :BD=CE-AD