湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年下学期高二6月检测数学试卷

**基本信息** 本卷聚焦数列、概率统计、函数导数等核心知识，通过联考成绩分析、投篮比赛等现实情境设计问题，分层覆盖基础运算与创新探究，考察数学抽象、逻辑推理及数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|等差数列求和、分布列期望、正态分布应用|第4题结合联考成绩正态分布，体现数据观念| |填空题|3/15|等差数列通项、正态分布性质、不等式恒成立|第14题通过函数单调性求参数范围，考察逻辑推理| |解答题|5/77|数列求和、函数极值、独立性检验、新定义证明|第17题列联表与分层抽样概率综合，第19题“好函数”证明，突出创新应用|

衡阳县四中2025-2026年下学期高二6月检测卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1．在等差数列中，为其前n项的和，若，，则( ) A.36 B.48 C.72 D.108 2．随机变量X的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量Y的数学期望( ) X 0 1 2 P a A. B. C.1 D. 3．已知，，则a，b，c的大小关系为( ) A. B. C. D. 4．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为( ) A.1600 B.1800 C.2100 D.2700 5．某同学喜爱球类和游泳运动.在暑假期间，该同学上午去打球的概率为.若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为( ) A. B. C. D. 6．已知直线是函数在某点处的切线，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C. D. 7．已知在数列中，，，，则中的最大项是( ) A. B. C. D. 8．函数在区间的值域为，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有( ) A.经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中 B.对于经验回归直线，x增加一个单位，平均增加个单位 C.残差平方和越小，模型的拟合效果越差 D.若相关系数，则y与x的相关程度很强 10．已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则( ) A. B. C. D.在上单调递减 11．已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知等差数列满足，，则通项公式为_____________. 13．设随机变量X服从正态分布，且，若，则________. 14．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列的前n项和满足，数列是公差为1的等差数列，. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16．（15分）已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 17．（15分）某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 18．（17分）某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于2分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 19．（17分）定义在区间D上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是D上的“好函数”. （1）若是上的“好函数”，求a的取值范围. （2）（ⅰ）证明：是上的“好函数”. （ⅱ）设，证明：. 答案及解析 1．答案：C 解析：在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：C. 2．答案：A 解析：由题意， 故， 而，从而. 故选：A 3．答案：D 解析：，，.设，则， 当时，，所以在上为减函数，又， 所以，即. 故选：D. 4．答案：D 解析：由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为. 故选:D. 5．答案：A 解析：设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以，所以. 故选:A. 6．答案：D 解析：由题可得，设切点坐标为， 则，所以，，，故D正确. 故选：D. 7．答案：B 解析：记，由题意得， 整理可得， 得，即， 又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为. 故选：B. 8．答案：B 解析：易知在上是增函数， 所以数在区间的值域为， 又值域为，所以， 有两个不等的实根， 记（），则， 设，则，所以是增函数，又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，而时，，时，， 所以， 故选:B. 9．答案：AB 解析：A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选项正确； B选项，由及回归直线的性质，x增加一个单位，平均增加个单位，B选项正确； C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误； D选项，相关系数的绝对值接近1时，才可以说y与x的相关程度很强， 但很明显和1的偏差很大，因此y与x的相关程度不强，D选项错误. 故选：AB 10．答案：ABD 解析：由题意得. 由图可知有3个零点，则，令，得或或. 当时，，若，则，不符合题意. 当时，，则或时，， 当或时，符合题意，A，B正确. 由图可知，，得，C错误. 因为当时，，所以在上单调递减，D正确. 故选：ABD. 11．答案：ABD 解析：对于A，由，因， 可得，，故A正确； 对于B，当，时， （*）， 因，则， 故由（*）可得，则， 即数列为公差为1的等差数列， 则有，可得，故B正确； 对于C，由， 可得， 上面两式相减可得， 可得，故C错误； 对于D，由，，可得：， 则 ，故D正确. 故选：ABD. 12．答案： 解析：设等差数列的公差为d，，， 所以，解得，所以. 故答案为： 13．答案：0.5/ 解析：已知随机变量X服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称. 因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与a关于对称轴对称. 已知3.5与a关于对称，所以，可得：，移项可得：. 故答案为：0.5. 14．答案： 解析：因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增，由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，从而，解得. 综上所述，a的取值范围为.故答案为：. 15．答案：(1)，(2) 解析：(1)因为，所以， 当时，， 由于满足，所以的通项公式为， 因为数列是公差为-1的等差数列，， 所以，所以； (2)因为， 所以. 16．答案：(1)(2) 解析：（1），则有， 解得，即； （2）由，， 由在区间上单调递增，故当时，， 令，解得或， 故或， 对，该不等式组无解，对，解得， 综上所述，. 17．答案：(1)有关(2) 解析：(1)零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为客户对该产品的评价结果与性别有关. (2)由题意得抽取的8人中，男性人数为， 女性人数为. 当3人中有2名女性和1名男性时，， 当3人全部为女性时，， 则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 18．答案：(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)甲获胜的可能性更大，理由见解析. 解析：(1)设甲选择方式一参加比赛的得分为X， ， ， 设甲得分不低于2分为事件A， 则； (2)设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6， ， ， ， ， 所以Y的分布列为： Y 0 2 4 6 P 所以； (3)甲胜出的可能性更大，理由如下： 甲获胜的情况有： ①甲1分、乙0分，②甲3分、乙0分，③甲3分、乙0分，④甲3分、乙2分， 所以甲获胜的概率为： ， 乙获胜的情况有： ①甲0分、乙2分，②甲1分、乙2分，③乙4分，④乙+分， 所以乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜的可能性更大. 19．答案：（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 解析：（1）由题可知任意，且，， 即，解得. 因为，所以，即a的取值范围为. （2）（ⅰ）证明：设， 则. 令，且，，， 则，则在上单调递增， 所以，即， 所以是上的“好函数”. （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，， 令，，，则， 即. 故， 化简可得. 学科网（北京）股份有限公司 $