精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题

衡阳县四中2024-2025学年下学期高二第一次月考卷 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是纯虚数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是 A. B. C. D. 5. 如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该名同学测试得分的上四分位数为（ ） A. 82.5 B. 81 C. 80 D. 79.5 7. 设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ） A 60 B. 70 C. 75 D. 85 8. 椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度 11. 已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B. 若双曲线的通径长为2，则 C. 若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D. 若点在双曲线上，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线被圆截得的最短弦长为，则______． 13. 过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率______． 14. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为_______m．（，结果精确到0.1） 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列满足． （1）若，求证：为等差数列； （2）求数列的前项和． 16. 在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）已知圆方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 17. 已知椭圆经过点，其右焦点为. （1）求椭圆离心率； （2）若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 18. 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，． （1）求证：面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知正项数列的前项和为.若. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县四中2024-2025学年下学期高二第一次月考卷 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 2. 若复数是纯虚数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件. 故选：C 3. 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得圆台的高，再由圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则高为，如下图所示： 则圆台的体积为. 故选：A. 4. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半， 原高 而横向长度不变，且梯形是直角梯形， 故选 5. 如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质，结合正方体的对角线长公式、棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】因为底面底面，所以. 又因为，所以，而，所以三条互相垂直且共顶点棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为， 因为，所以. 因为， 所以，故为等边三角形， 由三棱锥的体积公式可得 ， 三棱锥的内切球半径与外接球半径的和为， 故选：D 6. 某校为了宣传青少年身心健康的重要性，随机抽查了高一、高二、高三的名同学进行了跑步测试，按照最终测试成绩的分数进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，估计该名同学测试得分的上四分位数为（ ） A. 82.5 B. 81 C. 80 D. 79.5 【答案】A 【解析】 【分析】利用上四分位数的定义结合频率分布直方图的性质求解即可. 【详解】因为, , 所以上四分位数位于内，且设其为， 故， 解得，故A正确. 故选：A 7. 设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ） A. 60 B. 70 C. 75 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果. 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 8. 椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意的周长，可得，结合，即得解. 【详解】由题意的周长， 解得，故. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知数列满足，（），的前项和为，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用构造法判断得是等比数列，进而利用等比数列的通项公式与求和公式，结合分组求和法即可得解. 【详解】对于AB，因为数列中，，（）， 则，， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确； 对于C，，即有，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱角中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. P在BC中点时，平面平面GMN B. E、F、G、M、N在同一个球面上 C. 异面直线EF、GN所成角的余弦值为 D. ，则P点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体图形特征证明平面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据五点共圆得到B；根据异面直线所成的角判断C错误；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易得，平面， 因平面，则， 又平面，， 故平面，因平面，故①， 连接，是正方形，， 因平面，平面，则， 因平面，， 故平面，又平面，则②， 因平面，又， 由① ，②可得平面，又平面，故平面平面，故A正确； 对于B：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故B正确； 对于C：取的中点，连接，则， 所以或其补角是异面直线所成的角， 又，则，故C错误； 对于D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题主要考查与正方体有关平面位置关系判断，异面直线所成角以及动点轨迹长度有关问题，属于较难题. （1）求异面直线所成的角时，常将其转化为与其中一条平行且与另一条直线相交所成的角，利用解三角形求解； （2）证明面面垂直时，通常由线面垂直证面面垂直； （3）证明多点在一个球面问题时，常设法寻找球心，证其到各点距离相等得到. 11. 已知双曲线的左，右焦点分别是，下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 B. 若双曲线的通径长为2，则 C. 若是双曲线与以为直径的圆的交点，则的面积为2 D. 若点在双曲线上，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】在双曲线中，. 若离心率，则，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，A正确． 将代入，得， 又，所以，解得． 由题意得，解得，B正确．由题意，得． 不妨设点在第一象限，，则， 所以，解得，所以的面积，C正确． 因为点在双曲线上，所以，解得． 因为点在第一象限，所以，D错误． 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线被圆截得的最短弦长为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长，计算即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径， 过定点 则圆心到直线的距离为， 可得截得弦长为， 弦长取得最小值时，. 故答案为：. 13. 过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解. 【详解】设, 则，相减可得， 故答案为： 14. 如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为_______m．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8 【解析】 【分析】分别在两个直角三角形中，利用三角函数求得和,再求和即可. 【详解】根据题意得，在中，，, 在中，,, . 故答案为：13.8 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知数列满足． （1）若，求证：为等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取倒数，即可根据等差数列的定义求证， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 即 因为，所以． 又因为， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以． 所以 16. 在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【小问1详解】 因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 , 则由，解得， ∴圆心，半径 ∴圆的方程为； 【小问2详解】 由圆得： ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 17. 已知椭圆经过点，其右焦点为. （1）求椭圆的离心率； （2）若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合焦点坐标及椭圆上的点列式求解，进而求解椭圆方程及离心率. （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和及两根之积，由直线与的斜率之积，可得参数关系，即可求解直线恒过的定点坐标，得证. 【小问1详解】 依题可得，，解得， 所以椭圆的方程为.所以离心率. 【小问2详解】 由（1）知，易知直线与的斜率存在且同号，所以直线不垂直于轴， 故可设， 由可得，， 所以， ，而，即， 化简可得， 即， 即， 化简得，所以或， 所以直线或， 因为直线不经过点A，所以直线经过定点. 18. 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，． （1）求证：面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，即可得到，从而得到平面，即可证明，再证明面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 所以，，，，， 则，所以，又，即，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知正项数列的前项和为.若. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等差数列的定义证得数列是等差数列； （2）利用裂项求和法来求得. 【小问1详解】 由题意，得，则， 因为是正项数列，则，所以， 由可得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 依题意，得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$