精品解析：广东江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

广东省江门市鹤山市鹤华中学2025－2026学年高二下学期期中 考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 2. 在等差数列中，若其前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质及可求a5，代入等差数列的求和公式9a5可求 【详解】由等差数列的性质可得 ∴a5＝5 45 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m+n＝p+q，则am+an＝ap+aq）的应用，等差数列的求和公式的应用，属于基础试题 3. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. 448 B. 900 C. 1120 D. 1792 【答案】C 【解析】 【分析】 求出二项展开式的通项，令的指数为，即可求解. 【详解】该二项展开式通项为， 令，则，常数项等于. 故选：C. 【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记二项展开式通项即可，属于基础题. 4. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件可求得的值，进而可求得，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由于，，成等差数列，则，即， 因为，整理得，即， ，解得， 因此，. 故选：A . 5. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数为，进而即可求出. 【详解】因为，所以， 所以，解得 故选：B. 6. 已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ） A. 80 B. 208 C. 680 D. 780 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出等差数列的首项，可得到通项公式以及前项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为，代入计算即可得到答案. 【详解】因为，即，解得， 所以，前项和， 所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数， 所以 . 故选：B． 7. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，当时，或， 因为极大值点是，所以，并且， 当时，当时，，当时，， 所以是极大值点，即，解得. 8. 已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得. 【详解】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数 的极值的定义即可求解. 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：BC. 10. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，利用全排列求出答案；B选项，捆绑法进行求解；C选项，插空法进行求解；D选项，先将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，再将剩余的书和位置进行全排列. 【详解】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法，A错误； B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书， 进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，B正确； C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书互相之间有4个空， 将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，C正确； D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法， 再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法， 故四大名著不放在两端的不同放法有种，D错误. 故选：ABC 11. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列是递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列下标的性质进行求解即可. 【详解】解析：因为等比数列的各项均为正数，且， 所以 ， 故答案为： 13. 的展开式中，含项的系数为，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题可得：展开式中含项的系数为：， 可得，解得. 14. 年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【详解】根据题意，名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸， 则可分为和两类， 第一类，按分组，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法； 第二类，按，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则2人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法， 则不同的分配方法共有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在及处取得极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）在上的最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求； （2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值. 【小问1详解】 ，因为在及处取得极值， 故有两个解及，故，故， 此时， 当或时，；当时，， 故在及处取得极值，符合题设，故. 【小问2详解】 由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，而，， ，. 故在上的最大值为，最小值为. 16. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 17. 某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元. （1）求的解析式. （2）试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值. 【答案】（1） （2）对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出a，b，由 即可得出； （2）设，求出函数 的导函数 ，利用导函数判断函数 的单调性，进而求出的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元， 则，解得. 设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元， 则解得. 故. 【小问2详解】 设，. 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则. 故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元， 才能使总收益取得最大值453.6万元. 18. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，若数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，再根据裂项相消求出，结合其单调性即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 因为，所以， 结合以上递推关系可知，，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知， 由得， 所以 因为得，数列为单调递增数列， 所以， 所以. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）； （2） 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，再按分类求出函数的单调区间. （3）由（2）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门市鹤山市鹤华中学2025－2026学年高二下学期期中 考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2. 在等差数列中，若其前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. 448 B. 900 C. 1120 D. 1792 4. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则 （ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ） A. 80 B. 208 C. 680 D. 780 7. 已知函数在处有极大值，则实数c的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（ ） A. 在区间上是增函数 B. 是的极小值点 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 是的极小值点 10. 将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（ ） A. 戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B. 诗集相邻的不同放法有种 C. 四大名著互不相邻的不同放法有种 D. 四大名著不放在两端的不同放法有种 11. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则___________. 13. 的展开式中，含项的系数为，则______. 14. 年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，在及处取得极值. （1）求的值； （2）求函数在上的最大值与最小值. 16. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元. （1）求的解析式. （2）试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值. 18. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，若数列的前项和为，求证：. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $