解三角形期末复习巩固提升训练（三）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦解三角形核心知识，通过分层题型系统覆盖正弦定理、余弦定理及面积公式的应用，强化实际问题建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本公式应用|单选3题|已知边角求角、外接圆直径、面积计算|正弦定理与余弦定理的直接应用，体现边边角关系推导| |实际应用|单选1题+填空1题|航海方位角、建筑高度测量|将实际问题抽象为三角形模型，强化几何直观与空间观念| |概念辨析|多选2题|三角形性质判断（锐角/等腰、解的个数）|通过命题判断深化定理适用条件，培养推理意识| |综合解答|解答2题|边角关系综合应用、向量与解三角形结合|融合代数运算与几何推理，提升数学语言表达与模型意识|

【期末专项训练】 2026年高一数学下学期解三角形期末复习巩固提升训练（三) （人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 asina-bsinB=2 csinC,cosA= 子则器() A.4 B.3 C.2 D.1 2.海上某货轮在A处看灯塔B和灯塔C,灯塔B在货轮北偏东75方向，距离为30v6海 里处，灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为203海里处，货轮由A处向正北方向航 行到D处，此时灯塔B在货轮的南偏东0°方向上，则C与D之间的距离为() A.24V3海里 B.20v3海里C.206海里 D.24y6海里 3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=√3，B=30°， S.ABC=√3，则△ABC的外接圆的直径为() A.V3 B.2V3 C.2V7 D.V7 4在△ABC中，若∠A=60°，b=2,其面积为2W3,则b=() sinA+sinB+sinC A.1 B.2 C.3 D.4 第1页，共3页 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在△ABC中，sim=BC=1,AC=5,则() A.cosC=月 B.AB=V31 C.△ABC的面积为√3 D.△ABC外接圆的直径是V7 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是() A.“△ABC为锐角三角形”是sinA>cosB的充分不必要条件 B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.命题若A>B,则sinA>sinB是真命题 D.若a=8,c=10,B=则符合条件的△ABC有两个 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7阅江楼，地处江苏省南京市，始建于明朝洪武七年，为中国十大历史文化名楼之一， 典型的明代皇家建筑风格，主楼共七层，为了测量主楼的高度，如图，选取了与阅江楼 主楼底部D在同一水平面上的A,B两点，测得AB=52米， ∠CAD=45°，∠CBD=30°，∠ADB=30°，则阅江楼主楼的高度CD是米. D 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若b=6,a=2c,B=受，则△ABC的面 积为 第2页，共3页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2WI0,c=4,cosB=- (1)求simC的值： (2)求·ABC的面积. 10.(本小题14分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(3sinC,-cosA),i= (a,c,且m1i. (1)求A, (2)若△ABC的面积为V3,且b2+c2=2v3bc,求a. 第3页，共3页【期末专项训练】 2026年高一数学下学期解三角形期末复习巩固提升训练（三) (人教版B版必修四第九章) (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 asina-bsinB=2 csinC, coA=子则器() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题， 直接利用正弦定理角化边得到2a:-b2=2c,再用cosA==化简即可得到 2bc ：=1,进而求出结果， 【解答】 解：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 asinA-bsinB=2 csinC,利 用正弦定理2a2-b2=2c2①， coA--2,由02化简得-1，所以二-日=1. 2bc sinc c 故选D. 第1页，共7页 2.海上某货轮在A处看灯塔B和灯塔C,灯塔B在货轮北偏东75°方向，距离为30v6海 里处，灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为20V3海里处，货轮由A处向正北方向航 行到D处，此时灯塔B在货轮的南偏东60°方向上，则C与D之间的距离为() A.24vV3海里 B.20v3海里C.20V6海里D.24y6海里 【答案】B 【解析】由题意可知，在△ABD中，∠DAB=75°，∠ADB=60°，AB=30W6,则 ∠ABD=45°， m2ABD2ADB银即0=30 由正弦定理得AD AB sn45°sin60° ,解得AD=60 在△ACD中，AD=60,AC=20V3,∠CAD=30°， 由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADc0S∠CAD=1200+3600-2×20W3×60× 5=1200, 所以CD=20W3,即C与D之间的距离为20V3海里. 北 D 60 3075 3.己知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=√3，B=30°， S·ABC=V3,则△ABC的外接圆的直径为() A.V3 B.2V3 C.2W7 D.7 【答案】C 【解析】解：S△ABc=V3, acsinB=√3， “×V3×cx号=V3, c=4. .b2 a2+c2-2accosB, 第2页，共7页 b2=(W3+42-2×V3×4×5=7, b=√7， 设△ABC的外接圆半径为R. “=2R, =2W7. ·2R=7 4.在△ABC中，若乙A=60°，b=2,其面积为2W3,则++c smA+sinB+snc=(） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 1.求边c的值：由三角形面积公式S=besinA,代入已知条件S=2W3,b=2,∠A= 60(sin60°=写)，得： 2V3=×2×c×化简得：2V3=5c,解得c=4。 2.求边a的值：由余弦定理a2=b+c2-2 bccosA,代入b=2,c=4,cos60°=号得： a2=2+42-2×2×4×2 =4+16-8=12 解得a=2v√3（边长为正数）。 3利用正弦定理求比值：由正弦定理a=6=·=2R(R为外接圆半径)，得 sinA sinB sinC a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 因此： a+b+c 2R(sinA sinB+sinC) =2R sinA+sinB+sinC sinA sinB+sinC 又2R=a=25-23 =4。 sinA sin6o°V3 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5在△ABC中，im-BC-1,AC-5,则() A.cosC B.AB=V31 C.△ABC的面积为V了 D.△ABC外接圆的直径是V7 【答案】AC 第3页，共7页 【解析】解：对于A,oC-1-2sn2号-1-2×可知A项正确： 对于B,根据A项的结论，可得cosC= 由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25-2×5×号=21，解得AB= √2I,故B项错误； 对于C,由于在△ABC中，C∈(0，)，可得sinC>0, 所以smC=V1-osC-1--9 SARBG-BC,ACsinC-×5x9-9,故C 2 项正确： 对于D,设△ABC外接圆半径为R,则2R=g=四=2V万，故D项错误 sinc√3 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是() A.“△ABC为锐角三角形”是siA>cosB的充分不必要条件 B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.命题若A>B,则siA>sinB”是真命题 D.若a=8,c=10,B=则符合条件的△ABC有两个 【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于基础题， 由正弦定理与余弦定理，结合诱导公式、充分条件与必要条件的定义等，依次分析即 可 【解答】 解：若△ABC为锐角三角形，则AE(O,),BE(O,),且A+B>,即A>5-B,又 AE(O,),5-BE(O,),则sinA>sin(5-B)=cosB:反之，若B为纯角，满足 sinA>cosB,不能推出△ABC为锐角三角形，故A正确： 由sin2A=sin2B,得2A=2B或2A+2B=m,即A=B或A+B=5,所以△ABC为等 腰三角形或直角三角形，故B错误： 若A≥B,则a≥b,由正弦定理得品品即simA>inB成立，故C正确， 根据余弦定理得b2=a2+c2-2 accosB,即b2=82+102-2×8×10×号=84，所以b= 第4页，共7页 2V2I,符合条件的△ABC只有一个，故D错误. 故选AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7阅江楼，地处江苏省南京市，始建于明朝洪武七年，为中国十大历史文化名楼之一， 典型的明代皇家建筑风格，主楼共七层，为了测量主楼的高度，如图，选取了与阅江楼 主楼底部D在同一水平面上的A,B两点，测得AB=52 米，∠CAD=45°，∠CBD=30°，∠ADB=30°，则阅江楼主楼的高度CD是米 【答案】52 【解析】【分析】 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的运用，属于基础题， 由已知可得CD=AD,DB=V3CD,在△ADB中由余弦定理得：AB= VAD2+BD2-2 AD.BDc0s30°可得CD. 【解答】 解：依题意，CDI平面ABD,又BD,AD∈平面ABD, 所以CD I AD,CD 1 BD, 又因为∠CAD=45°， 所以DA=DC, 因为∠CBD=30°， 所以DB=CD=V3CD, tan30° 在△ADB中，∠ADB=30°，AB=52米，由余弦定理可得： AB=VAD2+BD2-2AD-BDcos30°=」 CD2+3CD2-23CD2 x=CD=52. 故阅江楼主楼的高度CD是52米. 故答案为52. 第5页，共7页 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面 积为 【答案】 【解析】解：由余弦定理，有b2=a+c2-2 accosB, b=6,a=2c,B=2 31 36=4c2+c2-4c(-), c2=36 a=1 7 SAABc-acsinB-lv3 故答案为：18W 7 由余弦定理可得关于c的方程，解出c得到a,由面积公式S△ABc=acsinB求出面积. 本题考了余弦定理和三角形的面积公式，考查了运算能力，属基础题 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2V10,c=4,cosB=- (1)求sinC的值： (2)求·ABC的面积. 【答案】解：()在△ABC中，cosB=-子 mB=V1-co年-1-(-少=四 :b=2y10,c=4, 由正弦定理。一 :=得V10一4 区 sinc' ·sinC=V6 (2)由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B, 得40=a2+16-2×4a×(-), a2+2a-24=0,解得a=4或a=-6(舍). 第6页，共7页 ·S△ABc=)acsinB 1 V15 =2×4×4× 4 =2v15, 10.(本小题14分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(V3sinC,-cosA),i= (a,c),且m1五. (1)求A: (2)若△ABC的面积为V3,且b2+c2=2V3bc,求a. 【答案】解：(1)由题意知，m·五=V3 asinC-ccosA=0, 由正弦定理得V3 sinAsinC-sinCcosA=0, 因为0<C<π， 所以sinC≠0， 则V3sinA-cosA=0,即taA=5 又0<A<π， 所以A=君 (2)因为△ABC的面积为S=besinA=bc=V3,解得bc=4V3, 所以b2+c2-2W3bc=24, 由余弦定理得a2=b2+c2-√3bc=12, 所以a=2√3. 第7页，共7页 【期末专项训练】 2026年高一数学下学期解三角形期末复习巩固提升训练（三） （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的内角，，的对边分别为，，，已知， ，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 直接利用正弦定理角化边得到，再用化简即可得到，进而求出结果． 【解答】 解：的内角，，的对边分别为，，，已知，利用正弦定理， ，由化简得 ，所以． 故选D． 2.海上某货轮在处看灯塔和灯塔，灯塔在货轮北偏东方向，距离为海里处，灯塔在货轮的北偏西方向，距离为海里处，货轮由处向正北方向航行到处，此时灯塔在货轮的南偏东方向上，则与之间的距离为(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B  【解析】由题意可知，在中，，，，则， 由正弦定理得，即，解得． 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，即与之间的距离为海里． 3.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的外接圆的直径为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， ， ， ． ， ， ， 设的外接圆半径为． ， ． 4.在中，若，，其面积为，则     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】 求边的值：由三角形面积公式，代入已知条件，，，得： 化简得：，解得。 求边的值：由余弦定理，代入，，，得： 解得边长为正数。 利用正弦定理求比值：由正弦定理为外接圆半径，得，，。 因此： 又。 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在中，，，，则(    ) A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 【答案】AC  【解析】解：对于，，可知项正确； 对于，根据项的结论，可得， 由余弦定理得，解得，故B项错误； 对于，由于在中，，可得， 所以，，故C项正确； 对于，设外接圆半径为，则，故D项错误． 6.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是(    ) A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件 B. 若，则为等腰三角形 C. 命题“若，则”是真命题 D. 若，，，则符合条件的有两个 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于基础题． 由正弦定理与余弦定理，结合诱导公式、充分条件与必要条件的定义等，依次分析即可． 【解答】 解：若为锐角三角形，则，，且，即，又，，则；反之，若为钝角，满足，不能推出为锐角三角形，故A正确； 由，得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 若，则，由正弦定理得，即成立，故C正确 根据余弦定理得，即，所以，符合条件的只有一个，故D错误． 故选AC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.阅江楼，地处江苏省南京市，始建于明朝洪武七年，为中国十大历史文化名楼之一，典型的明代皇家建筑风格，主楼共七层，为了测量主楼的高度，如图，选取了与阅江楼主楼底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则阅江楼主楼的高度是          米． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的运用，属于基础题． 由已知可得，，在中由余弦定理得：可得． 【解答】 解：依题意，平面，又平面， 所以，， 又因为， 所以， 因为， 所以， 在中，，米，由余弦定理可得： ． 故阅江楼主楼的高度是米． 故答案为． 8.的内角，，的对边分别为，，若，则的面积为______ 【答案】  【解析】解：由余弦定理，有， ， ， ，， ． 故答案为：． 由余弦定理可得关于的方程，解出得到，由面积公式求出面积． 本题考了余弦定理和三角形的面积公式，考查了运算能力，属基础题． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，，，． 求 的值； 求的面积． 【答案】解：在中，， ． ，， 由正弦定理得， ． 由余弦定理， 得， ，解得或舍． ．  10.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． 求 若的面积为，且，求． 【答案】解：由题意知，， 由正弦定理得， 因为， 所以， 则，即， 又， 所以． 因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得， 所以．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末专项训练】 2026年高一数学下学期解三角形期末复习巩固提升训练（三） （人教版B版必修四第九章） （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的内角，，的对边分别为，，，已知，，则(    ) A. B. C. D. 2.海上某货轮在处看灯塔和灯塔，灯塔在货轮北偏东方向，距离为海里处，灯塔在货轮的北偏西方向，距离为海里处，货轮由处向正北方向航行到处，此时灯塔在货轮的南偏东方向上，则与之间的距离为(    ) A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 3.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，，则的外接圆的直径为(    ) A. B. C. D. 4.在中，若，，其面积为，则     A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在中，，，，则(    ) A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 6.在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是(    ) A. “为锐角三角形”是“”的充分不必要条件 B. 若，则为等腰三角形 C. 命题“若，则”是真命题 D. 若，，，则符合条件的有两个 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.阅江楼，地处江苏省南京市，始建于明朝洪武七年，为中国十大历史文化名楼之一，典型的明代皇家建筑风格，主楼共七层，为了测量主楼的高度，如图，选取了与阅江楼主楼底部在同一水平面上的，两点，测得52米， ，，，则阅江楼主楼的高度是          米． 8.的内角，，的对边分别为，，若，则的面积为______ 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，，，． 求 的值； 求的面积． 10.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． 求 若的面积为，且，求． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $