湖南衡阳县第四中学2025-2026学年高二下学期数学开学摸底检测试题

高二开学摸底检测 数学分值：150 分 时间：120 分钟 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1.已知双曲线的实轴长为6，则该双曲线的离心率( ) A. B. C. D. 2.当时，直线恒过的定点是( ) A. B. C. D. 3.已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为( ) A. B. C. D. 4.圆0与圆的位置关系是( ) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 5.已知等比数列的前n项和为，若，则( ) A. B. C. D. 6.已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则( ) A.7 B.9 C.15 D.20 7.已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 8.已知圆，点，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有( ) A. B. C. D. 10.下列条件中，一定使点P与A，B，C三点共面的是( ) A. B. C. D. 11.已知点在抛物线（）上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线的准线方程为 B.抛物线的焦点坐标为 C.点B的坐标为 D.的面积为8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线经过抛物线的焦点，则______________. 13.已知椭圆的左顶点与左焦点分别为点A，F，下顶点为点B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为_______________. 14.已知数列的前n项和为，则的通项公式为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点. （1）求直线CD的方程； （2）求过点A且与直线DE垂直的直线. 16.（14分）已知等差数列中，，. （1）求的值； （2）若数列满足，证明：数列是等差数列. 17.（15分）如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，侧面是矩形，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值. 18.（17分）已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求使得的n的最小值. 19.（18分）已知椭圆的离心率为. （1）求椭圆E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二开学摸底检测 数学 答案及解析 1.答案：C 解析：由题意知，可化为， 由双曲线的实轴长为6得，所以，所以双曲线的离心率. 2.答案：B 解析：直线方程可化为，依题意得解得故直线恒过定点.故选B. 3.答案：D 解析：由得圆的标准方程为，所以该圆的圆心坐标为，半径，又直线与圆相交所得的弦的长度为2，则圆心到直线的距离，即，解得.故选D. 4.答案：D 解析：圆的标准方程，圆心为，半径为，圆，圆心为，半径为，则，因为，，，故圆和圆的位置关系是外离. 故选D. 5.答案：B 解析：等比数列中依次k项之和成等比数列，即，，，成等比数列， ，，，令，得，，，故选B. 6.答案：C 解析：设等比数列的公比为q，依题意有，又， 当时，，故舍去， 当时，因为，所以， 化简得，即，所以， 故，故选C. 7.答案：B 解析：依题意，即，假设等差数列的首项为， 公差为d，则，解得， 故选：B. 8.答案：C 解析：由题意得，则， 故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 其中，，， 点P的轨迹方程是，故选C. 9.答案：AD 解析：对于A，设，则，由， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，由，所以点不在平面内，故B错误； 对于C，设，则，由，所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则，由，所以点在平面内，故D正确.故选：AD. 10.答案：AB 解析：对于A，，， ， 故，故A，B，C三点共线，故P，A，B，C四点共面（或由得，，，为共面向量，故P，A，B，C四点共面）； 对于B，由于，所以P，A，B，C四点共面；对于C，D，显然不满足，故C，D错误.故选AB. 11.答案：ABD 解析：将的坐标代入抛物线方程，得，因此抛物线的方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确.易知轴，所以，故C错误.易得，所以，故D正确.选ABD. 12.答案：16 解析：由题可知抛物线E的焦点在y轴上， 对于，令，得，故，得. 13.答案： 解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可知，，， 因为，则，两边平方得， 则，整理可得，所以椭圆C的离心率. 14.答案： 解析：由已知得当时，，又当时，，所以的通项公式为 15.答案：（1） （2） 解析：（1）在平行四边形ABCD中，，，，则，则点， 直线CD的斜率，则有，即， 所以直线CD的方程是. （2）依题意，点，则直线DE的斜率， 因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即， 所以所求方程是. 16.答案：（1）12 （2）证明见解析 解析：（1）设等差数列的公差为d. 因为， 所以，即. 因为，又，所以， 所以. （2）由（1）可知，所以. 因为， 所以数列是等差数列. 17.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：因为底面ABCD为正方形和侧面是矩形， 所以，， 又，平面，所以平面. 又平面， 所以. （2）过点作于E，因为， 由（1）得平面， 又平面，所以， 又，平面ABCD， 所以平面ABCD. 过点E作交AB于F， 以E为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，因为平面， 所以由三棱锥的体积为3，得三棱锥的体积为3， 即三棱锥的体积为3，即，得. 由，， 得，， 则，，，，， ，，，. 设平面的法向量为， 由可得 令，可得，， 所以. 设平面的法向量为， 由可得 令，可得， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 18.答案：（1） （2）4 解析：（1）由于，，故， 解得，所以. （2）由（1）知， 所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列， 所以. 由，得， 即， 则或， 又因为，所以n的最小值为4. 19.答案：（1） （2） 解析：（1）设椭圆E的半焦距为c，则解得， 故椭圆E的方程为. （2）当直线的斜率为0时，，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立消去x，得， 显然，设，，则，， 所以 ， 即，可得（舍）或，故， 故直线，故点O到直线的距离， 故的面积. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $