期末巅峰冲刺篇核心考点深度解析与压轴题精讲------函数 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------函数 一、 变量与常量 1. 变量：在某一变化过程中，数值发生改变的量。 2. 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量。 3. 关系：两者存在于同一个变化过程中，是相对的。 二、 函数的概念（核心） 1. 定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 2. 理解关键： 两个变量：必须存在两个相互关联的变量。 唯一对应：这是函数关系的本质特征。对于自变量的一个值，因变量有且只有一个值与之对应（“一对一”或“多对一”允许，“一对多”则不是函数）。 三、 函数的表示方法 1. 解析式法（关系式法） 用含有自变量的数学式子表示函数关系。 优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中变量间的数量关系。 缺点：不够直观，求对应值有时需要计算。 2. 列表法 通过列出自变量与函数值的表格来表示函数关系。 优点：一目了然，无需计算就能找到对应值。 缺点：只能列出部分对应值，难以反映变量的全部变化情况。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，用描点法画出能表示函数关系的图形。 优点：非常直观，能形象地显示函数的变化趋势和性质。 缺点：由图象得到的值是近似的。 四、 函数解析式与自变量取值范围 1. 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数关系的等式。 2. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的所有取值的集合。 使解析式有意义（主要考虑）： 整式型：自变量取全体实数。 分式型：分母不等于零。 二次根式型：被开方数大于或等于零。 复合型：同时满足上述多个条件，取公共部分（交集）。 使实际问题有意义：在满足解析式的基础上，还必须符合具体问题的实际背景（如人数为正整数，时间、长度、面积为非负数等）。 五、 函数值 1. 概念：如果当自变量 x = a 时，对应的函数 y 的值是 b，那么 b 就叫做当自变量的值为 a 时的函数值。 2. 求法：已知自变量的值求函数值，实质是代入计算；已知函数值求对应的自变量的值，实质是解方程。 六、 函数的图象（初步认识） 1. 概念：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 2. 作图步骤（描点法）： 列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值。 描点：以表中每组对应值为坐标，在坐标系中描出相应的点。 连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线或直线连接所描出的点。 3. 图象的意义：函数图象直观地反映了函数值随自变量的变化而变化的规律。 1. 函数的表示 1．如图，已知平面直角坐标系中，已知，，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点P在y轴负半轴上，设点P的纵坐标为t，的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q在y轴上方一点，点E在第四象限，连接，，，若，，，，求点E的坐标． 2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴，y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)当点运动时，用含t的式子表示线段的长； (3)点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 3．如图，中，．平分，交于点．动点从点出发，安的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．    (1)当点在边上运动时，线段的长为_______（用含的代数式表示）； (2)设的面积为，请用含的代数式表示． (3)当为轴对称图形时，请写出满足条件的3个的值即可． 4．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是BC的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． （1）点Q在运动的路线上和点C之间的距离为1时，x＝　 　秒． （2）若△DPQ的面积为S，用含x的代数式表示S（0≤x＜7）． （3）若点Q从A出发3秒后，点M以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点．当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x的取值范围． 2. 求函数值或自变量的值 5．如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______． (2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况； (3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由． 6．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，满足，点与点关于轴对称，连接． (1)求，两点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线匀速运动，连接，点在第二象限，且，，连接、和.设的面积为，运动时间为秒，求和之间的关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，过点作于点，直线交轴于点，当的面积为6时，直接写出的值和点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，直线交y轴于点M，将沿直线翻折，得到，线段交y轴于H，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度．沿折线向终点C运动． (1)求点的坐标； (2)若点P的运动时间为t秒，连接、，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点P移动到线段上时，连接，若，求此时的值． 3. 动点问题中的函数图象 9．如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 10．如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．    (1)________； (2)连接，当四边形是菱形时，求菱形的周长； (3)设以A，B，P，D为顶点的四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (4)直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 11．如图（1），在长方形中，，，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P速度为，点Q的速度为，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P速度变为，点Q速度变为．图（2）是点P出发x秒后的面积与x秒的关系图象；图（3）是点Q出发x秒后的面积与x秒的关系图象．    根据题中的信息，解答下列问题 (1)根据图象得： 秒， ， 秒， ． (2)连接，当第一次平分长方形的面积时，求x的值； (3)当点P、点Q在运动路线上相距的路程为时，求x的值． 12．在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，． （1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____． （2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由． 4. 从函数图象中获取信息 13．已知甲，乙两地之间有一条笔直的公路，公路长为，A，B两车从甲地出发沿这条公路匀速驶向乙地，A车先出发B车后出发．表示到甲地的距离，表示A车行驶的时间，s与t的关系如图1所示． (1)A车比B车先出发 　　h，A车的速度为 　　，B车的速度为 　　； (2)在A车整个运动过程中，当A，B两车相距时，求t的值； (3)A车出发的同时C车从乙地出发沿这条公路驶向甲地，C车行驶速度与的关系如图2所示．当A，B，C任意两车不在同一地点时，若其中一车到另外两车的距离恰好相等，请直接写出此时t的值，不必写解答过程． 14．小王在学习中遇到了这样一个问题： 如图1，在菱形中，对角线，点P是AC上的动点，E是AB的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段AP的长度． 小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整： 根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2.5 1.8 1.5 1.8 m 3.4 4.3 5.2 6.2 5.0 4.2 3.6 3.2 3 3.2 3.6 4.2 5.0 (1)m的值是_______； (2)将线段AP的长度作为自变量x，的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象． (3)观察图象，可知函数有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出的最小值．（写出准确值） (4)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．（结果精确到0.1cm） 15．如图①，在矩形中，动点P从点A出发，以的速度沿向终点D移动，设移动时间为．连接，以为一边作正方形，连接、．设的面积为．y与t之间的函数关系如图②所示． （1）________，________； （2）点P从点A到点D的移动过程中，点E的运动路径长是__________． （3）求的面积．（用含t的代数式表示） （4）当t为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 16．甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为t（单位：），甲乙两车之间的距离为y（单位：），甲乙两车的车速与t的关系如图1所示，y与t的关系如图2所示，请解决以下问题： （1）______，________； （2）求c的值，并说出点M的实际意义； （3）如果甲乙两车从开始一起均匀减速，甲车每秒减少，乙车每秒减少，要保持与前方甲车至少有的安全距离，d的最小值为多少？ 【提示：距离=平均速度×时间，平均速度（其中是开始时的速度，是t秒时的速度）】 （一）、 函数概念理解错误（最根本的易错点） 1. 错误理解“唯一对应” 典型错误：认为“一个自变量x的值只能对应一个y值”才是函数，误判“多对一”的情况（如y=x²中，x=2和x=-2都对应y=4）不是函数。 纠正关键：函数定义的核心是“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应”。允许“多对一”，严禁“一对多”。判断时，可以假想给x一个值，看y的答案是否唯一。 1．下列曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 2. 混淆“函数关系”与“一般关系” 典型错误：认为两个变量只要有关系就是函数关系（如“孩子的身高和年龄”，虽然相关，但没有确定的计算公式对应每一个年龄，故不是严格的函数关系）。 纠正关键：函数关系必须满足“确定性”和“唯一性”。在考题中，要仔细检查表格、图形或描述中，是否对每一个自变量的取值都给出了唯一的因变量值。 3．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 4．下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 （二）、 自变量取值范围求解错误（高频易错点） 1. 忽略解析式自身的限制条件 典型错误：求函数 y=+的自变量取值范围，只写成 x≠2，而漏掉 中的 x≥3，当两者同时出现时，未取交集 x≥3。 纠正关键：遇到复合型解析式，必须逐项分析所有限制： 分母 ≠ 0 偶次根号下 ≥ 0 零指数幂的底数 ≠ 0 最后，取所有限制条件的公共部分。 5．函数的自变量的取值范围是_____． 6．函数的自变量的取值范围是____________． 2. 忽视实际问题的意义 典型错误：在解决“矩形面积一定，求长与宽的关系”时，列出 y=后，直接写取值范围 x≠0。 纠正关键：实际问题中，自变量取值除了解析式有意义，还必须符合客观事实。上例中，矩形的长和宽必须是正数，因此正确的范围是 x>0。常见限制：人数为正整数，时间、长度、价格为非负数等。 7．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 8．一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围)______． （三）、 函数图象识读与应用错误 1. 错误理解图象上的“点”与“线”的含义 典型错误：将行程问题s-t图象中的“水平线段”理解为“静止不动”，这是正确的；但错误地将“曲线”理解为“路程时多时少”。 纠正关键：在函数图象中： 点的坐标 (x, y)表示在自变量为x时，函数值为y。 线的走向：上升表示y随x增大而增大；下降表示y随x增大而减小；水平表示y值不变。 线的曲直：不表示路程的波动，只表示变化速度是否均匀。 9．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．          10．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班． 2. 混淆不同坐标轴所代表的量 典型错误：在分析表示“水箱剩余水量y与时间t”的图象时，看到图象下降，就错误地说“水流出的速度越来越快”，而实际上可能只是匀速出水（直线下降）。 纠正关键：必须首先明确横轴（自变量）、纵轴（函数值）分别代表什么物理量，然后结合图象趋势进行分析。下降的直线表示匀速减少，下降的曲线（越来越陡）才表示减少速度加快。 11．小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 12．某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． （四）、 函数表示方法转换与求值错误 1. 列表法与图象法转换时“对应点”找错 典型错误：根据列表描点时，将自变量和函数值的顺序看反，把 (x, y)描成 (y, x)。 纠正关键：牢记“前x后y”，列表中的第一行（或列）通常是自变量x的值，第二行（或列）是对应的函数值y。描点时严格按 (x, y)的顺序。 13．为了研究的性质，小明用描点法画它的图像． ．．． ．．． ．．． ．．． 下列五个结论：①函数经过点；②当时，该函数图像在轴上方；③图像有最高点；④若和是该函数上两点，则：⑤若将函数图像向右平移个单位长度，则平移后的函数图像解析式是．其中正确的结论是___________． 14．试着画函数的大致图像，可知其图像有最__点（填“高”或“低”），该点的坐标为______________． 2. 求函数值时，代入与计算错误 典型错误：已知 y=，求 x=a+1时y的值，错误写成 y=+1或 +1 纠正关键：求函数值就是“替换”。将解析式中每一个​ x替换成给定的值或式子，并保持原运算顺序。 15．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． （五）、 综合问题中的建模错误 1. 动态几何问题中，函数关系式列错或自变量取值范围求错 典型错误：在动点问题中，当动点运动到不同位置导致图形形状改变时，仍使用同一函数关系式，或定义域没有分段。 纠正关键：解决动点问题必须“化动为静，分段思考”。分析动点的整个运动过程，找出导致图形结构发生质变的临界点，在不同的运动阶段，分别建立函数关系式并确定对应的自变量取值范围。 17．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      18．如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------函数 （解析版） 一、 变量与常量 1. 变量：在某一变化过程中，数值发生改变的量。 2. 常量：在某一变化过程中，数值始终不变的量。 3. 关系：两者存在于同一个变化过程中，是相对的。 二、 函数的概念（核心） 1. 定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 2. 理解关键： 两个变量：必须存在两个相互关联的变量。 唯一对应：这是函数关系的本质特征。对于自变量的一个值，因变量有且只有一个值与之对应（“一对一”或“多对一”允许，“一对多”则不是函数）。 三、 函数的表示方法 1. 解析式法（关系式法） 用含有自变量的数学式子表示函数关系。 优点：简单明了，能准确反映整个变化过程中变量间的数量关系。 缺点：不够直观，求对应值有时需要计算。 2. 列表法 通过列出自变量与函数值的表格来表示函数关系。 优点：一目了然，无需计算就能找到对应值。 缺点：只能列出部分对应值，难以反映变量的全部变化情况。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，用描点法画出能表示函数关系的图形。 优点：非常直观，能形象地显示函数的变化趋势和性质。 缺点：由图象得到的值是近似的。 四、 函数解析式与自变量取值范围 1. 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数关系的等式。 2. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的所有取值的集合。 使解析式有意义（主要考虑）： 整式型：自变量取全体实数。 分式型：分母不等于零。 二次根式型：被开方数大于或等于零。 复合型：同时满足上述多个条件，取公共部分（交集）。 使实际问题有意义：在满足解析式的基础上，还必须符合具体问题的实际背景（如人数为正整数，时间、长度、面积为非负数等）。 五、 函数值 1. 概念：如果当自变量 x = a 时，对应的函数 y 的值是 b，那么 b 就叫做当自变量的值为 a 时的函数值。 2. 求法：已知自变量的值求函数值，实质是代入计算；已知函数值求对应的自变量的值，实质是解方程。 六、 函数的图象（初步认识） 1. 概念：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 2. 作图步骤（描点法）： 列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值。 描点：以表中每组对应值为坐标，在坐标系中描出相应的点。 连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线或直线连接所描出的点。 3. 图象的意义：函数图象直观地反映了函数值随自变量的变化而变化的规律。 1. 函数的表示 1．如图，已知平面直角坐标系中，已知，，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点P在y轴负半轴上，设点P的纵坐标为t，的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q在y轴上方一点，点E在第四象限，连接，，，若，，，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于点H，根据、得到，，根据勾股定理计算即可； （2）过点B作轴于点M，连接，根据列关系式即可； （3）将代入（2）中关系式求出，可知，过点E作轴于点T，根据三角形面积公式求出，则，证明四边形是矩形，得到轴，，可知，根据30度角的性质及勾股定理得到，进而求出，根据线段的和差求出，即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：过点B作轴于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）解：过点B作轴于点M，连接， ∴， ∴ ； （3）解：当时，， 解得， ∴， 过点E作轴于点T， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． ∴轴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴，y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)当点运动时，用含t的式子表示线段的长； (3)点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当在段时，，当在段时，； (3)存在， 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据得到，，分当点在线段上时，当点在线段上时讨论即可； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴； （2）解：由可得：， 当点P在线段上时， ∵点是从点B出发，沿以3个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ， ； 当点在线段上时， ∵， ∴， 即， ∴ 点走过的路程． （3）解：存在符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：； 当点在线段上时， ， ， 解得：（舍去）， 综上所述：当秒时，． 3．如图，中，．平分，交于点．动点从点出发，安的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．    (1)当点在边上运动时，线段的长为_______（用含的代数式表示）； (2)设的面积为，请用含的代数式表示． (3)当为轴对称图形时，请写出满足条件的3个的值即可． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 【分析】（1）求出，可得结论； （2）过作于，根据角平分线的性质得到，求得，根据三角形的面积公式，分三种情况计算即可得到结论； （3）当为轴对称图形时，是等腰三角形，①当点在边上运动时得到是等腰直角三角形，求得，解得；②当点在边上运动时，为轴对称图形，、如图，当时，为轴对称图形，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得；、当时解得；、当时，为轴对称图形，过作于，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， 故答案为：； （2）解：过作于，如图，   ，平分， ， ， ， ， ， 当时，． 当时，． 当时，． 综上所述； （3）解：当为轴对称图形时，是等腰三角形， ①当点在边上运动时，， 是等腰直角三角形， ， ； ②当点在边上运动时，为轴对称图形， 、如图，当时，为轴对称图形，    过作于， ， ， ， ， ； Ⅱ、当时，为轴对称图形， ； 、当时，为轴对称图形，    过作于， ， 由知， ， 即， 解得， 综上所述，当为轴对称图形时，的值为或或或． 【点睛】本题考查求分段函数解析式，角平分线的性质，三角形面积，轴对称图形，勾股定理，本题属函数与三角形综合题目，熟练掌握相关图形图形性质是解题的关键，注意第3小题要分类讨论． 4．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2．P是BC的中点，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． （1）点Q在运动的路线上和点C之间的距离为1时，x＝　 　秒． （2）若△DPQ的面积为S，用含x的代数式表示S（0≤x＜7）． （3）若点Q从A出发3秒后，点M以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点．当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，请直接写出相应x的取值范围． 【答案】（1）5或7；（2），（3）或或． 【分析】（1）根据题意，点与点的距离为1，设Q运动的路程为，则，根据速度为1，进而求得时间； （2）分三种情况讨论，①点在边上运动；②点在边上运动；③点在边上运动；根据情形写出△DPQ的面积即可； （3）分三种情形讨论，①点未到达点时，②点原路原速返回时，根据情形分相遇和追及问题写出路程差不超过2时，③当点回到点A，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，列出不等式组求解即可，注意两点运动的总时间会影响取值范围，即点先停止运动． 【详解】（1）， ， 设Q运动的路程为，依题意则， ， 解得或， 速度为每秒1个单位长度， 或者， 故答案为：或； （2）速度为每秒1个单位长度，Q运动的时间为x秒． 点的路程为， ①点在边上运动； ， , （）， ②点在边上运动； P是BC的中点， ， ， （）， ③点在边上运动， ， （）， 综合①②③得： ， （3）速度为每秒1个单位长度，Q运动的时间为x秒． 点的路程为， 设的运动时间为，根据题意，Q从A出发3秒后，才出发， 则，即， 的路程为，点的路程为， , 点全路程所用时间为秒， 则点的全路程所用时间为秒， 分三种情形讨论，①点未到达点时， 点出发3秒后，共同完成的路程为 根据题意，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，则， ， 即， 解得， ， ②点原路原速返回时，根据题意，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，则， ， 即， 解得， ． ③当点回到点A，根据题意，当M与Q在运动的路线上相距不超过2时，则； 综合①②③可得x的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了动点问题，路程问题，一元一次不等式的应用，弄清动点运动的方向和路程是解题的关键． 2. 求函数值或自变量的值 5．如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______． (2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况； (3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)高； (2)；梯形的面积由变化到 (3)是， 【分析】（1）根据题目的已知条件即可判断； （2）根据梯形的面积公式可得面积与高之间函数关系式，再把和代入即可解答； （3）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到关系式． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高； （2）解：由题意得：， 梯形的面积与高之间的关系式为：； 当时，， 当时，， 当梯形的高由变化到时，梯形的面积由变化到； （3）解：在梯形中，上底边和下底边平行， （两直线平行，同旁内角互补）， 即， y是x的函数，． 6．随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 【答案】(1)一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米 (2)有种购买方案 (3) (4)选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算 【分析】（1）设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁平方米得出，求出正整数解即可； （3）由可得，即可得出； （4）根据正整数解，分别代入，求出的值，比较即可得答案． 【详解】（1）解：设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米， 由题意，得， 解得：， ∴一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米． （2）解：∵这批机器人每小时刚好可以清洁平方米， ∴， ∵、均为正整数， ∴，或，或，， ∴有3种购买方案． （3）解：∵， ∴， ∵型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台， ∴． （4）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵， ∴选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算． 7．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，满足，点与点关于轴对称，连接． (1)求，两点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线匀速运动，连接，点在第二象限，且，，连接、和.设的面积为，运动时间为秒，求和之间的关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）条件下，过点作于点，直线交轴于点，当的面积为6时，直接写出的值和点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)①当点在线段上时，；②当点在线段延长线上时， (3)，或， 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式． （1）根据非负数的性质求得，即可求解； （2）分情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，证明，进而根据全等三角形的性质，表示出线段的长度，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （3）根据（2）的分类讨论，根据三角形的面积公式求得的长，即可求得的值，证明得出，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴轴， ∴， ∵，即 ∴ ∴ ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当点在线段上时，如图1 ∵点与点关于轴对称， ∴，则， ，， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ； ②当点在线段的延长线上时，如图2 同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：①当点在线段上时，如图 ∵点的坐标为， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 解得： ， ∵，， ∴ ∴ 又∵，， ∴， ∴，则 ∴，； ②当点在线段的延长线上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴，即 ∵ ∴ 解得： ∴ 同理可得 ∴，则 ∴， 综上所述，∴，或，． 8．如图，在平面直角坐标系中，，，，直线交y轴于点M，将沿直线翻折，得到，线段交y轴于H，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度．沿折线向终点C运动． (1)求点的坐标； (2)若点P的运动时间为t秒，连接、，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点P移动到线段上时，连接，若，求此时的值． 【答案】(1) (2)，的取值范围为且 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出，，再根据角平分线的性质可得，然后设点的坐标为，则，，利用的面积可求出的值，由此即可得； （2）分两种情况：①当点在（不含点）上运动，即时，先求出的长，再利用三角形的面积公式计算即可得；②当点在（不含点）上运动时，即时，先求出，再证出，然后利用三角形的面积公式计算即可得； （3）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， 设点的坐标为，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：由题意得：点从点运动到点所需的时间为秒，点从点运动到点所需的时间为秒， 则当时，点与点重合，不能构成， ∴且， 由（1）已得：，． ①如图，当点在（不含点）上运动，即时， 则， ∴， ∴的面积为； ②如图，当点在（不含点）上运动时，即时， 则， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为； 综上，，的取值范围为且． （3）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：当点移动到线段上时，， ∴，解得， 将代入得：． 【点睛】本题考查了点坐标、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、函数关系式等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 3. 动点问题中的函数图象 9．如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是动点图象问题、图象面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． （1）由图象知，8秒时，相遇，此时扫过的面积图象中间变化1次，而的没有变化，故、在点相遇，由图2知，，即可求解； （2）分类讨论，根据三角形面积是底乘高乘，梯形面积是高乘上底加上下底的和再乘，进行列式计算，注意时间范围，即可作答． （3）与（2）过程类同，再令面积为在正方形中所夹图形面积S为5，即可列式代入数值作答． 【详解】（1）解：由图象知，8秒时，相遇， 此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇， 设正方形的边长为，则 由图2知，，解得：， 故答案为4； （2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则， 图3：，解得： ∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动 ∴ 同理， 当点在段时， 当点Q在段时， 则 ， 当点在段时， ； 综上， （3）解：由题意得：， 相遇前： 当Q在上，点P在上时，此时 当，则（舍去）； 当Q在上，点P在上时，此时 当，则 相遇后：当点在段时，如图， 设的面积为，梯形的面积为， 则正方形的面积为， ， 当点在段时， ； 当时， 令，，； 当时， 令，，（舍去）； 综上：或 10．如图，在矩形中，，，延长到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．    (1)________； (2)连接，当四边形是菱形时，求菱形的周长； (3)设以A，B，P，D为顶点的四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (4)直接写出点P到四边形相邻两边距离相等时t的值． 【答案】(1)10 (2)40 (3) (4)或3或 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据菱形的性质：四边相等，可得答案； （3）分类讨论，当和时，分别计算梯形的面积即可； （4）当点P在上，若点P到、的距离相等时，则；当点P到、距离相等时，则，利用证明，得；当点P在上时，若P到、距离相等时，则，利用面积法求出，进而解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：10； （2）解：∵四边形是菱形，且， ∴菱形的周长为； （3）解：当时，由题意知，， ∴， 当时，则，    ∴， 综上所述：； （4）解：当点P在上，若点P到、的距离相等时，则， ∴； 当点P到、距离相等时，则，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，若P到、距离相等时，则，    ∴， ∴， ∴； 综上：或3或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，梯形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，运用分类思想是解题本题的关键． 11．如图（1），在长方形中，，，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P速度为，点Q的速度为，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P速度变为，点Q速度变为．图（2）是点P出发x秒后的面积与x秒的关系图象；图（3）是点Q出发x秒后的面积与x秒的关系图象．    根据题中的信息，解答下列问题 (1)根据图象得： 秒， ， 秒， ． (2)连接，当第一次平分长方形的面积时，求x的值； (3)当点P、点Q在运动路线上相距的路程为时，求x的值． 【答案】(1)8；2；20；1 (2) (3)的值1或21 【分析】（1）根据题意和，求出，，的值；由题意列出关于的方程，从而解出； （2）由平分矩形面积，得到梯形面积为矩形面积的一半，列出方程，可求的值； （3）分两种情况讨论，列出方程可求解． 【详解】（1）观察图②得， ， ，， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：8；2；20；1； （2）由题意可得：， 解得：， 当时，第一次平分长方形的面积； （3）当点在上时，由题意可得：， 解得：， 当点到达点时，两点在运动路线上相距的路程为， 点到达点后，两点在运动路线上相距的路程才能相距， ， 综上所述：的值1或21时，点、点在运动路线上相距的路程为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形面积求法，动点问题的函数现象，利用了数形结合的思想，弄清题中图象表示的意义是解本题的关键． 12．在直角梯形中，，，，联结，如图（a）．点沿梯形的边，按照点移动，设点移动的距离为，． （1）当点从点移动到点时，与的函数关系如图（b）中折线所示．则______，_____，_____． （2）在（1）的情况下，点按照点移动（点与点不重合），是否能为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或 【分析】（1）由图（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB−AE＝1； （2）分情况讨论：①点P在AB边上时；②点P在BC上时；③点P在AD上时；由等腰三角形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：（1）由图（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8， ∴BC＝3， 作DE⊥AB于E，如图1所示： 则DE＝BC＝3，CD＝BE， ∵AD＝AB＝5， ∴AE＝＝4， ∴CD＝BE＝AB−AE＝1， 故答案是：5，3，1； （2）解：可能；理由如下： 分情况讨论： ①点P在AB边上时， 当DP＝DB时，BP＝2BE＝2， 当BP＝BD时， BP＝BD＝； ②点P在BC上时，存在PD＝PB， 设PD=BP=m，则CP=3-m， ∴，解得：m=， ∴BP=； ③点P在AD上时， 当BP＝BD时， 则BP＝BD=， 当时，则AP=5-， 过点P作PM⊥AB，则sinA=，cosA=， ∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-， ∴BM=5-（4-）=1+， ∴PB==， 综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的的值为：2或或或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 4. 从函数图象中获取信息 13．已知甲，乙两地之间有一条笔直的公路，公路长为，A，B两车从甲地出发沿这条公路匀速驶向乙地，A车先出发B车后出发．表示到甲地的距离，表示A车行驶的时间，s与t的关系如图1所示． (1)A车比B车先出发 　　h，A车的速度为 　　，B车的速度为 　　； (2)在A车整个运动过程中，当A，B两车相距时，求t的值； (3)A车出发的同时C车从乙地出发沿这条公路驶向甲地，C车行驶速度与的关系如图2所示．当A，B，C任意两车不在同一地点时，若其中一车到另外两车的距离恰好相等，请直接写出此时t的值，不必写解答过程． 【答案】(1)2，， (2)t的值为或或或 (3)或或 【分析】（1）从图1中获取时间、路程相关数据，即可求出速度； （2）分四种情况进行讨论：当B车还没运动时，当B车在A车后面时，当A车在B车后面时，当B车到达乙地后，分别列出方程求解即可； （3）分不同的时间段，根据其中一车到另外两车的距离恰好相等列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，A车比B车先出发2小时． A车的速度为， B车的速度为． 故答案为：2，，． （2）解：当B车还没运动时，时， 解得：； 当相遇前，B车在A车后面时，， 解得：； 当相遇后，A车在B车后面时 解得： 当B车到达乙地后， ， 解得：． 综上，当A，B两车相距时，t的值为或或或． （3）解：当时，A在C、B之间，则， 解得，不合题意； 当时，A在C、B之间，则， 解得，不合题意； 当A、B相遇时，则，解得． 当A、C相遇时，则，解得． 当时，A在B、C之间，则，解得； 当B、C相遇时，，解得t； 当时，C在B、A之间，则，解得； 当时，B在C、A之间，则 ，解得； 当时，A在C、B之间，则， 解得，舍去． 综上所述， 或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，从函数图象中获取信息，解第二问的关键是注意进行分类讨论，解第三问的关键是注意不同时间段内A，B，C的位置关系． 14．小王在学习中遇到了这样一个问题： 如图1，在菱形中，对角线，点P是AC上的动点，E是AB的中点，连接，当是等腰三角形时，求线段AP的长度． 小王分析发现，此问题可以用函数思想解决，于是尝试结合学习函数的经验探究此问题．请将下面的探究过程补充完整： 根据点P在AC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2.5 1.8 1.5 1.8 m 3.4 4.3 5.2 6.2 5.0 4.2 3.6 3.2 3 3.2 3.6 4.2 5.0 (1)m的值是_______； (2)将线段AP的长度作为自变量x，的长度都是关于x的函数，分别记为，并在平面直角坐标系中画出了的函数图象，如图2所示，请在同一平面直角坐标系中描点，并画出的函数图象． (3)观察图象，可知函数有最小值，请你利用学习过的几何知识，直接写出的最小值．（写出准确值） (4)根据图象，在点P从A移动到C的过程中，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．（结果精确到0.1cm） 【答案】(1)2.5 (2)画出的函数图象见解析 (3)的最小值为1.5 (4)线段AP的长度约为或 【分析】（1）设AC与BD交点为O ，根据菱形中， AC⊥BD，OA=OC= AC=4，OB=OD= BD=3，得到，当时，点P与对角线AC和BD的交点O重合，得到为直角三角形，根据E为AB的中点，得到，即； （2）以表中每一对x，的值作为点的坐标，在同一平面直角坐标系中描点，而后用平滑是曲线顺次连接各点，得到函数的图象； （3）记AC，BD相交于点O，当时，取得最小值，根据OB⊥OA，得到PE∥OB，．根据E为AB的中点，得到P为OA的中点，推出，即的最小值为1.5； （4）根据题意当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论：①当PE=BE=2.5时．观察图象，得到AP=4或AP=0（舍去）；②当PE=PB时，观察图象，得到AP的长约为4.6，得到线段AP的长度约为或． 【详解】（1）设AC与BD交点为O ， ∵在菱形中，对角线， ∴AC⊥BD，OA=OC= AC=4，OB=OD= BD=3， ∴． 当时，点P与对角线AC和BD的交点O重合， ∴此时为直角三角形． ∵E为AB的中点， ∴， 即； 故答案为2.5； （2）画出的的函数图象如解图1所示． （3）记相交于点O，如解图2所示．由垂线段最短， 可知当时，PE的值最小，即取得最小值． ∵OB⊥OA， ∴PE∥OB，． ∵E为AB的中点， ∴P为OA的中点， ∴， 即的最小值为1.5． （4）由题意，可知当是等腰三角形时，需分以下两种情况进行讨论： ①当时． 观察图象，可知或（舍去）． ②当PE=PB时， 观察图象，可知AP的长约为， 综上，线段AP的长度约为或． 【点睛】本题主要考查了菱形，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形，图象法表格法表示函数，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，运用等腰三角形定义分类讨论等腰三角形的存在性，运用对应数值表画函数图象，运用函数图象求函数的最值与函数图象的交点． 15．如图①，在矩形中，动点P从点A出发，以的速度沿向终点D移动，设移动时间为．连接，以为一边作正方形，连接、．设的面积为．y与t之间的函数关系如图②所示． （1）________，________； （2）点P从点A到点D的移动过程中，点E的运动路径长是__________． （3）求的面积．（用含t的代数式表示） （4）当t为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】（1）4，10；（2）10；（3）；（4）s或3s或4s或5s 【分析】（1）根据图②三角形PCD的面积，可得矩形的长和宽； （2）由ASA证明△ABC≌△CE'E，即可得出结果； （3）由题意得：AP=2t，PD=10-2t，根据三角形面积公式可得y与t的关系式，由图②得：，代入可得结论； （4）当△DEF为等腰三角形时，分四种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算PD和AP的长，可得t的值． 【详解】解：（1）由图②知：AD=2×5=10（cm）， 当t=0时，P与A重合，y=×AD×CD=20， ∴CD=4cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=4cm， 故答案为：4，10； （2）如图③所示：点P从点A到点D的移动过程中，点E到E'， 由正方形的性质得：∠ACE=90°，AC=CE，CE'=CD=AB，∠ABC=∠CE'E=90°， 则∠BAC=∠E'CE， 在△AB和△CE'E中， ∴△ABC≌△CE'E（ASA）， ∴EE'=BC=10， 即点P从点A到点D的移动过程中，点E的路径是10cm， 故答案为：10； （3）由题意得：AP=2t，PD=10-2t， ∵PC2=PD2+CD2， ∴PC2=（10-2t）2+42+=4t2-40t+116， （4）当△DEF为等腰三角形时，分四种情况： ①当FD=FE时，如图④所示，过F作FG⊥AD于G， ∵四边形EFPC是正方形， ∴PF=EF=PC，∠FPC=90°， ∴PF=FD， ∵FG⊥PD， ∴， ∵∠FPG+∠CPD=∠CPD+∠DCP=90°， ∴∠FPG=∠DCP， 在△FPG和△PCD中， ∴△FPG≌△PCD（AAS）， ∴PG=DC=4， ∴PD=8， ∴AP=10-8=2， 即t=1； ②当DE=DF时，如图⑤所示， E在AD的延长线上，此时正方形EFPC是正方形，PD=CD=4， ∴AP=2t=10-4=6， ∴t=3； ③当DE=EF时，如图⑥所示，过E作EG⊥CD于G， ∵FE=DE=EC， ∴ 同理得：△PDC≌△CGE（AAS）， ∴PD=CG=2， ∴AP=2t=10-2=8， ∴t=4； ④当DF=EF时，如图⑦所示，PC=EF=PF=4， 且PC⊥BC，此时P与D重合，t=5； 综上，当t=1s或3s或4s或5s时，△DEF为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中． 16．甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为t（单位：），甲乙两车之间的距离为y（单位：），甲乙两车的车速与t的关系如图1所示，y与t的关系如图2所示，请解决以下问题： （1）______，________； （2）求c的值，并说出点M的实际意义； （3）如果甲乙两车从开始一起均匀减速，甲车每秒减少，乙车每秒减少，要保持与前方甲车至少有的安全距离，d的最小值为多少？ 【提示：距离=平均速度×时间，平均速度（其中是开始时的速度，是t秒时的速度）】 【答案】（1）20，15；（2），点M表示当行驶时间为15秒时乙车的速度降到与甲车相同，均为，此时两车之间的距离为；（3）2.2 【分析】（1）根据题意后再次确认与前方甲车的距离为，可得乙比甲多走了，可求出a 的值，再根据每秒减少，可求出b的值； （2）根据图象坐标和甲乙两车之间的路程变化情况即可得到点M的意义，及c的值； （3）设经过x秒后两车速度相同， 用甲所走的路程加100减去乙走的路程大于等于50列出不等式，解出即可； 【详解】（1）根据题意可知后再次确认与前方甲车的距离为 可得：200-100=10×（30-a） 解得：a=20， ∵每秒减少 2m/s ∴（30-20）÷2=5 b=10+5=15 故答案为：20，15． （2）∵乙车在后降到与前方甲车速度相同 而减速过程中，乙车的平均速度为： ∴． 点M表示当行驶时间为15秒时乙车的速度降到与甲车相同，均为，此时两车之间的距离为． （3）设经过x秒后两车速度相同，则， ∴， ∴甲车的平均速度为：， 乙车的平均速度为：， ∴ 得 ∵ 即：． 解得：， ∴d的最小值为2.2． 【点睛】本题考查不等式的应用应用以及函数图像的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数图像的性质和数形结合的思想解答． （一）、 函数概念理解错误（最根本的易错点） 1. 错误理解“唯一对应” 典型错误：认为“一个自变量x的值只能对应一个y值”才是函数，误判“多对一”的情况（如y=x²中，x=2和x=-2都对应y=4）不是函数。 纠正关键：函数定义的核心是“对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应”。允许“多对一”，严禁“一对多”。判断时，可以假想给x一个值，看y的答案是否唯一。 1．下列曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对于x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意． 2．下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对的任意一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应，统计不满足条件的个数即可得到结果． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 2. 混淆“函数关系”与“一般关系” 典型错误：认为两个变量只要有关系就是函数关系（如“孩子的身高和年龄”，虽然相关，但没有确定的计算公式对应每一个年龄，故不是严格的函数关系）。 纠正关键：函数关系必须满足“确定性”和“唯一性”。在考题中，要仔细检查表格、图形或描述中，是否对每一个自变量的取值都给出了唯一的因变量值。 3．下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（    ） A．如图中，是的函数； B．观察表中对应关系，是的函数，也是的函数： 3 2 1 0 1 2 －3 －2 －1 1 2 3 －2 －3 －6 8 3 2 C．式子中，是的函数； D．数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数． 【答案】D 【分析】根据函数的定义“在一个变化过程中有两个变量x和y，给定x的一个值，y有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数”判断解答即可． 【详解】解：A.根据图象可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； B.根据表格可得给一个m的值，n，t都有唯一确定值，所以n，t都是m的函数，正确； C.根据关系式可得给一个x的值，y都有唯一确定值，所以y是x的函数，正确； D.给一个x的值，y有无数个值与其对应，y不是x的函数，原说法错误． 4．下列两个变量间不存在函数关系的是（   ） A．圆的面积和半径的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、圆的面积随半径的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项符合题意． （二）、 自变量取值范围求解错误（高频易错点） 1. 忽略解析式自身的限制条件 典型错误：求函数 y=+的自变量取值范围，只写成 x≠2，而漏掉 中的 x≥3，当两者同时出现时，未取交集 x≥3。 纠正关键：遇到复合型解析式，必须逐项分析所有限制： 分母 ≠ 0 偶次根号下 ≥ 0 零指数幂的底数 ≠ 0 最后，取所有限制条件的公共部分。 5．函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出自变量需满足的不等式，求解后取公共范围即可得到结果． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： 被开方数非负、分母不为零、零指数幂的底数不为零， 因此可得不等式组， 解不等式组得，且，且， 由可知恒成立，因此自变量的取值范围为且． 6．函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式和分式有意义的条件，可得：， 解，得， 解，得，即， 综上可得，自变量的取值范围是且． 2. 忽视实际问题的意义 典型错误：在解决“矩形面积一定，求长与宽的关系”时，列出 y=后，直接写取值范围 x≠0。 纠正关键：实际问题中，自变量取值除了解析式有意义，还必须符合客观事实。上例中，矩形的长和宽必须是正数，因此正确的范围是 x>0。常见限制：人数为正整数，时间、长度、价格为非负数等。 7．已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 8．一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池注水，直到注满为止写出蓄水量与注水时间之间的关系式(指出自变量t的取值范围)______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据总容量蓄水量单位时间内的注水量注入时间就可以表示出与之间的关系式，再根据水池的容积是求出自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得， 水池的容积是， ， ， 又， ， ． 故答案为：． （三）、 函数图象识读与应用错误 1. 错误理解图象上的“点”与“线”的含义 典型错误：将行程问题s-t图象中的“水平线段”理解为“静止不动”，这是正确的；但错误地将“曲线”理解为“路程时多时少”。 纠正关键：在函数图象中： 点的坐标 (x, y)表示在自变量为x时，函数值为y。 线的走向：上升表示y随x增大而增大；下降表示y随x增大而减小；水平表示y值不变。 线的曲直：不表示路程的波动，只表示变化速度是否均匀。 9．小明和小英一起去上学．小明觉得要迟到了，就跑步上学，一会跑累了，便走着到学校；小英开始走着，后来也跑了起来，直到在校门口赶上了小明，问：如图四幅图像中，第______幅描述了小明的行为（填序号）．          【答案】② 【分析】根据题意可得小明先跑后走，速度先快后慢，结合图象逐个进行分析即可． 【详解】解：①随着时间推移，路程没有变化，则速度为0，不符合题意； ②由图可知，速度先快后慢，符合题意； ③随着时间推移，路程均匀变大，则速度没有发生变化，不符合题意； ④由图可知，速度先慢后快，不符合题意； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息的能力，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 10．育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班． 【答案】2 【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间． 【详解】解：由题意得： 七（1）班的速度为： 联络员与七（1）班的速度差为： 即联络员的速度为： 当七（2）班出发时， 联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和， 设七（2）班的速度为 列出方程： ， 解得： 即七（2）班的速度为， 则七（2）班追上七（1）班需要的时间为： 故填：2． 【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度． 2. 混淆不同坐标轴所代表的量 典型错误：在分析表示“水箱剩余水量y与时间t”的图象时，看到图象下降，就错误地说“水流出的速度越来越快”，而实际上可能只是匀速出水（直线下降）。 纠正关键：必须首先明确横轴（自变量）、纵轴（函数值）分别代表什么物理量，然后结合图象趋势进行分析。下降的直线表示匀速减少，下降的曲线（越来越陡）才表示减少速度加快。 11．小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【答案】3 【分析】由图象得出小王走完全程1200米用了12分钟．爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家．进而求出各自的速度，再利用行程问题求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小王走完全程1200米用了12分钟．小王的速度（米/分钟） 爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家． 说明爸爸往返一共用了：（分钟）． 因为往返速度一样，所以爸爸单程（家到公园）用了：（分钟）． 爸爸的速度 （米/分钟） 设第一次相遇时小王走了分钟，依题意得： 解得：，． 设第二次相遇时小王走了分钟，依题意得：， 解得： 两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 12．某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是____． 【答案】80 【分析】根据题意求出休息以后的总路程和总时间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，休息后的总路程为：， 休息后到达乙地所用的时间为：， ∴休息以后该车行驶的速度是． （四）、 函数表示方法转换与求值错误 1. 列表法与图象法转换时“对应点”找错 典型错误：根据列表描点时，将自变量和函数值的顺序看反，把 (x, y)描成 (y, x)。 纠正关键：牢记“前x后y”，列表中的第一行（或列）通常是自变量x的值，第二行（或列）是对应的函数值y。描点时严格按 (x, y)的顺序。 13．为了研究的性质，小明用描点法画它的图像． ．．． ．．． ．．． ．．． 下列五个结论：①函数经过点；②当时，该函数图像在轴上方；③图像有最高点；④若和是该函数上两点，则：⑤若将函数图像向右平移个单位长度，则平移后的函数图像解析式是．其中正确的结论是___________． 【答案】①②⑤ 【分析】根据函数解析式、函数图像上点的坐标特征、函数图像及函数图像的平移规律（左加右减，上加下减）逐一判断各结论即可． 【详解】解：如图， ①∵当时，， ∴函数经过点，故结论①正确； ②当时，分子，分母， ∴， ∴该函数图像在轴上方，故结论②正确； ③，其中的取值范围为， 当且趋近于时， 如图，越来越大，但没有最大值，不存在最高点，故结论③错误； ④由的图像可知，该函数图像由两个分支组成，当和时，每个分支中，随的增大而增大， 举例：当时，，；，； 此时，故结论④错误； ⑤∵将函数的图像向右平移个单位长度， ∴平移后的函数图像解析式是，即，结论⑤正确； 综上所述，正确的结论是①②⑤． 14．试着画函数的大致图像，可知其图像有最__点（填“高”或“低”），该点的坐标为______________． 【答案】 高 【分析】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 先画出函数的图象，再根据函数的图象的性质即可求解． 【详解】解：如图，函数的大致图像如图， 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 2. 求函数值时，代入与计算错误 典型错误：已知 y=，求 x=a+1时y的值，错误写成 y=+1或 +1 纠正关键：求函数值就是“替换”。将解析式中每一个​ x替换成给定的值或式子，并保持原运算顺序。 15．根据如图所示的计算程序计算y的值，若输入，则输出的y值是______． 【答案】4 【分析】根据流程图，将代入相应的关系式进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 16．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示函数关系．由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为，进而令，代入解析式，即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为， 当时，. 故答案为：． （五）、 综合问题中的建模错误 1. 动态几何问题中，函数关系式列错或自变量取值范围求错 典型错误：在动点问题中，当动点运动到不同位置导致图形形状改变时，仍使用同一函数关系式，或定义域没有分段。 纠正关键：解决动点问题必须“化动为静，分段思考”。分析动点的整个运动过程，找出导致图形结构发生质变的临界点，在不同的运动阶段，分别建立函数关系式并确定对应的自变量取值范围。 17．如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 【分析】连接，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的横坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的纵坐标， ． 18．如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【分析】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $