立体几何初步期末备考专项训练12——空间点、线、面距离问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间点线面距离问题，通过教材回归与分层训练，构建从基础概念到复杂几何体的距离求解体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|3道教材题|点面距、线面距证明|从定义出发，建立距离问题的逻辑起点| |跟踪训练|16题（选择8/多选2/填空3/解答3）|正方体/三棱锥/球体内距离计算、折叠问题中的动态距离|以几何体为载体，实现距离公式从平面到空间的迁移，渗透转化与化归思想|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练12 测试范围：空间点、线、面间距离问题 回归教材： 【人教B版必修四03参考题C组第7题】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离． 【人教A版必修二第6.6.2节例5】已知直线平面，求证：直线上任意两点到平面的距离都相等. 【人教A版必修二第6.6.2节练习第2题P155】已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 跟踪训练： 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．若一条直线平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若直线上有两点到平面的距离相等，则 D．若直线平行于平面内的无数条直线，则 2．正方体中，棱长为2cm，则点与点的距离为（   ） A． B． C．2 D． 3．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为的正方体 中，若E为的中点.则点D到平面AEC的距离为（ ） A. B. C. D. 8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ） A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 10．如图，正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，则下述结论中正确的是（） A．直线到平面的距离为2 B．直线与直线的夹角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．平面截正方体所得截面面积为9 三、填空题 11．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 12．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 13．如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 四、解答题 14．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 15．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练12 测试范围：空间点面距离问题 回归教材： 1．【人教B版必修四03参考题C组第7题】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离． 【答案】 【详解】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示， PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a， 则， 由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力 【人教A版必修二第6.6.2节例5】已知直线平面，求证：直线上任意两点到平面的距离都相等. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质定理推得与确定平面，再利用线面平行的性质定理推得四边形为平行四边形，进而得到，从而得证. 【详解】在直线上任取两点A、B，过作，垂足为，过作，垂足为， 则，则与确定平面，因为直线平面，则平面，又平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，则，又，，即为到平面的距离，所以直线上任意两点到平面的距离都相等. 【人教A版必修二第6.6.2节练习第2题P155】已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 【答案】证明见解析 【分析】欲证直线，即在平面中找出一条直线平行于即可，适当构造辅助线即可得到。 【详解】证明：如图，作，，垂足分别为，则， 又，∴四边形为平行四边形.又平面，平面.. 【点睛】本题考查了线面平行的问题，要证明线面平行，必须满足两个条件，第一：线线平行；第二：直线在平面外，缺一不可。 跟踪训练： 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．若一条直线平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若直线上有两点到平面的距离相等，则 D．若直线平行于平面内的无数条直线，则 【答案】A 【分析】由线面位置关系及面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，由直线与平面平行的性质定理可知该直线与这两个平面的交线平行，故A正确； 对于B，当一个平面内的三点共线或三点在另一个平面的两侧时，这两个平面可能相交，故B错误； 对于C，若直线上有两点到平面的距离相等，则与可能平行、相交， 还可能在内，故C错误； 对于D，若直线平行于平面内的无数条直线，则或，故D错误. 故选：A 2．正方体中，棱长为2cm，则点与点的距离为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 连接，，则．又平面，所以，所以． 3．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以，所以，，所以为等腰三角形.设点P到直线AB的距离为h，因为，，则.故选：A. 4．在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用等体积法求解，先用直三棱柱体积为，得出三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，结合的面积为，根据三棱锥体积公式即可得出结果． 【详解】 设点到平面的距离为，因为, , 所以，因为， 所以，即点到平面的距离为． 5．在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则，在中，其中表示点到的距离，所以点到平面的距离就是点到的距离. 6．球面上有，，三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到外接圆的半径，由球到平面的距离结合勾股定理得到球的半径，最后由球的体积公式计算即可. 【详解】如图，设是外接圆的圆心，则平面，因为，， 所以等边的外接圆的半径，所以球的半径，所以球的体积． 7．在棱长为的正方体 中，若E为的中点.则点D到平面AEC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用等体积法求得正确答案. 【详解】因为正方体中，平面，由于平面，所以，.因为正方体的棱长为，E为的中点，所以.因为，所以.设到平面的距离为，，，解得. 8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，，在中，，. 又，平面，平面， ，平面，点到底面的距离为. 二、多选题 9．如图，等边三角形的边长为，边上的高为，沿把三角形折起来，则（ ） A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 【答案】AC 【分析】A. 利用线面垂直的判定定理判断；B.由三棱锥的体积为求解判断；C.设的中点为，连接，，易知，AE为点到的距离判断；D. 易知平面，由CD为点到平面的距离判断. 【详解】A. 因为，所以平面，故正确； B. 因为，当时，，由选项A知平面，所以AD是三棱锥的高，所以三棱锥的体积为，则其最大值为，故错误；C.如图所示： 当时，是等边三角形，设的中点为，连接，，则，所以点到的距离为，故正确；D. 当时，，且，则平面，所以点到平面的距离为，故错误；故选：AC 10．如图，正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，则下述结论中正确的是（） A．直线到平面的距离为2 B．直线与直线的夹角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．平面截正方体所得截面面积为9 【答案】ABC 【分析】对于A，由平面与平面的距离可得线面距离，根据正方体的特征即可判定;对于B，利用平行线将异面直线夹角转化为平面中两线夹角，解三角形即可；对于C，利用体积转化计算两点到面的距离之比即可；对于D，利用得出截面图形，根据几何性质计算即可得其面积． 【详解】对于A，平面平面，平面，直线到平面的距离即平面与平面的距离，由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确； 对于B，如图，取的中点，取的中点，连接，易证， 或其补角是直线与直线的夹角， ，故B正确； 对于C，记点与点到平面的距离分别为， ，即点与点到平面的距离之比为，故C正确； 对于D，连接，易证，即四点共面， 平面截正方体所得截面为梯形，如图作，垂足为， ， ，故D错误．故答案为：ABC． 三、填空题 11．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且，所以，， 设点A到平面的距离为，因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 12．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点，由⊥底面，平面，得⊥，而，平面，则平面，因此AE的长即为点到平面的距离，又正方体棱长为，则，而平面，平面，则平面，故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 13．如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 【答案】/ 【分析】连接,易得是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则的长即为点到直线的距离，在等边三角形中，求解即可. 【详解】连接, 因为，，点D是中点，，所以，,又因为,, 所以是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则,所以的长即为点到直线的距离，又因为是边长为的等边三角形，所以. 四、解答题 14．如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF，因为四边形是正方形，， 所以，，因为四边形是正方形，，所以.因为， 所以，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形，所以，所以， 所以，所以， 又，设点到平面的距离为h，由等体积法得， 即，解得，所以点到平面的距离为. 15．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，，而平面，平面，则，又平面，因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得，正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面，则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，在中，，则边上的高，的面积，由（2）得， 又，因此，所以直线到平面的距离为. 16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB，因为平面PAB，所以，因为，且N为PB中点，所以，又因为，所以平面ANMD，又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以，所以， 即，又因为且，所以，所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3） 由已知得，，，，，设点C到平面PBD的距离h， 则．由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $