期末巅峰冲刺篇核心考点深度解析与压轴题精讲--数据的分析 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------数据的分析 一、 数据的集中趋势（数据的“代表”） 我们常用平均数、中位数和众数来刻画一组数据的集中趋势，即“一般水平”。 1. 平均数 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。 分类： 算术平均数：平均数== 加权平均数：特点与意义： 平均数是最常用的集中趋势度量，它利用了全部数据信息。 缺点：易受极端值（偏大或偏小的数据）影响。 权的意义：表示某个数据的重要程度或出现的频繁程度。 2. 中位数 定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）。 求法： 1. 排序。 1. 确定位置：若数据个数 n为奇数，则中位数是第 个数据；若 n为偶数，则中位数是第 个和第 +1个数据的平均数。 特点与意义： 中位数不受极端值影响，是描述数据“中间水平”的代表。 当一组数据中存在极端值时，用中位数比用平均数更能反映整体集中趋势。 3. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 特点与意义： 众数不受极端值影响，是描述数据“多数水平”的代表。 一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。 它常用于关心“哪个（哪些）数据出现最多”的场景，如最畅销的尺码、最受欢迎的颜色等。 二、 数据的离散程度（数据的“波动”） 我们常用方差、标准差等来刻画一组数据的离散程度，即数据的波动大小或稳定性。 1. 极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差。 意义：极差计算简单，能粗略反映数据的波动范围。但它只利用了极端值的信息，对中间数据的波动不敏感。 2. 方差 定义：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。 计算公式：s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²] 意义：方差是衡量数据波动大小的最重要的统计量。 方差越大，数据的波动越大，越不稳定。 方差越小，数据的波动越小，越稳定。 性质：数据同时加减一个常数，其平均数变化，但方差不变。数据同时变为原来的k倍，其平均数和方差分别变为原来的k倍和k²倍。 3. 标准差 定义：方差的算术平方根，即 s = 。 意义：标准差和方差一样，也是衡量数据波动性的量。它的单位与原数据单位一致，有时比方差更直观。 三、 统计量的选择与应用 1. 如何选择合适的集中趋势量 需要反映数据的总体平均水平，且数据中无极端值 → 选用平均数。 数据中存在极端值，或分布情况不清楚 → 选用中位数。 需要知道哪个数据出现次数最多​ → 选用众数。 2. 用样本估计总体 在统计学中，我们常通过研究一个样本（从总体中抽取的一部分个体）的数据特征（如样本平均数、样本方差），来估计和推断总体（考察对象的全体）的相应特征。这是一种重要的统计思想。 核心思想总结： 本章的学习，关键在于理解每一个统计量的统计意义和适用场景，而不仅仅是会计算。在面对实际问题时，要学会根据数据的特征和分析的目的，灵活、综合地运用平均数、中位数、众数、方差等工具，对数据做出科学的分析和合理的决策。 1. 平均数 1．某厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如下表所示，每吨蓝莓的加工费为1万元（加工过程度量损耗忽略不计）．蓝莓蜜饯的销售价格会随季节、市场供需等因素波动，从2025年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了如图所示的条形统计图． x（吨） 50 100 150 200 y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 (1)根据上表，求y与x的函数关系式（不必写x的取值范围）； (2)根据上图，求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价格； (3)已知该厂2025年蓝莓的采购量为300吨，若按（2）的平均销售价格全部售完，求该厂2025年可获得的销售利润（结果要求以元为单位，并用科学记数法表示）． 2．知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图． 某校抽查的学生阅读篇数统计表： 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数/人 8 m 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)填空________，扇形统计图中“阅读6篇”所对应扇形的圆心角度数是：________． (2)求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； (3)学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”予以表扬若全校学生以1200人计算，估计受表扬的学生人数． 3．某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是______分； (2)乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图； (3)在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由． 4．某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香隆德建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 —— 75 105 135 频数/人 6 20 —— 4 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______； (2)请将表格补充完整； (3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 2. 中位数 5．探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图        传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： (1)求此次随机抽取的总人数； (2)直接写出a，b的值； (3)若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 6．2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 1 a b 2    已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分．根据信息，回答下列问题： (1)依据题意，可得________，________； (2)已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； (3)若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 7．2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 8．【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 3. 众数 9．为了解某校学生每月参加社区劳动实践的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每月参加社区劳动实践时间数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生每月参加社区劳动实践的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生每月参加社区劳动实践的时间不少于9小时的人数约为多少？ 10．某社区为提高居民反诈的意识，举办了“我是反诈达人”的知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲队10名代表的比赛成绩：76，86，88，92，92，96，96，96，98，100． 乙队10名代表的比赛成绩在D组中的所有数据为：94，96，97，98，99，100，100． 甲、乙代表队中抽取的代表比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 92 96 乙 92 96.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，_______，________； (2)该社区甲队有100名代表、乙队有120名代表参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在C组的代表共有多少名； (3)根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 11．为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为x，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩扇形图如图： b．如图中，部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89． c．相关统计量如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 78 79 八年级 m 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查中八年级的样本容量为________； (2)表中________ (3)为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数； (4)结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由． 12．体育中考的核心目的是通过考试的形式，引导学生重视体育锻炼，促进其身心健康发展，并推动体育的全面实施．湖北体育中考中有一项是女生1分钟仰卧起坐．以下是甲、乙两班某次女生1分钟仰卧起坐成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】甲、乙两班随机各抽取40名女生的仰卧起坐成绩． 【整理数据】根据收集到的数据，将仰卧起坐个数x（单位：个）分为A．；B．；C．；D．． 【描述数据】根据抽取的仰卧起坐成绩，绘制出如下不完整的统计图： 【分析数据】抽取的甲、乙两班仰卧成绩的平均数，中位数，众数统计的部分信息如下： 类别 平均数 中位数 众数 甲班 45 41 43 乙班 45 40 44 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接补全甲班条形统计图，乙班扇形统计图中，A组的圆心角为________； (2)九年级有600名学生，若以甲班为样本，估计九年级仰卧起坐优秀（不低于41分）的人数； (3)该校九年级女生仰卧起坐成绩哪个班成绩要好一些？请从平均数，中位数、众数中任选两方面说明理由，并对较差班级提出一条合理化建议． 4. 方差 13．学校读书月期间，为了解学生对“中华古诗词”的掌握情况，该校七、八年级全部学生进行了古诗词知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的中华古诗词知识竞赛成绩，对竞赛成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空∶ ， ． (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为 和，观察折线统计图可知 (填“>”“<”或“=”) (3)若该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，估计该校七、八年级学生在这次中华古诗词知识竞赛中成绩为“优秀”(成绩≥85)的总人数． 14．粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 (1)该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； (2)记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） (3)根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 15．某学校为了更好地推动人工智能教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，在每个年级中选出15名同学参加比赛，并对他们的成绩（单位：分）进行收集和分析，具体如下． 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 a 41.9 八年级 85 b 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题． (1)请补全条形统计图． (2)填空：________，________． (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请说明理由． 16．为全面落实劳动教育要求，了解城乡学校劳动教育教学质量发展情况，某县从农村和城区各抽取1所学校进行劳动技能抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，测试满分为100分，相关数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分）：66，73，77，81，83，85，85，90，94，96； 城区学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分)：63，71，78，82，84，86，86，89，95，96． （二）描述与分析 城乡学生劳动技能成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 83 a 85 77．6 城区 83 85 b 93．8 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中a，b的值，____________，____________； （三）迁移与应用 (2)若本次劳动技能成绩在90分以上(含90分)为优秀，所抽取的农村学校有学生1800名，城区学校有学生3200名．请估计两所学校成绩为优秀的学生共有多少名？ (3)请结合以上统计量对这两所学校的劳动技能成绩进行对比分析，并结合劳动教育教学提出一条合理化建议． 5. 统计量的选择与应用 17．某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 18．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中3个年级根据初赛成绩分别选出了6名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示： 决赛成绩 七年级 86 90 88 90 90 96 八年级 85 86 92 92 87 98 九年级 88 84 93 99 88 88 (1)下表是根据3个年级同学的决赛成绩得到的统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 90 90 a 八年级 90 b 92 九年级 90 88 88 请你补充上表中a，b的值，________，________； (2)请从以下两个不同角度对3个年级的决赛进行分析： ①从平均数和中位数相结合看，哪个年级成绩更好些； ②从平均数和众数相结合看，哪个年级成绩更好些； (3)在每个年级参加决赛的选手中分别选出2名同学参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些，并说明理由． 19．随着全国各地掀起马拉松热，石家庄马拉松赛越来越引起众多跑步爱好者的关注．2026年3月，石家庄马拉松赛筹备期间，甲、乙两个社团各报名20名赛事志愿者．现对这40名志愿者进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，将他们的成绩绘制成不完整的统计图，如图． (1)补全条形统计图； (2)若按成绩的高低，赛事官方分别从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名，甲社团的嘉嘉和乙社团的洪洪均得7分，说明他们两人能否被录取； (3)通过计算平均成绩，判断哪个社团的测评成绩较好． 20． 2025年上映两部电影《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》稳居票房前二．为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： (1)将表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 哪吒之魔童闹海 10 8 唐探1900 _____ _____ (2)综合上表中的统计量，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由． (一)、 概念理解与定义错误 1. 混淆中位数与平均数 典型错误：认为“中位数就是中间那个数”，在数据个数为偶数时，忘记取中间两个数的平均数。或者，在数据未排序的情况下直接找“中间位置”的数。 纠正关键：求中位数必须先排序，再找位。数据个数 n为偶数时，中位数是第 个和第 个数据的算术平均数。 1．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 2．“疫情就是命令，防控就是责任！”在去年新冠肺炎疫情爆发期间，我区教师发扬不畏艰险、无私奉献的精神，挺身而出，协助社区做好疫情监测、排查、防控等工作．现将50名教师参加社区工作时间（单位：天）的情况统计如下： 时间（天） 15 25 35 45 教师人数 4 6 7 13 20 下面是对这50名教师参加社区工作时间的推断： ①平均数一定在40~50之间； ②平均数可能在40~50之间； ③中位数一定是45； ④众数一定是50． 其中正确的推断是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 2. 误解众数的概念 典型错误：将众数理解为“出现次数”，例如，看到数据 2, 2, 3, 4中 2出现了2次，就说众数是 2次。 纠正关键：众数是指出现次数最多的那个数据本身，而不是出现的次数。上例的众数是 2。另外，一组数据可以没有众数（所有数据出现次数相同），也可以有多个众数。 3．为了了解学生学科作业量，某中学对学生做周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如下表：关于“周末做学科作业时间”这组数据说法正确的是（    ） 时间（小时） 1 2 3 4 学生人数（人） 3 12 9 6 A．中位数是2.5 B．中位数是2 C．众数是4 D．众数是12 4．为了向中学生宣传普及汉代文化知识，某班开展了汉代文化知识竞赛，有6个小组参赛，小组人数分别是4，6，4，5，7，8，现从第4小组调出1人去第2小组，则调配后各小组人数分别为4，7，4，4，7，8，关于调配后人数有以下说法：①调配后平均数变小了；②调配后众数不变；③调配后中位数变大了，其中说法正确的是___________．（请填写序号） (二)、 计算过程与公式应用错误 1. 加权平均数计算错误 典型错误：计算加权平均数 x̄ = (f₁x₁ + f₂x₂ + ...) / (f₁ + f₂ + ...)时，错误地将“权”（f）与数据（x）相加，或忘记“权”的总和作为分母。 纠正关键：明确“权”表示重要性或频数。计算时分两步：① 各数据乘以其权后求和；② 除以所有权重的总和。 5．某次数学测试中，八年级一班平均分为80分，八年级二班的平均分为82分．下列说法正确的是（    ） A．两个班的平均分为81分 B．两个班的平均分不可能高于82分 C．若一班的人数比二班多，则这两个班的平均分低于81分 D．若两个班的人数相同，则这两个班的平均分为81分 6．某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是______选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 2. 方差计算步骤错误 典型错误： 公式记错，漏掉平方或平均数。 计算过程中，求差、平方、求和、求平均这几步顺序混乱或遗漏。 对于样本方差（除以 n-1）和总体方差（除以 n）的公式使用场景混淆。初中阶段若无特别说明，通常使用总体方差（除以数据个数 n）。 纠正关键：严格按照步骤计算：① 求平均数 x̄；② 求各数据与平均数的差 (xᵢ - x̄)；③ 求差的平方 (xᵢ - x̄)²；④ 求平方和；⑤ 除以数据个数 n。 7．已知一组数据：，，，，，则这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 8．小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． (三)、 统计量的选择与比较错误 1. 忽视极端值对平均数的影响 典型错误：在数据中存在极大或极小值（极端值）时，仍用平均数代表整体“一般水平”，导致结论失真。例如，用平均工资反映员工收入水平，若存在极高薪资，平均数会远高于大多数人的实际收入。 纠正关键：遇到数据中有极端值时，应优先考虑使用中位数来反映集中趋势，因为它不受极端值影响。 9．为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 (1)表中________，________； (2)若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； (3)学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 10．在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于小时，但不足小时，从七，八年级中各随机抽取了名学生，对他们在活动期间课外阅读时长单位：小时进行整理、描述和分析阅读时长记为，，记为；，记为；，记为；…以此类推，下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，七年级抽取的学生课外阅读时长：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 众数 中位数 小时及以上所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___，____，_____． (2)该校七年级有名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在小时及以上的学生人数． (3)根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由．写出一条理由即可 2. 比较数据稳定性时用错统计量 典型错误：比较两组数据的波动大小时，只看极差，或直接比较方差的数值而不看其单位或实际意义。 纠正关键：极差只反映范围，不反映内部波动。方差（或标准差）​ 才是衡量波动大小的核心指标。在平均数相同或相近的前提下，方差小的那组数据更稳定。比较时需确保数据具有可比性。 11．小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 12．若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． (四)、 统计量的性质与变化规律错误 1. 数据变化对统计量影响判断错误 典型错误：认为一组数据每个数都加上同一个常数 c后，方差也会加 c。 纠正关键：掌握核心规律： 数据 xᵢ→ xᵢ ± a：平均数​ x̄也 ± a，方差、标准差不变。 数据 xᵢ→ b * xᵢ：平均数变为 b * x̄，方差变为 b² * 原方差，标准差变为 |b| * 原标准差。 数据 xᵢ→ b * xᵢ ± a：综合以上两者。 13．一组数据，，…的每一个数都加上同一数a（），得到一组新数据，，…，则这组新数据（与原数据相比）（    ） A．平均数改变，方差不变 B．平均数改变，方差也改变 C．平均数不变，方差不变 D．平均数不变，方差改变 14．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都加上，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 (五)、 综合与应用问题错误 1. 从统计图表中提取信息错误 典型错误：从扇形图、条形图等统计图中读取数据时，将“百分比”误当作具体“数值”，或将“频数”与“频率”混淆，导致后续计算全盘错误。 纠正关键：审题时务必看清图表标题、坐标轴含义和单位。明确图表中给出的每个数字代表的是具体数据、频数还是百分比。 15．年春节天假期，重庆文旅市场迎来“开门红”．据市文旅委统计，全市重点监测的家级景区累计接待游客万人次，较年同期增长了．为了解游客对热门景区的体验评价，相关部门从甲景区和乙景区各随机抽取了名游客进行满意度评分（满分分，得分均为整数，注：本次调查得分均在至分之间）．相关数据整理如下：乙景区中评分在分段的具体得分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲景区；名游客评分频数分布表： 评分区间x（分） 频数（人数） 甲、乙景区游客评分统计量表： 景区 平均数 中位数 众数 甲景区 乙景区 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个景区的游客体验更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若甲、乙景区共接待游客的数量占年家级景区累计接待游客总人数的，请根据样本数据估计甲、乙景区接待的游客体验“优秀”（评分在分及以上）的人数．（单位：万人次） 16．“清明”是二十四节气之一，二十四节气都有哪些？它们分别有哪些习俗？你对二十四节气知道多少？为了弘扬传统文化，校文学社联合校团委开展了“二十四节气传统文化知识竞赛”．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理和分析（分数用表示，总分分，共分成四组：A．；B．；C．；D．）相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中， ， ， ； (2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有人，八年级有人，若测评成绩不低于分的记为优秀，请估计这名学生的成绩为优秀的人数共是多少？ 2. 实际问题中统计量选择理由表述不清 典型错误：在解答“为什么选择中位数而不是平均数”这类问题时，只回答“因为中位数更好”，而没有结合具体数据特征（如存在极端值）进行分析。 纠正关键：表述必须有因有果，结合题目数据具体说明。例如：“因为该组数据中存在一个远大于其他数据的极端值，这会使平均数显著增大，不能很好地代表大多数数据的水平。而中位数不受极端值影响，因此用中位数描述更为合理。” 17．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高，现分别从八、九年级学生中随机抽取名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为：，，，，，，，． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可） 18．某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------数据的分析 (解析版) 一、 数据的集中趋势（数据的“代表”） 我们常用平均数、中位数和众数来刻画一组数据的集中趋势，即“一般水平”。 1. 平均数 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。 分类： 算术平均数：平均数== 加权平均数：特点与意义： 平均数是最常用的集中趋势度量，它利用了全部数据信息。 缺点：易受极端值（偏大或偏小的数据）影响。 权的意义：表示某个数据的重要程度或出现的频繁程度。 2. 中位数 定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）。 求法： 1. 排序。 1. 确定位置：若数据个数 n为奇数，则中位数是第 个数据；若 n为偶数，则中位数是第 个和第 +1个数据的平均数。 特点与意义： 中位数不受极端值影响，是描述数据“中间水平”的代表。 当一组数据中存在极端值时，用中位数比用平均数更能反映整体集中趋势。 3. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据。 特点与意义： 众数不受极端值影响，是描述数据“多数水平”的代表。 一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。 它常用于关心“哪个（哪些）数据出现最多”的场景，如最畅销的尺码、最受欢迎的颜色等。 二、 数据的离散程度（数据的“波动”） 我们常用方差、标准差等来刻画一组数据的离散程度，即数据的波动大小或稳定性。 1. 极差 定义：一组数据中最大值与最小值的差。 意义：极差计算简单，能粗略反映数据的波动范围。但它只利用了极端值的信息，对中间数据的波动不敏感。 2. 方差 定义：各数据与它们的平均数的差的平方的平均数。 计算公式：s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²] 意义：方差是衡量数据波动大小的最重要的统计量。 方差越大，数据的波动越大，越不稳定。 方差越小，数据的波动越小，越稳定。 性质：数据同时加减一个常数，其平均数变化，但方差不变。数据同时变为原来的k倍，其平均数和方差分别变为原来的k倍和k²倍。 3. 标准差 定义：方差的算术平方根，即 s = 。 意义：标准差和方差一样，也是衡量数据波动性的量。它的单位与原数据单位一致，有时比方差更直观。 三、 统计量的选择与应用 1. 如何选择合适的集中趋势量 需要反映数据的总体平均水平，且数据中无极端值 → 选用平均数。 数据中存在极端值，或分布情况不清楚 → 选用中位数。 需要知道哪个数据出现次数最多​ → 选用众数。 2. 用样本估计总体 在统计学中，我们常通过研究一个样本（从总体中抽取的一部分个体）的数据特征（如样本平均数、样本方差），来估计和推断总体（考察对象的全体）的相应特征。这是一种重要的统计思想。 核心思想总结： 本章的学习，关键在于理解每一个统计量的统计意义和适用场景，而不仅仅是会计算。在面对实际问题时，要学会根据数据的特征和分析的目的，灵活、综合地运用平均数、中位数、众数、方差等工具，对数据做出科学的分析和合理的决策。 1. 平均数 1．某厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如下表所示，每吨蓝莓的加工费为1万元（加工过程度量损耗忽略不计）．蓝莓蜜饯的销售价格会随季节、市场供需等因素波动，从2025年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了如图所示的条形统计图． x（吨） 50 100 150 200 y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 (1)根据上表，求y与x的函数关系式（不必写x的取值范围）； (2)根据上图，求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价格； (3)已知该厂2025年蓝莓的采购量为300吨，若按（2）的平均销售价格全部售完，求该厂2025年可获得的销售利润（结果要求以元为单位，并用科学记数法表示）． 【答案】(1) (2)10万元/吨 (3)元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据条形统计图，加权平均数公式求得平均数，即可求解． （3）根据题意算出销售利润，用科学记数法表示即可得解． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，及，代入， 得， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由题意，得（万元/吨）， 样本中蓝莓蜜饯的平均销售价格为10万元/吨； （3）解：由题意，得（万元）， 2280万元元， 该厂2025年可获得的销售利润为元． 2．知识是人类进步的阶梯，阅读则是了解人生和获取知识的主要手段和最好途径，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校响应号召，开展了以“我爱阅读”为主题的读书活动，为了解同学们的阅读情况，学校随机抽取了部分学生在某一周课外阅读文章的篇数进行统计，并制成了统计表及如图所示的统计图． 某校抽查的学生阅读篇数统计表： 阅读文章篇数/篇 4 5 6 7 人数/人 8 m 20 4 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)填空________，扇形统计图中“阅读6篇”所对应扇形的圆心角度数是：________． (2)求本次抽查的学生这周平均每人阅读文章的篇数； (3)学校拟将每周阅读文章篇数超过6篇（不含6篇）的学生评为“阅读达人”予以表扬若全校学生以1200人计算，估计受表扬的学生人数． 【答案】(1)18， (2)本次抽查的学生这周平均每人阅读文章篇 (3)受表扬的学生有96人 【分析】（1）先利用阅读篇数为6人数除以其所占的百分数求出样本的总人数，再利用总人数减去其他项的人数即可求出m，用360度乘以“阅读6篇”的人数所占的百分比进行求解即可； （2）根据加权平均数的定义计算即可； （3）先计算阅读篇数超过6篇（不含6篇）的学生人数占抽查学生的百分比，再根据学校人数乘以该项所占的百分比进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：本次抽查的总人数为：（人）， ∴（人）， 扇形统计图中“阅读6篇”所对应扇形的圆心角度数是； （2）解：由题意可得；（篇）． 答：本次抽查的学生这周平均每人阅读文章5.4篇； （3）解：， ∴（人）． 答：受表扬的学生有96人． 3．某企业招聘了甲、乙两名员工，准备将其中一名分配到产品推广团队，已知甲、乙两名员工分别通过了场景演示、专业笔试和综合素质三个项目的考核，并根据他们各项得分（单位：分）的情况绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：已知甲的场景演示得分为84分，则甲的三项总得分是______分； (2)乙的三项总得分与甲的三项总得分相等，请补全条形统计图； (3)在（1）和（2）的基础上，若该企业将场景演示、专业笔试、综合素质三项得分按的比例确定甲、乙的最终得分，并择优分配到产品推广团队．试问：谁将分配到产品推广团队？请通过计算说明理由． 【答案】(1)240 (2)见解析 (3)甲，理由见解析 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及运用加权平均数作决策．（1）先算场景演示的占比，再用场景演示得分除以占比，得到甲的三项总分；（2）用乙的总分减去已知两项得分，算出专业笔试分数，补全条形图；（3）先算出甲的各项得分，再按的权重分别计算两人的最终得分，比较后择优分配即可． 【详解】（1）解：∵扇形统计图中，专业笔试和综合素质各占， ∴场景演示的占比为：， 已知场景演示得分为分，设总分为，则： ， 解得： (分)； 答：甲的三项总得分是分； （2）解：∵乙的三项总得分也为240分，其中场景演示78分、综合素质80分， ∴乙的专业笔试得分为： (分) ； （3）解：甲的各项得分： 甲的场景演示：84分（占比) ， 甲的专业笔试： 分， 甲的综合素质：分， 按的比例计算最终得分，甲的最终得分为： (分)； 乙的各项得分： 乙的场景演示78分， 乙的专业笔试82分， 乙的综合素质80分， 按的比例计算最终得分，乙的最终得分为： (分)； 因为，所以甲的最终得分更高，甲将被分配到产品推广团队． 4．某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香隆德建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 —— 75 105 135 频数/人 6 20 —— 4 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______； (2)请将表格补充完整； (3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 【答案】(1)，25 (2)见解析 (3)84分钟 【分析】（1）根据分钟时间的占比和人数计算出调查的总人数为40，根据总人数和图表即可计算出相应的答案； （2）分钟时间段组中值为30和60的平均值，用总频数减去其余各组频数即可求解； （3）分别计算出各个统计时间段调查人数的比例，根据加权平均数计算方法求得答案． 【详解】（1）解：∵根据扇形统计图中，分钟时间段的占比为， ∴分钟时间段对应扇形的圆心角的度数为， ∵分钟时间段的人数为4人， ∴调查总人数为人， ∴分钟时间段的人数为人， ∴分钟时间段的人数与总人数的比为， ∴； （2）解：分钟时间段组中值为 分钟时间段的频数/人为 表格补充如下： 时间段/分钟 组中值 45 75 105 135 频数/人 6 20 10 4 （3）解：分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； ∴八年级学生周末课外平均阅读时间为：分钟， ∴该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟． 2. 中位数 5．探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图        传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： (1)求此次随机抽取的总人数； (2)直接写出a，b的值； (3)若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 【答案】(1)20人 (2)， (3)n的最小值为87 【分析】（1）根据传统教学D等级的评分的个数和占比即可计算此次随机抽取的总人数； （2）A等级的占比等于1减去其他等级的所占百分比；由在D等级中出现了5次，比其他等级的人数都多即可得出， （3）根据随机抽取的总人数为20人，中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数，结合C等级数据进行讨论比较，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵传统教学D等级的评分数据有个，在扇形统计图中所占比例为， ∴此次随机抽取的总人数为（人）． （2）解：由扇形统计图可知，故； 由（1）得随机抽取总人数为20人， ∴传统教学A等级人数为（人）， B等级人数为（人）， C等级人数为（人）， 在D等级中出现了5次，出现的次数最多， ∴众数． （3）解：∵随机抽取的总人数为20人， ∴中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数． ∵由条形统计图可知A等级有3人，B等级有2人，且C等级有6人， ∴中位数位于C等级． ∵C等级数据为82，83，84，85，n，89，且探究性教学评分的中位数比87.5大， ∴当时，中位数为，不符合题意， 当时，中位数为，解得，即． ∵评分为整数，∴n的最小值为87． 6．2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均为不低于6分的整数．为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 1 a b 2    已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分．根据信息，回答下列问题： (1)依据题意，可得________，________； (2)已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； (3)若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1)3，3 (2)条形统计图见解析，中位数为8.5 (3)优秀率高的年级平均成绩不一定高，见解析 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求出八年级得分9分和8分的人数，即可补全条形统计图，再由中位数的性质求解中位数； （3）分别计算两个班级的优秀率和平均成绩，即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的平均数为8.5， ∴第5个数据为8，第6个数据为9， ∴，； （2）解：由题意得，八年级得9分的人数为， ∴八年级得8分的人数为， 补全条形统计图为： 由条形统计图可得第5个数据为8，第6个数据为9， 故中位数为； （3）解：优秀率高的年级平均成绩不一定高，理由如下： 七年级的优秀率为：，八年级的优秀率为：， 此时七年级的优秀率高； 七年级的平均成绩：；八年级的平均成绩：， 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高． 7．2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【答案】(1)型号机器人耗时数据的下四分位数为1.22（秒），中位数为1.245（秒），上四分位数为1.28（秒）； (2)型号机器人的动作耗时更稳定，理由见解析. 【分析】本题考查了四分位数、中位数，正确理解题意是解题的关键． （1）先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；（2）对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可． 【详解】（1）解：第一步：将型号数据从小到大排序： 1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31 中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒）， 下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒）， 上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）； （2）解：①集中趋势对比： 型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当． ②离散程度对比： 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差， 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差， 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定． 8．【背景介绍】箱线图由矩形箱体和从箱体延伸出的两条线段构成，如图1所示，箱线图中最下端和最上端的竖直线段分别表示数据的最小和最大值；箱体的下端横线表示下四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，即前半部分数据的中位数）；箱体中部的横线表示中位数；箱体的上端横线表示上四分位数（将数据从小到大排序后，位于前位置的数值，后半部分数据的中位数）；箱体中部的“×”的交点表示平均数；整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距． 【情境应用】为了备考体育中考，某校九年级A、B两个班各随机抽选10位同学进行“四分钟跳绳”模拟测试．满分标准为405个，所有结果均为整数（单位：个）．其中体育老师已对A班小组同学的跳绳个数进行统计和录入，形成了箱线图（如图2）．B班小组同学的跳绳个数如下：425，427，430，404，399，415，442，405，390，335． (1)根据A班小组同学的箱线图，问A班小组同学跳绳个数的平均数是_______，四分位距是_______． (2)根据B班小组同学的跳绳个数，请在图中补全B班小组同学跳绳个数的箱线图，并标出B班小组同学跳绳个数的平均数，及两端极值点． (3)已知A班小组同学的跳绳个数从大到小为：435，418，415，405，404，______，_____，______，397，396，缺失了其中的三个数据，请根据箱线图将缺失的数据补全． (4)请结合A、B两班小组同学跳绳测试的箱线图及数据特征，写出你能从中获得的结论．（建议贴合数据特征，结合实际情境说明） 【答案】(1)407.2；17 (2)图见解析 (3)403，401，398 (4)1、A、B两班跳绳个数的平均数相同；2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小；3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 【分析】（1）由图即可得A班小组同学跳绳个数的平均值和四分位距； （2）将B班小组同学的跳绳个数从小到大排列分别计算出平均数，及两端极值，画出图即可； （3）将A班小组同学的跳绳个数从小到大排列根据中位数，下四分位数，平均数即可求解； （4）根据箱线图及数据特征写出结论即可． 【详解】（1）解：由图可得，A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2，四分位距是． （2）解：∵B班小组同学的跳绳个数从小到大排列为：335，390，399，404，405，415，425，427，430，442， ∴最大值为442，最小值为335，，，，平均数， 补全B班小组同学跳绳个数的箱线图如下， （3）解：∵A班小组同学的跳绳个数从小到大排列为： 396，397，______，_____，______， 404，405，415，418，435， 由图可得，中位数，则第5个数为403， 下四分位数，则第3个数为398， ∵A班小组同学跳绳个数的平均数是407.2， ∴第4个数为， ∴缺失的数据从大到小为403，401，398． （4）解：1、A、B两班跳绳个数的平均数相同； 2、A班跳绳个数的四分位距更小，说明A班同学跳绳整体水平更整齐，更稳定，差距更小； 3、B班跳绳个数极差更大，说明B班跳绳水平两极分化明显，满分人数多于A班，也存在成绩较低的同学． 3. 众数 9．为了解某校学生每月参加社区劳动实践的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据图中信息，解答下列问题： (1)填空：的值为________，图①中的值为________，统计的这组学生每月参加社区劳动实践时间数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生每月参加社区劳动实践的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生每月参加社区劳动实践的时间不少于9小时的人数约为多少？ 【答案】(1)50；24；；； (2)8.34 (3)600人 【分析】（1）根据统计图结合中位数与众数的概念即可求解； （2）根据加权平均数的概念计算即可； （3）先求出参与调查中不少于9小时的人数，再结合该校共有1200名学生． 【详解】（1）解：由统计图可知，实践时间为的人数为5人，占比为， ∴，解得， 由统计图可知，实践时间为的人数为12人， 占比为，则， 统计的这组学生每月参加社区劳动实践的时间数据的众数为， 中位数为第25个数据和第26个数据的平均数，前三组共25个数据， 则中位数为； （2）解：平均数为； （3）解：参与调查中不少于9小时的人数为人， ∴人， 答：该校学生每月参加社区劳动实践的时间不少于9小时的人数约600人． 10．某社区为提高居民反诈的意识，举办了“我是反诈达人”的知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲队10名代表的比赛成绩：76，86，88，92，92，96，96，96，98，100． 乙队10名代表的比赛成绩在D组中的所有数据为：94，96，97，98，99，100，100． 甲、乙代表队中抽取的代表比赛成绩统计表 代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比 甲 92 96 乙 92 96.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，_______，________； (2)该社区甲队有100名代表、乙队有120名代表参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在C组的代表共有多少名； (3)根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)94，100，10 (2)此次比赛成绩在C组的队员约有32名 (3)乙代表队的比赛成绩更好，理由为乙代表队被抽取的比赛成绩的中位数96.5大于甲代表队被抽取的比赛成绩的中位数94（答案不唯一） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解，求出D组的百分比，根据各部分的百分比之和为1，求出的值； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）利用中位数和众数作决策即可. 【详解】（1）解：甲队的数据中第5个和第6个数分别为，故中位数； 乙队数据中出现次数最多的是100，故众数为100； ， 故； （2）解：甲代表队中，成绩在C组的比例为， 则有（名）． 答：此次比赛成绩在A组的队员约有32名． （3）解：乙代表队的比赛成绩更好，理由如下： 两队的平均数相同，但乙队的中位数和众数均高于甲队，故乙代表队的比赛成绩更好． 11．为了提高同学们的安全意识，某校组织七、八年级学生开展了以“人人讲安全个个会应急”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试．调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（记为x，单位：分，分数为整数），并对这些数据分别进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．八年级学生测试成绩扇形图如图： b．如图中，部分的成绩有：80，80，81，83，85，86，87，89． c．相关统计量如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 78 79 八年级 m 80 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次调查中八年级的样本容量为________； (2)表中________ (3)为了提高学生学习安全知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于90分的学生进行奖励．已知该校八年级的学生人数为400，请估计八年级学生中可以获得奖励的人数； (4)结合相关统计量，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)82 (3)100 (4)八年级的学生此次测试的成绩更好．理由见解析 【分析】（1）先理解题意以及观察扇形数据，运用八年级的部分的人数除以占比，得出八年级的样本容量为，即可解答； （2）结合中位数的定义进行分析，即可作答； （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答； （4）从中位数和众数上看，八年级学生的测试成绩都高于七年级，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即此次调查中八年级的样本容量为； （2）解：∵八年级的成绩按从低到高进行排列，中位数位于第名之间，且， ∴第名的成绩分别是81分，83分， ∴表中中位数， （3）解：依题意，（人）． 答：估计八年级学生中可以获得奖励的人数为100人． （4）解：八年级的学生此次测试的成绩更好．理由如下： 由（2）得， ∵ 即从中位数和众数上看，八年级学生的测试成绩都高于七年级， ∴八年级的学生此次测试的成绩更好． 12．体育中考的核心目的是通过考试的形式，引导学生重视体育锻炼，促进其身心健康发展，并推动体育的全面实施．湖北体育中考中有一项是女生1分钟仰卧起坐．以下是甲、乙两班某次女生1分钟仰卧起坐成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】甲、乙两班随机各抽取40名女生的仰卧起坐成绩． 【整理数据】根据收集到的数据，将仰卧起坐个数x（单位：个）分为A．；B．；C．；D．． 【描述数据】根据抽取的仰卧起坐成绩，绘制出如下不完整的统计图： 【分析数据】抽取的甲、乙两班仰卧成绩的平均数，中位数，众数统计的部分信息如下： 类别 平均数 中位数 众数 甲班 45 41 43 乙班 45 40 44 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接补全甲班条形统计图，乙班扇形统计图中，A组的圆心角为________； (2)九年级有600名学生，若以甲班为样本，估计九年级仰卧起坐优秀（不低于41分）的人数； (3)该校九年级女生仰卧起坐成绩哪个班成绩要好一些？请从平均数，中位数、众数中任选两方面说明理由，并对较差班级提出一条合理化建议． 【答案】(1)图见解析， (2)360人 (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）求出甲班C组的人数，然后用360度乘以A组所占的百分比，即可； （2）用600乘以仰卧起坐优秀（不低于41分）的人数所占的百分比，即可； （3）根据中位数，众数，平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：甲班C组的人数为（人）， 补全甲班条形统计图，如图： 乙班扇形统计图中，A组的圆心角为； （2）解：（人）， 答：估计九年级仰卧起坐优秀的有360人； （3）解：甲班成绩好一些，理由： 由于平均数一样，甲班的中位数高于乙班， 所以甲班成绩好一些； 建议：适当加强仰卧起坐训练； 乙班成绩好一些，理由： 由于平均数一样，乙班的众数高于甲班， 所以乙班成绩好一些； 建议：规范训练，注意正确的姿势和方法． 4. 方差 13．学校读书月期间，为了解学生对“中华古诗词”的掌握情况，该校七、八年级全部学生进行了古诗词知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的中华古诗词知识竞赛成绩，对竞赛成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空∶ ， ． (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为 和，观察折线统计图可知 (填“>”“<”或“=”) (3)若该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，估计该校七、八年级学生在这次中华古诗词知识竞赛中成绩为“优秀”(成绩≥85)的总人数． 【答案】(1)80；86 (2)> (3)1 280 【分析】（1）由统计表找出七年级成绩最多的数据，即可求解；找出八年级成绩从小到大排列后第5、6的数据，即可求解； （2）根据方差公式进行计算，即可求解； （3）分别用七、八年级的学生数乘以85分以上所占的比例，然后求和即可． 【详解】（1）解：由题意得七年级成绩出现最多的是80分，即， 八年级成绩从小到大排列后第5、6的数是85、87， ， 故答案为：80，86； （2）解：，， ， ． 故答案为：； （3）解：（人． 答：估计该校七、八年级学生中华古诗词知识为“优秀”（成绩的总共有1280人． 14．粮食安全是国家发展的重要根基，小麦作为主要粮食作物，其品种的抗病性与丰产性研究对提升粮食产量、抵御病害威胁意义重大．科研人员通过对试验田小麦的抗病性、丰产性进行打分分析，旨在筛选优质品种，为粮食稳定供应提供支撑．基于该研究数据，工作人员从试验田里随机选择10株小麦，对其抗病性和丰产性进行研究并打分（满分为10分），将得分数据整理成如图所示的折线统计图． 该品种小麦的抗病性和丰产性得分情况如下表： 平均数 中位数 众数 抗病性 9 9 丰产性 8.8 9.5 (1)该品种小麦抗病性得分的平均数___________，丰产性得分的众数___________； (2)记该品种小麦抗病性得分的方差为，丰产性得分的方差为，则____________；（填“>”“<”或“=”） (3)根据以上数据你认为该品种小麦的抗病性和丰产性哪个更优？并说明理由． 【答案】(1)8.5，10 (2) (3)抗病性得分更稳定，理由见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据平均数和众数的求法求解即可； （2）根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （3）开放题型（答案不唯一，合理即可）． 【详解】（1）解：， ∵丰产性得分中10分出现了5次，出现的次数最多， ． （2）解：从折线统计图可以看出，抗病性得分更稳定，； （3）解：该品种小麦的丰产性更优，因为丰产性得分的平均数、中位数及众数更高或该品种小麦的抗病性更优，因为抗病性得分更稳定．（答案不唯一，合理即可） 15．某学校为了更好地推动人工智能教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，在每个年级中选出15名同学参加比赛，并对他们的成绩（单位：分）进行收集和分析，具体如下． 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 a 41.9 八年级 85 b 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题． (1)请补全条形统计图． (2)填空：________，________． (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)86，87 (3)八年级，理由见解析 【分析】（1）统计出八年级和的人数，即可补全统计图； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）根据众数、中位数和方差结合平均数进行分析即可. 【详解】（1）解：八年级的有4人，的有2人， 补全统计图如下： （2）解：七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 15个数据中86出现的次数最多，为3次， 所以； 八年级：75，76，78，78，84，85，86，87，87，87，88，90，90，91，93． 已按照从小到大排列，中间第8个数是87， 所以； （3）解：七年级和八年级的平均数相同，都是85分，但众数和中位数相比，八年级要高，并且七年级成绩的方差要大于八年级成绩的方差，所以八年级的成绩要更加稳定， 综上，八年级的学生人工智能技术的总体水平较好. 16．为全面落实劳动教育要求，了解城乡学校劳动教育教学质量发展情况，某县从农村和城区各抽取1所学校进行劳动技能抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，测试满分为100分，相关数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分）：66，73，77，81，83，85，85，90，94，96； 城区学校10名学生的劳动技能成绩（单位：分)：63，71，78，82，84，86，86，89，95，96． （二）描述与分析 城乡学生劳动技能成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 83 a 85 77．6 城区 83 85 b 93．8 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中a，b的值，____________，____________； （三）迁移与应用 (2)若本次劳动技能成绩在90分以上(含90分)为优秀，所抽取的农村学校有学生1800名，城区学校有学生3200名．请估计两所学校成绩为优秀的学生共有多少名？ (3)请结合以上统计量对这两所学校的劳动技能成绩进行对比分析，并结合劳动教育教学提出一条合理化建议． 【答案】(1) (2)估计两所学校成绩为优秀的学生约有1180名 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可； （2）将农村学校学生总数1800乘以样本中成绩优秀的学生比例，城区学校学生总数3200乘以样本中成绩优秀的学生比例，两者求和即可解答； （3）根据两所学校成绩的平均数和方差进行分析，并提出建议即可． 【详解】（1）解：∵农村学校成绩已排序，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数，从表中可以看出第5个数据为83，第6个数据为85． ∴中位数． ∵城区学校成绩中86出现2次，其余数据均出现1次， ∴众数． （2）解：样本中农村学校成绩优秀的有3人，城区学校成绩优秀的学生有2人， ∴（名）． 答：估计两所学校成绩为优秀的学生约有1180名． （3）解：两所学校劳动技能成绩平均数相同，农村学校方差，小于城区学校方差，说明农村学校学生成绩更稳定，两极分化小，城区学校成绩波动更大，高低分差距明显． 建议：城区学校可针对劳动技能薄弱学生开展分层实操辅导，夯实基础劳动技能，缩小学生成绩差距；农村学校可增设进阶劳动实践项目，挖掘高分学生潜力，推动城乡劳动教育均衡发展． 5. 统计量的选择与应用 17．某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业班的女生进行了一分钟仰卧起坐测试，测试情况绘制成下表： 次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 35 36 人数 1 1 7 18 10 5 2 2 1 1 2 (1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数； (2)根据这组数据的特点，你认为该市将中考中女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准定为多少次较为合适？请简要说明理由． 【答案】(1)平均数为次，众数是18，中位数是18 (2)合格标准应定为18次较为合适，见解析 【分析】本题考查数据统计知识在生活中的应用，准确掌握和理解相关概念及其意义是关键，如此题中标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义． （1）根据平均数、众数、中位数的定义求解； （2）标准的制定应根据众数和中位数的情况确定才有意义． 【详解】（1）解：50名女生一分钟仰卧起坐的平均数为（次）． 这组数据中一分钟仰卧起坐次数为次的人数最多，则众数是18， ，，则中位数是． （2）解：合格标准应定为18次较为合适，因为这组数据差异较大，用中位数描述数据较合适． 18．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中3个年级根据初赛成绩分别选出了6名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示： 决赛成绩 七年级 86 90 88 90 90 96 八年级 85 86 92 92 87 98 九年级 88 84 93 99 88 88 (1)下表是根据3个年级同学的决赛成绩得到的统计量： 平均数 中位数 众数 七年级 90 90 a 八年级 90 b 92 九年级 90 88 88 请你补充上表中a，b的值，________，________； (2)请从以下两个不同角度对3个年级的决赛进行分析： ①从平均数和中位数相结合看，哪个年级成绩更好些； ②从平均数和众数相结合看，哪个年级成绩更好些； (3)在每个年级参加决赛的选手中分别选出2名同学参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些，并说明理由． 【答案】(1)90，89.5 (2)①七年级；②八年级 (3)九年级，理由见解析 【分析】本题考查平均数，众数和中位数的定义，用用统计量分析问题等知识，解题的关键是： （1）根据中位数和众数的定义求解即可； 2）①可由（1）得出的表格，将三个年级的平均数和中位数进行比较即可得出正确的结论； ②可由（1）得出的表格，将三个年级的平均数和众数进行比较即可得出正确的结论； （3）都抽取2人参加比赛，因此只需比较这三个年级前两名的成绩及其平均数即可． 【详解】（1）解：七年级6位选手的决赛成绩中90出现的次数最多， ∴众数， 八年级6位选手的决赛成绩从小到大排序为85，86，87， 92，92，98， ∴中位数 故答案为：90，89.5； （2）解：①∵平均数都相同，七年级的中位数最高， ∴七年级的成绩好一些； ②∵平均数都相同，八年级的众数最高， ∴八年级的成绩好一些； （3）解：∵七，八，九各年级前两名学生决赛成绩的平均分分别是分，分，分， ∴从各年级参加决赛的选手中分别选出2人参加总决赛，九年级的实力更强一些． 19．随着全国各地掀起马拉松热，石家庄马拉松赛越来越引起众多跑步爱好者的关注．2026年3月，石家庄马拉松赛筹备期间，甲、乙两个社团各报名20名赛事志愿者．现对这40名志愿者进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，将他们的成绩绘制成不完整的统计图，如图． (1)补全条形统计图； (2)若按成绩的高低，赛事官方分别从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名，甲社团的嘉嘉和乙社团的洪洪均得7分，说明他们两人能否被录取； (3)通过计算平均成绩，判断哪个社团的测评成绩较好． 【答案】(1)图见解析 (2)甲社团的嘉嘉不能被录取，乙社团的洪洪能被录取 (3)甲社团的测评成绩较好 【分析】（1）计算出甲社团成绩为8分的人数，补全条形统计图即可； （2）计算出甲乙两个社团成绩超过7分的人数即可判断能否被录取； （3）计算出甲乙社团的平均成绩即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：甲社团成绩为8分的人数为（人）， 补全条形统计图，如下： （2）解：甲社团成绩超过7分的人数为（人），乙社团成绩超过7分的人数为， ∵从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名， ∴甲社团的嘉嘉不能被录取，乙社团的洪洪能被录取． （3）解：甲社团的平均数为（分）， 乙社团的平均数为（分）， ∵， ∴甲社团的测评成绩较好． 20． 2025年上映两部电影《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》稳居票房前二．为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： (1)将表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 哪吒之魔童闹海 10 8 唐探1900 _____ _____ (2)综合上表中的统计量，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由． 【答案】(1)； (2)该校八年级学生对《哪吒之魔童闹海》评价更高，理由见解析 【分析】本题考查数据分析，中位数与众数的计算，掌握好相关知识是关键． （1）从扇形统计图中，找到占比最多的星级求得众数，将数据从小到大排列后，判断第位数所在的区域，求出中位数即可； （2）从平均数、众数和中位数三个维度评价两部影片即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，《唐探1900》的评价中，出现次数最多的是四星，即分， ∴众数， 将评价从一星到五星排列得： 一星：人；二星：人；三星：人；四星：人；五星：人． 第个数和第个数都在“四星”区域，即分， ∴中位数． 故答案为：；． （2）解：该校八年级学生对《哪吒之魔童闹海》评价更高，理由如下： 八年级学生对两部影片评价分的中位数相同，而对《哪吒之魔童闹海》评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，所以八年级学生对《哪吒之魔童闹海》评价更高． (一)、 概念理解与定义错误 1. 混淆中位数与平均数 典型错误：认为“中位数就是中间那个数”，在数据个数为偶数时，忘记取中间两个数的平均数。或者，在数据未排序的情况下直接找“中间位置”的数。 纠正关键：求中位数必须先排序，再找位。数据个数 n为偶数时，中位数是第 个和第 个数据的算术平均数。 1．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握平均数和中位的定义． 原44人的平均数为90，补测成绩为90，加入后总人数45，平均数不变；原中位数为86，补测成绩为90，可能影响中位数位置，需具体分析数据分布． 【详解】解：∵这一人的成绩和前44人的平均成绩相等， ∴全班45人成绩平均数不变； ∵原44人中位数为第22、23位数的平均，即86，加入90分后，总人数45，中位数为第23位数， ∴若原第22、23位均为86，加入90后第23位仍为86，中位数不变； 若原第22位为85，第23位为87（平均86），加入90后第23位为87，中位数变大； 因此，中位数可能不变或变大，无法确定； 综上，平均数不变，中位数无法确定， 故选：B． 2．“疫情就是命令，防控就是责任！”在去年新冠肺炎疫情爆发期间，我区教师发扬不畏艰险、无私奉献的精神，挺身而出，协助社区做好疫情监测、排查、防控等工作．现将50名教师参加社区工作时间（单位：天）的情况统计如下： 时间（天） 15 25 35 45 教师人数 4 6 7 13 20 下面是对这50名教师参加社区工作时间的推断： ①平均数一定在40~50之间； ②平均数可能在40~50之间； ③中位数一定是45； ④众数一定是50． 其中正确的推断是（    ） A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】先按平均数公式列出代数式，取最小值，当天时平均数大于50天，按中位数定义将数据排序，第25与26的平均数在45天，众数定义是t即可判断． 【详解】， ， ， ， ， ， 当天时平均数大于50天， 中位数：按表知数据已经排序，第25与26的平均数在45天， 众数：t()， ②平均数可能在40~50之间正确，③中位数一定是45正确．①平均数一定在40~50之间不正确，④众数一定是50不正确． 其中正确的推断是②，③ 故选择：B． 【点睛】本题考查平均数，中位数，众数，掌握平均数，中位数，众数的定义，会根据具体内容确定平均数，中位数，以及众数是解题关键． 2. 误解众数的概念 典型错误：将众数理解为“出现次数”，例如，看到数据 2, 2, 3, 4中 2出现了2次，就说众数是 2次。 纠正关键：众数是指出现次数最多的那个数据本身，而不是出现的次数。上例的众数是 2。另外，一组数据可以没有众数（所有数据出现次数相同），也可以有多个众数。 3．为了了解学生学科作业量，某中学对学生做周末学科作业的时间进行抽样调查，结果如下表：关于“周末做学科作业时间”这组数据说法正确的是（    ） 时间（小时） 1 2 3 4 学生人数（人） 3 12 9 6 A．中位数是2.5 B．中位数是2 C．众数是4 D．众数是12 【答案】A 【分析】本题考查中位数和众数．通过表格可知一共有30名学生参与调查，按照从小到大的顺序排列之后，找到第15和第16个数据，取平均值即为中位数；出现人数最多的对应时长即为众数． 【详解】解：一共有名学生参与调查， 按照从小到大的顺序排列之后，处于中间的两数是2和3，故中位数为2.5； 出现次数最多的时长是2，所以众数为2； 故选：A． 4．为了向中学生宣传普及汉代文化知识，某班开展了汉代文化知识竞赛，有6个小组参赛，小组人数分别是4，6，4，5，7，8，现从第4小组调出1人去第2小组，则调配后各小组人数分别为4，7，4，4，7，8，关于调配后人数有以下说法：①调配后平均数变小了；②调配后众数不变；③调配后中位数变大了，其中说法正确的是___________．（请填写序号） 【答案】② 【分析】此题考查了平均数、中位数和众数的意义，根据平均数、中位数和众数的意义分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①调配后参赛总人数不变，所以调配后的平均数不变，故说法错误； ②调配前小组人数的众数是4，调配后的众数仍然是4，故说法正确； ③把调配前各小组人数按从小到大排列为，则中位数是，调配后的人数从小到大排列为，则中位数是，则调配后的中位数不变，故说法错误． 故答案为：②． (二)、 计算过程与公式应用错误 1. 加权平均数计算错误 典型错误：计算加权平均数 x̄ = (f₁x₁ + f₂x₂ + ...) / (f₁ + f₂ + ...)时，错误地将“权”（f）与数据（x）相加，或忘记“权”的总和作为分母。 纠正关键：明确“权”表示重要性或频数。计算时分两步：① 各数据乘以其权后求和；② 除以所有权重的总和。 5．某次数学测试中，八年级一班平均分为80分，八年级二班的平均分为82分．下列说法正确的是（    ） A．两个班的平均分为81分 B．两个班的平均分不可能高于82分 C．若一班的人数比二班多，则这两个班的平均分低于81分 D．若两个班的人数相同，则这两个班的平均分为81分 【答案】BCD 【分析】根据加权平均数的定义“一般地，若n个数，，…，的权分别是，，…，则叫做这n个数的加权平均数”解答即可得． 【详解】解：A、两个班的平均数不一定是81分，因为两个班的人数不一定相等，选项说法错误，不符合题意； B、因为八年级一班的平均分为80分，八年级二班的平均分为82分，所以两个班的平均分不可能高于82 分，选项说法正确，符合题意； C、当两个班的人数相同为m时，两个班的平均数为：（分），若一班的人数为n，二班人数为m时（），则这两个班的平均分为：，选项说法正确，符合题意； D、当两个班的人数相同为m时，两个班的平均数为：（分），选项说法正确，符合题意； 故选BCD． 【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是理解并掌握加权平均数． 6．某中学举行朗诵比赛．甲、乙、丙三名参赛选手的成绩如表所示，每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 分 分 分 评委（老师） 分 分 分 经过最后汇总，总分最高的是______选手．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了运用加权平均数做决策，求加权平均数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 计算甲、乙、丙三名选手的加权平均分，观众评分权重为，评委评分权重为，比较总分即可． 【详解】解：甲的总分为：（分）； 乙的总分为：（分）； 丙的总分为：（分）； ∵， ∴总分最高的是乙选手， 故答案为：乙． 2. 方差计算步骤错误 典型错误： 公式记错，漏掉平方或平均数。 计算过程中，求差、平方、求和、求平均这几步顺序混乱或遗漏。 对于样本方差（除以 n-1）和总体方差（除以 n）的公式使用场景混淆。初中阶段若无特别说明，通常使用总体方差（除以数据个数 n）。 纠正关键：严格按照步骤计算：① 求平均数 x̄；② 求各数据与平均数的差 (xᵢ - x̄)；③ 求差的平方 (xᵢ - x̄)²；④ 求平方和；⑤ 除以数据个数 n。 7．已知一组数据：，，，，，则这组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照方差计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：平均数为：， 方差． 8．小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算，按照方差计算步骤，先求出五次成绩的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴方差 (三)、 统计量的选择与比较错误 1. 忽视极端值对平均数的影响 典型错误：在数据中存在极大或极小值（极端值）时，仍用平均数代表整体“一般水平”，导致结论失真。例如，用平均工资反映员工收入水平，若存在极高薪资，平均数会远高于大多数人的实际收入。 纠正关键：遇到数据中有极端值时，应优先考虑使用中位数来反映集中趋势，因为它不受极端值影响。 9．为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 (1)表中________，________； (2)若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； (3)学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 【答案】(1)17.8，17.8 (2)270 (3)小王的分析不合理，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）利用“样本估计总体”进行求解即可； （3）利用中位数和平均数进行判断即可． 【详解】（1）解：40个数据的中位数是第20个和第21个数据的平均数，由直方图可知， 和两组人数为：， 说明第20、21个数据都在组内， 在组内的10个数据从小到大排列为： ；；；；；；； ； ； 则中位数为； 由于其他各组内的数据均无重复，在组内，出现3次， 则众数为； （2）解：人 则该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有270人； （3）解：小王的分析不合理； 理由：因为40名学生阅读素养测评得分的中位数为分，前一半的学生进行表彰，则被表彰的学生分数至少为分；年级测评得分的平均数为分，虽然小王的成绩比年级平均分高，但是不确定是否达到分，所以小王的分析不合理． 10．在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于小时，但不足小时，从七，八年级中各随机抽取了名学生，对他们在活动期间课外阅读时长单位：小时进行整理、描述和分析阅读时长记为，，记为；，记为；，记为；…以此类推，下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，七年级抽取的学生课外阅读时长：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 众数 中位数 小时及以上所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___，____，_____． (2)该校七年级有名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在小时及以上的学生人数． (3)根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由．写出一条理由即可 【答案】(1) (2)300人 (3)八年级阅读积极性更高，理由：七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长众数和中位数都比七年级高． 【分析】（1）根据众数、中位数、百分比的意义求解即可； （2）用400名学生乘七年级在主题活动周期间课外阅读时长在8小时及以上所占的百分比即可求解； （3）根据七年级、八年级的平均数、中位数、众数进行分析即可解答． 【详解】（1）解：∵七年级学生阅读时长出现次数最多是8小时， ∴众数是8，即； ∵将八年级学生阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， ∴八年级学生阅读时长的中位数为，即； ∵八年级学生阅读时长为9小时及以上的人数为10， ∴八年级学生阅读时长为9小时及以上所占百分比为，即． （2）解：（名）． 答：估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在8小时及以上的学生人数300名． （3）解：八年级阅读积极性更高，理由：七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长众数和中位数都比七年级高． 2. 比较数据稳定性时用错统计量 典型错误：比较两组数据的波动大小时，只看极差，或直接比较方差的数值而不看其单位或实际意义。 纠正关键：极差只反映范围，不反映内部波动。方差（或标准差）​ 才是衡量波动大小的核心指标。在平均数相同或相近的前提下，方差小的那组数据更稳定。比较时需确保数据具有可比性。 11．小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【答案】 【分析】分别计算出和的大小，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ∴． 12．若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______． 【答案】 【分析】先根据平均数的定义求出，再根据方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：3，，0，，的平均数是1， ∴， 解得：， ∴． (四)、 统计量的性质与变化规律错误 1. 数据变化对统计量影响判断错误 典型错误：认为一组数据每个数都加上同一个常数 c后，方差也会加 c。 纠正关键：掌握核心规律： 数据 xᵢ→ xᵢ ± a：平均数​ x̄也 ± a，方差、标准差不变。 数据 xᵢ→ b * xᵢ：平均数变为 b * x̄，方差变为 b² * 原方差，标准差变为 |b| * 原标准差。 数据 xᵢ→ b * xᵢ ± a：综合以上两者。 13．一组数据，，…的每一个数都加上同一数a（），得到一组新数据，，…，则这组新数据（与原数据相比）（    ） A．平均数改变，方差不变 B．平均数改变，方差也改变 C．平均数不变，方差不变 D．平均数不变，方差改变 【答案】A 【分析】可求出原数据的平均数为，方差为，据此可求出新数据的平均数和方差，比较即可得到答案． 【详解】解：原数据的平均数为， 设， 则原数据的方差为， 新数据的平均数为 ， 则新数据的方差为 ， ∴这组新数据与原数据相比平均数改变，方差不变． 14．一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都加上，得到一组新数据，其方差为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查方差，根据一组数据中的每一个数据都加上一个相同的数，方差不变，即可得出结论． 【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ∴； 故选：C． (五)、 综合与应用问题错误 1. 从统计图表中提取信息错误 典型错误：从扇形图、条形图等统计图中读取数据时，将“百分比”误当作具体“数值”，或将“频数”与“频率”混淆，导致后续计算全盘错误。 纠正关键：审题时务必看清图表标题、坐标轴含义和单位。明确图表中给出的每个数字代表的是具体数据、频数还是百分比。 15．年春节天假期，重庆文旅市场迎来“开门红”．据市文旅委统计，全市重点监测的家级景区累计接待游客万人次，较年同期增长了．为了解游客对热门景区的体验评价，相关部门从甲景区和乙景区各随机抽取了名游客进行满意度评分（满分分，得分均为整数，注：本次调查得分均在至分之间）．相关数据整理如下：乙景区中评分在分段的具体得分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲景区；名游客评分频数分布表： 评分区间x（分） 频数（人数） 甲、乙景区游客评分统计量表： 景区 平均数 中位数 众数 甲景区 乙景区 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个景区的游客体验更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若甲、乙景区共接待游客的数量占年家级景区累计接待游客总人数的，请根据样本数据估计甲、乙景区接待的游客体验“优秀”（评分在分及以上）的人数．（单位：万人次） 【答案】(1)，，； (2)乙景区的游客体验更好．理由见解析（言之有理即可） (3)甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有75.6万人次 【分析】（1）用甲景区的样本总数减去其他组的频数即可求得，用减去其他组的圆心角即可得到，根据中位数的定义可计算出； （2）从平均数、中位数和众数的维度选一条评价即可； （3）利用样本中“优秀”的人数的占比，估算总体即可． 【详解】（1）解：， ，即， 乙景区分段和分段的人数之和为（人）， ∴从低到高排序，乙景区数据的第个数为，第个数为， ∴乙景区数据的中位数； （2）解：乙景区的游客体验更好．理由：乙景区游客满意度评分的中位数89分高于甲景区游客满意度评分的中位数85分，所以乙景区的游客体验更好．（言之有理即可） （3）解：甲、乙景区接待总人数：（万人次） 乙景区样本优秀人数：（人）， ∴甲、乙景区样本总优秀率：， ∴甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有（万人次） 答：甲、乙景区接待游客体验“优秀”的人数约有万人次． 16．“清明”是二十四节气之一，二十四节气都有哪些？它们分别有哪些习俗？你对二十四节气知道多少？为了弘扬传统文化，校文学社联合校团委开展了“二十四节气传统文化知识竞赛”．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理和分析（分数用表示，总分分，共分成四组：A．；B．；C．；D．）相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中， ， ， ； (2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有人，八年级有人，若测评成绩不低于分的记为优秀，请估计这名学生的成绩为优秀的人数共是多少？ 【答案】(1)；； (2)八年级学生测评成绩更好，理由见解析（答案不唯一，言之有理即可） (3)成绩为优秀的人数约有人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得、的值；利用各部分所占百分比之和等于，可得的值； （2）根据中位数、众数和平均数的意义进行评价即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：八年级成绩在、组的人数为（人）， ∴八年级学生成绩从低到高排序，第个的数为，第个的数为， ∴八年级成绩的中位数； ∵七年级的成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴七年级成绩的众数； ， ∴； （2）解：八年级学生测评成绩更好，理由如下： 两个年级学生测评成绩的平均数相同，但八年级学生成绩的中位数大于七年级，所以八年级学生测评成绩更好（答案不唯一，言之有理即可）； （3）（人）， 答：成绩为优秀的人数约有人． 2. 实际问题中统计量选择理由表述不清 典型错误：在解答“为什么选择中位数而不是平均数”这类问题时，只回答“因为中位数更好”，而没有结合具体数据特征（如存在极端值）进行分析。 纠正关键：表述必须有因有果，结合题目数据具体说明。例如：“因为该组数据中存在一个远大于其他数据的极端值，这会使平均数显著增大，不能很好地代表大多数数据的水平。而中位数不受极端值影响，因此用中位数描述更为合理。” 17．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高，现分别从八、九年级学生中随机抽取名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为：，，，，，，，． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可） 【答案】(1)，， (2)九年级，理由见解析 【分析】（1）统计八年级得分中出现次数最多的数，即为众数；先根据扇形统计图算出九年级前三组总人数，确定中位数落在组，再取组排序后第、个数据的平均数作为中位数；用九年级组人数除以总人数，再乘以得到百分比进而求得； （2）在平均分相同的前提下，九年级中位数、众数更大，说明其学生关注与了解程度更高． 【详解】（1）解：据题意可知，八年级被抽取学生的成绩众数为分，则； 九年级被抽取学生的成绩组人数为人， 组人数为人， 组人数为人， 则九年级被抽取学生得分的中位数为组第和第个数据的平均数， 组从小到大排序为：，，，，，，，， 则； 组的数据个数为个，可得， 则． （2）解：九年级学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由如下： 八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数． 18．某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出下四分位数，中位数，上四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 下四分位数是70 中位数是 上四分位数是96 （2）甲组的箱线图如答图： （3）根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $