期末巅峰冲刺篇核心考点深度解析与压轴题精讲------四边形 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------四边形（解析版） 一、 多边形基础 1. 内角和定理：n边形的内角和等于 (n-2)×180°。 2. 外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°。 3. 对角线：从n边形的一个顶点可引出 (n-3)​ 条对角线；n边形共有 条对角线。 4. 正多边形：各边相等，各角相等的多边形。每个内角 =；每个外角 = 二、 平行四边形 1. 定义：两组对边分别平行的四边形。 2. 性质（从边、角、对角线、对称性四个维度）： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分。 对称性：中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3. 判定（满足以下条件之一即可）： 定义法：两组对边分别平行。 定理1：两组对边分别相等。 定理2：一组对边平行且相等。 定理3：对角线互相平分。 定理4：两组对角分别相等。 4. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。平行线间的距离处处相等。 三、 特殊平行四边形 特殊平行四边形都是具有附加条件的平行四边形，它们之间存在包含关系。 1. 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形。 特殊性质（在平行四边形性质基础上增加）： 四个角都是直角。 对角线相等。 判定： 定义法：有一个角是直角的平行四边形。 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 2. 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形。 特殊性质（在平行四边形性质基础上增加）： 四条边都相等。 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 面积公式：S = 底×高 = × 对角线₁ × 对角线₂。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形。 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理2：四条边都相等的四边形是菱形。 3. 正方形 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 性质：同时具有矩形和菱形的所有性质。 边：四条边相等。 角：四个角都是直角（90°）。 对角线：对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。 判定（从四边形出发）： 定义法。 先证是矩形，再证有一组邻边相等（或对角线互相垂直）。 先证是菱形，再证有一个角是直角（或对角线相等）。 关系总结：平行四边形 → (加一个直角) → 矩形 → (加一组邻边相等) → 正方形；平行四边形 → (加一组邻边相等) → 菱形 → (加一个直角) → 正方形。 四、 与四边形相关的重要定理 1. 三角形的中位线定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 图形：在△ABC中，若D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC且DE = BC。 2. 直角三角形斜边上的中线定理 推论：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 图形：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则CD = AB。 五、 核心思想与方法 1. 转化思想：将复杂的四边形问题通过连接对角线等方式，转化为三角形问题来解决。 2. 从一般到特殊：理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑递进关系。 3. 性质与判定的互逆关系：性质是“有什么特征”，判定是“根据什么条件可以确认它”。 1. 多边形的内角和与外角和 1．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是AD上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（填序号）________． 【答案】①②③④ 【分析】设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；过作交于，截取，而，证明，可得③符合题意；作，连接，证明，可得，，再证明，可得④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，多边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．如图，的两条高与交于点O，，． (1)求证：； (2)若，则__________°，__________； (3) F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，直接写出t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或2． 【分析】（1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）先证明，再结合三角形的内角和定理与外角的性质可得答案； （3）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，全等，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解： ∵的两条高与交于点O， ∴，， ， ， ． 又，， ， ． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置， ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质的应用，四边形的内角和定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 3．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①的度数为或；② 【分析】（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键． 2. 平行四边形的性质和判定 4．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 5．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 6．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①由勾股定理计算即可得出结果；②由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，结合， 为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）先求出当为矩形时，，再分两种情况：当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点；当时，与重叠部分图形为梯形；分别计算即可得出结果； （3）由（2）可得，，，，，分两种情况：当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作；，与交于点，为中点，过点作；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴； ②∵在中，，， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，当为矩形时，则，， ， 由题意可得：，， ∵， ∴、均为直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当为矩形时，， 如图，当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 如图，当时，与重叠部分图形为梯形， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 综上所述，； （3）解：由（2）可得，，，，， 当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，过点P且平行于的直线经过一边中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3. 矩形的性质与判定 7．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)①是；②， (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质分别求出，，再求出比值即可得解； ②由①即可得解； （2）①根据折叠的性质和勾股定理可证，可得，根据折叠的性质即可得解； ②根据折叠的性质可得，，，可证，进而证明，再根据，，可证，即可得证． 【详解】（1）①解：由折叠可知， ， ， 长方形是“长与宽的比值为”的长方形； ②解：由①知，． （2）①解：沿对折，C落在上的Q， ． 在中，，， ， ， ， ． 由折叠可知，平分， ． ②证明：由折叠可知：，，， ， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ∴四边形是平行四边形． 8．小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 【答案】(1)等腰三角形 (2)见解析 (3)① ② 【分析】（1）利用折叠后，再利用矩形对边平行得到，求出答案． （2）由为对应点，可知直线是线段的垂直平分线． （3）①连，利用折叠的对称性得到，再利用勾股定理及等量代换求出答案． ②利用直角三角形的中线等于斜边的一半得出，再利用平行得出，证明，再利用新得的条件证，最后解出答案，最后解出答案． 【详解】（1）解：∵是由折叠所得， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图所示，点为所求点． （3）解：①如图所示，连， ∵矩形沿对折，， ∴， ∵矩形沿折叠，且点与点为对应点， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， 又∵矩形， ∴，，， 设，则， 在和中， ，， ∴， 解得， 即． ②，理由如下： 如图所示，作线段的中点， 连接， ∵矩形，四边形由四边形折叠所得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为梯形， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵矩形沿线段对折，矩形沿折叠，且点为对应点， ∴，， 在 和中， ， ∴， ∴， 则， 即． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题与直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键点在于理解折叠后的图形与原图形全等，得出新条件，最后利用勾股定理和三角形全等以及方程思想解决问题． 9．【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 【答案】(1)①菱形；② (2) (3)或 【分析】（1）①由折叠的性质可得到，，，再由矩形的性质证出，即可得到四边形是菱形； ②分析出当点与重合时，最大，再利用勾股定理列式运算即可； （2）利用勾股定理求出的长，设，则，利用折叠的性质和勾股定理列式运算即可； （3）分类讨论的位置，当点在点右边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可；当点在点左边时，连接，证出，得到，设，则，，利用勾股定理列式运算即可； 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵， ∴当最大时，菱形的面积最大， ∴当点与重合时，最大，如图所示： ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （2）∵四边形为矩形， ∴ ， 解：在中，， 设，则， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：； （3）解：如图1，当点在点右边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ， ∴ ， 设，则， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：； ②如图2，当点在点左边时，连接， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴ ∴ 设，则，，， 则 ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 综上所述，线段的长为或． 4. 菱形的性质与判定 10．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 11．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由判定菱形为正方形，根据得为中点，连接，通过等角推导证得，再利用线段和代换得出； （2）先由得为等边三角形，求出；作、，由角平分线性质得，证得；再由直角三角形性质得，分两种位置情况推导，得出恒为； （3）先作，利用等边三角形性质求出、的长度；设，在中用勾股定理列方程解得或；代入（2）的结论，结合已知，计算出的两个值，检验均符合题意． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 当时，菱形为正方形， ∴，平分，， ∵，即， ∴为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵菱形边长为，， ∴为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 如图，过作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，同理得， 分两种情况： ①当点在、之间时，点在、之间， ； ②当点在、之间时，点在、之间， ； 综上，； （3）解：如图，过点作于点， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵，， ∴， 解得或， 由（2）知， ∵， ∴当时，； 当时，； 经检验，两种情况均符合题意， ∴的长为或． 【点睛】本题是菱形中“定角夹定角”的经典定值与动点综合题，其核心是角平分线上的动点定角截两边的通用模型，菱形对角线天然是角平分线，在对角线上任取一点作与菱形内角相等的定角，该角与菱形两边相交形成的两条动线段之和为定值，解题的核心通法是过动点作角两边的双垂线，利用角平分线性质得等距，再证全等，实现动线段向定线段的转化． 12．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为24，，即， ∴ ，则， ∴． 5. 正方形的性质与判定 13．如图1，正方形中，点在线段上，连接交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，当是的中点时，线段（点在点的左边）在直线上运动．连接、，若，，求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先得出，再证出，则，由此即可得证； （2）连接，作，交于点，先证出，则，，进而可得，再得出，由此即可得证； （3）先得出，，再取的中点，连接，且与交于点，则，证出四边形是平行四边形，则，进而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）证明：如图，连接，作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）已证：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． （3）解：∵在正方形中，， ∴，，垂直平分，， ∴，， 如图，取的中点，连接，且与交于点， ∴， ∴， ∵是的中点，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和平行四边形． 14．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：． (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①如图：过点D作交的延长线于点F，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证明结论；②如图：在上截取，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图，过点D作交于点N，则四边形是平行四边形，作，交延长线于M，利用证明，设，则，再运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①如图：过点D作交的延长线于点F， ∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴． ②如图：在上截取，则是等腰直角三角形，， ∴ 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ，即． （2）解：如图，过点D作交于点N，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 如图：作，交延长线于M， 在和中， ， ∴， ，， ∵，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， 设，则， 在中，， ，解得：， ． 15．课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)①证明见解析； ②； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； （2）解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； （3）解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 6. 三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的性质 16．已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再证明，，即可证明，即可证明结论； （2）用类似于（1）的方法证明即可； （3）设，证明，得到，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：是边的中点，G是边的中点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）知，， ， 由（1）知，， ，， ， 又由（1）知，， ， ； （3）解：设，则， 由（2）知，，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 解得， ． 17．已知，和分别位于边的两侧，且满足． (1)如图1，当时，在上取点E使得，连接并延长，交的延长线于点F，若，求的度数． (2)如图2，当时，在边上截取，使得，连接与相交于点，求证：点O是的中点． (3)如图3，当点D在的延长线上且时，以为直角边向右作等腰直角，，点P为上一点，满足，点Q为上的动点，连接、，当的长度取得最小值时，将沿直线翻折得到，请直接写出B，N两点之间的最小距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)B、N两点之间的最小距离为 【分析】（1）设，则，表示出，，进而得出，进一步得出结果； （2）在上截取，连接，作，交的延长线于F，作，交于H，可得出，，可证得≌，从而，，进而得出，，进而推出，进一步得出结论； （3）作于E，作，交的延长线于F，可证得≌，从而，，进一步证得，从而，从而得出，从而点M在过点D且与垂直的直线上运动，从而得出当时，最小，进一步得出结果． 【详解】（1）解：设，则， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1，在上截取，连接，作，交的延长线于F，作，交于H， 四边形是平行四边形，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 是的中位线， 是的中点； （3）解：如图2， 作于E，作，交的延长线于F， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点M在过点D且与垂直的直线上运动， 当时，最小， 如图3，作于W， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 沿直线翻折得到， ， ， ， 当点B、N、M共线时，最小，最小值为， B，N两点之间的最小距离为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、矩形的性质与判定、轴对称的性质、勾股定理与最短路径，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 18．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为． ∴点C的坐标为； （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ∵,，，，，， 过点作轴于点，过点作轴于点，取中点，连接， ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴， ∴， ∵轴，中点为， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：或（舍）， ∴当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解：时，由（2）知，，此时点与点重合，， ∵， ∴轴， 画出图形如下所示，    根据平行四边形可得， ∴，即；，即：， 根据平行四边形可得， ∴，即：， 综上：点M的坐标为或或． 7. 综合与探究 19．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析 (2)EP，FP，EF之间的数量关系为：； 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)或或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，梯形的面积等知识点，合理利用分类讨论思想进行分类讨论是解题的关键． （1）根据平行四边形的面积为，列式运算即可； （2）过点作于，则，根据梯形的面积公式即可求解； （3）过点作于，利用勾股定理求出，当时，可得四边形为矩形，则，，分类讨论点在往返运动时的代数式，通过求解即可； （4）分三种情况根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：设直线与之间的距离是， ∵，平行四边形的面积为， ∴， ∴，即直线与之间的距离是， （2）过点作于，如图所示： ∵直线与之间的距离是， ∴， ∵动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动， ∴当点从点向点运动时（点不与点、重合），，， ∴四边形的面积 ∴； （3）过点作于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得； 当时，由题意得：， ∴，解得，不符合题意． ∴当PQ⊥BC时，t的值为或； （4）∵平行四边形的面积为， ∴当平分平行四边形的面积时，， 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得； 当时，由题意得：，， ∴， 解得． 综上所述，当平分平行四边形的面积时或或． 21．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； （2）解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． (一)、 概念理解与关系混淆 1. 混淆特殊四边形的定义与包含关系 典型错误：认为“有一个角是直角的四边形是矩形”或“对角线相等的四边形是矩形”。 纠正关键：牢记所有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的第一定义都必须建立在“平行四边形”这个基础上。必须先证明它是平行四边形，再叠加特殊条件。它们的关系是：平行四边形 ⊇ 矩形、菱形 ⊇ 正方形。 1．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 2. 忽视判定定理的“充分必要性” 典型错误：用“对角线互相垂直的四边形”来判定菱形，或用“对角线垂直且相等的四边形”来判定正方形。 纠正关键：判定定理的条件必须充分且必要。 菱形判定：必须是“对角线互相垂直的平行四边形”或“四条边都相等的四边形”。 正方形判定：条件更严格，常见路径是“平行四边形→矩形→正方形”或“平行四边形→菱形→正方形”。 2．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由中点定义确定四边形的对角线互相平分即可得证； （2）由矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 点分别为的中点， ， 则， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形； （2）解：若四边形是矩形，则， 由（1）知，， ， 则当与满足条件时，四边形是矩形． 二、 性质应用错误 1. 滥用对角线性质 典型错误：认为“菱形的对角线相等”或“矩形的对角线互相垂直平分”。 纠正关键：必须清晰记忆每种图形对角线的独有性质： 平行四边形：对角线互相平分。 矩 形：对角线互相平分且相等。 菱 形：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。 正方形：对角线具有矩形和菱形的所有性质（互相垂直平分且相等）。 3．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当点O是的中点时，四边形是矩形，证明见解析 (3)当满足时，四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，根据等角对等边推出，同理可得，然后运用等量代换即可解答； （2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，据此只需要满足即可，据此可得答案； （3）令，证明四边形是菱形，再结合四边形是矩形，即可证明是正方形． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （3）解：当满足时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴菱形是正方形． 2. 面积公式误用 典型错误：计算菱形面积时，直接用“底×高”，但高的数值求错；或记错公式“对角线乘积的一半”为“对角线乘积”。 纠正关键：菱形面积有两种算法：S = 底 × 高​ 或 S = ,使用前者需先利用勾股定理求出高；使用后者必须确保两条对角线长度已知。 4．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线的性质得到，，结合得到，即可证明四边形是菱形； （3）作交于点，求出，得到，利用勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：证明：，，，分别是，，，的中点， ，且，，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ，，，分别是，，，的中点， ，， 当时，， 由（1）得，四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （3）解：作交于点，如图所示， ， 又， ． 又， ． 在中，， 四边形是菱形， ， ． 三、 判定与证明中的逻辑漏洞 1. 判定条件不充分（最常见错误） 场景：证明一个四边形是矩形。 错误证法1：只证明有一个角是直角。（正确：适用于任意四边形）。 错误证法2：只证明对角线相等。（错误：等腰梯形对角线也相等）。 正确思路：要么直接证有三个直角（定义法），要么先证是平行四边形，再证有一个直角或对角线相等。 核心原则：对于矩形、菱形，优先考虑“先证平行，再证特殊”。 5．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，所以，可推出，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，的周长为18， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 2. 忽略“同一法”与“不同法”的表述 典型错误：在证明“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”时，直接说“因为EF∥AC， GH∥AC，所以EF∥GH”，但未说明E、F、G、H具体是哪条边的中点。 纠正关键：严格规范书写，中点必须明确对应。正确应写为：“在△ABC中，∵E、F是AB、BC中点，∴EF∥AC且EF=½AC；在△ADC中，同理可得GH∥AC且GH=½AC。∴EF∥GH且EF=GH。” 四、 分类讨论遗漏 1. 点的位置不确定导致多解 典型题型：在平面直角坐标系中，已知三个点A、B、C，求第四个点D使四边形ABCD是平行四边形。 典型错误：只找到1个点。 纠正关键：利用平行四边形对角线互相平分的性质，设D(x,y)。分别以AB、BC、AC为对角线进行讨论，共三种情况。核心公式：对角线中点重合。 以AB为对角线：AC中点 = BD中点。 以BC为对角线：AB中点 = CD中点。 以AC为对角线：AD中点 = BC中点。 6．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴，    如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 2. 图形形状不确定 典型题型：“平行四边形ABCD中，添加一个条件使其成为矩形/菱形”。 典型错误：只写出一个条件（如加一个直角得矩形）。 纠正关键：理解条件的多样性。例如，使平行四边形成为矩形的条件可以是：①一个角是直角；②对角线相等。使平行四边形成为菱形的条件可以是：①一组邻边相等；②对角线互相垂直。 7．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 【答案】A 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 五、 综合应用与模型构建错误 1. 中位线定理应用不当 典型错误：在复杂图形中找不到或构造不出三角形中位线。 纠正关键：看到两个或更多中点时，优先考虑连接它们构造中位线。中位线定理的核心功能是证明线段平行和倍分关系。 8．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2. 折叠问题中找错等量关系 典型错误：在矩形折叠问题中，不能准确将折叠前后的对应边、对应角关系转化为直角三角形的边角关系。 纠正关键：折叠即轴对称。设未知数，将相关线段用代数式表示，在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程。这是方程思想在几何中的典型应用。 9．如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，折叠的性质得到，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解，再利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ； （2）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：； ， . 3. 最值问题（如“将军饮马”）模型构建错误 典型错误：在菱形或正方形中求线段和最小值时，对称点找错。 纠正关键：利用菱形、正方形是轴对称图形的特性，确定对称轴和对称点，将折线路径转化为直线段。 10．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------四边形 一、 多边形基础 1. 内角和定理：n边形的内角和等于 (n-2)×180°。 2. 外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°。 3. 对角线：从n边形的一个顶点可引出 (n-3)​ 条对角线；n边形共有 条对角线。 4. 正多边形：各边相等，各角相等的多边形。每个内角 =；每个外角 = 二、 平行四边形 1. 定义：两组对边分别平行的四边形。 2. 性质（从边、角、对角线、对称性四个维度）： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分。 对称性：中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 3. 判定（满足以下条件之一即可）： 定义法：两组对边分别平行。 定理1：两组对边分别相等。 定理2：一组对边平行且相等。 定理3：对角线互相平分。 定理4：两组对角分别相等。 4. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。平行线间的距离处处相等。 三、 特殊平行四边形 特殊平行四边形都是具有附加条件的平行四边形，它们之间存在包含关系。 1. 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形。 特殊性质（在平行四边形性质基础上增加）： 四个角都是直角。 对角线相等。 判定： 定义法：有一个角是直角的平行四边形。 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。 2. 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形。 特殊性质（在平行四边形性质基础上增加）： 四条边都相等。 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 面积公式：S = 底×高 = × 对角线₁ × 对角线₂。 判定： 定义法：有一组邻边相等的平行四边形。 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理2：四条边都相等的四边形是菱形。 3. 正方形 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 性质：同时具有矩形和菱形的所有性质。 边：四条边相等。 角：四个角都是直角（90°）。 对角线：对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。 判定（从四边形出发）： 定义法。 先证是矩形，再证有一组邻边相等（或对角线互相垂直）。 先证是菱形，再证有一个角是直角（或对角线相等）。 关系总结：平行四边形 → (加一个直角) → 矩形 → (加一组邻边相等) → 正方形；平行四边形 → (加一组邻边相等) → 菱形 → (加一个直角) → 正方形。 四、 与四边形相关的重要定理 1. 三角形的中位线定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 图形：在△ABC中，若D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC且DE = BC。 2. 直角三角形斜边上的中线定理 推论：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 图形：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则CD = AB。 五、 核心思想与方法 1. 转化思想：将复杂的四边形问题通过连接对角线等方式，转化为三角形问题来解决。 2. 从一般到特殊：理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑递进关系。 3. 性质与判定的互逆关系：性质是“有什么特征”，判定是“根据什么条件可以确认它”。 1. 多边形的内角和与外角和 1．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是AD上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（填序号）________． 2．如图，的两条高与交于点O，，． (1)求证：； (2)若，则__________°，__________； (3) F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，直接写出t的值． 3．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 2. 平行四边形的性质和判定 4．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 5．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 6．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 3. 矩形的性质与判定 7．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 8．小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 9．【综合与实践】八年级的同学们在课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中，，现将纸片折叠，点，的对应点分别记为点，，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点）． 【探究1】 如图1，小明沿（点在上，点在上）折叠纸片，点落在矩形的边上，连接． 【任务1】 (1)①四边形形状是________； ②调整折痕的位置，当的面积最大时，_________； 【探究2】 如图2，小丽沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，点落在上． 【任务2】 (2)求的长； 【探究3】 小亮沿（点与点重合，点在上）折叠纸片，射线与射线交于点． 【任务3】 (3)在折叠过程中，当时，__________． 4. 菱形的性质与判定 10．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 11．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 12．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 5. 正方形的性质与判定 13．如图1，正方形中，点在线段上，连接交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，当是的中点时，线段（点在点的左边）在直线上运动．连接、，若，，求出的最小值． 14．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时， ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：． (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 15．课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 6. 三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的性质 16．已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 17．已知，和分别位于边的两侧，且满足． (1)如图1，当时，在上取点E使得，连接并延长，交的延长线于点F，若，求的度数． (2)如图2，当时，在边上截取，使得，连接与相交于点，求证：点O是的中点． (3)如图3，当点D在的延长线上且时，以为直角边向右作等腰直角，，点P为上一点，满足，点Q为上的动点，连接、，当的长度取得最小值时，将沿直线翻折得到，请直接写出B，N两点之间的最小距离． 18．如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以M，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 7. 综合与探究 19．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 20．如图，在平行四边形中，，，平行四边形的面积为，动点从点出发以 1个单位长度的速度在上相D运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点和同时停止运动，连结设运动时间为秒． (1)直线与之间的距离是 _____． (2)当点从点向点运动时（点不与点、重合），设四边形的面积为，求与之间的函数关系式 (3)当时，求的值． (4)当平分平行四边形的面积时，直接写出的值． 21．如图，正方形，点、分别在、上． (1)如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． (一)、 概念理解与关系混淆 1. 混淆特殊四边形的定义与包含关系 典型错误：认为“有一个角是直角的四边形是矩形”或“对角线相等的四边形是矩形”。 纠正关键：牢记所有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的第一定义都必须建立在“平行四边形”这个基础上。必须先证明它是平行四边形，再叠加特殊条件。它们的关系是：平行四边形 ⊇ 矩形、菱形 ⊇ 正方形。 1．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 2. 忽视判定定理的“充分必要性” 典型错误：用“对角线互相垂直的四边形”来判定菱形，或用“对角线垂直且相等的四边形”来判定正方形。 纠正关键：判定定理的条件必须充分且必要。 菱形判定：必须是“对角线互相垂直的平行四边形”或“四条边都相等的四边形”。 正方形判定：条件更严格，常见路径是“平行四边形→矩形→正方形”或“平行四边形→菱形→正方形”。 2．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 二、 性质应用错误 1. 滥用对角线性质 典型错误：认为“菱形的对角线相等”或“矩形的对角线互相垂直平分”。 纠正关键：必须清晰记忆每种图形对角线的独有性质： 平行四边形：对角线互相平分。 矩 形：对角线互相平分且相等。 菱 形：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。 正方形：对角线具有矩形和菱形的所有性质（互相垂直平分且相等）。 3．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 2. 面积公式误用 典型错误：计算菱形面积时，直接用“底×高”，但高的数值求错；或记错公式“对角线乘积的一半”为“对角线乘积”。 纠正关键：菱形面积有两种算法：S = 底 × 高​ 或 S = ,使用前者需先利用勾股定理求出高；使用后者必须确保两条对角线长度已知。 4．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 三、 判定与证明中的逻辑漏洞 1. 判定条件不充分（最常见错误） 场景：证明一个四边形是矩形。 错误证法1：只证明有一个角是直角。（正确：适用于任意四边形）。 错误证法2：只证明对角线相等。（错误：等腰梯形对角线也相等）。 正确思路：要么直接证有三个直角（定义法），要么先证是平行四边形，再证有一个直角或对角线相等。 核心原则：对于矩形、菱形，优先考虑“先证平行，再证特殊”。 5．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 2. 忽略“同一法”与“不同法”的表述 典型错误：在证明“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”时，直接说“因为EF∥AC， GH∥AC，所以EF∥GH”，但未说明E、F、G、H具体是哪条边的中点。 纠正关键：严格规范书写，中点必须明确对应。正确应写为：“在△ABC中，∵E、F是AB、BC中点，∴EF∥AC且EF=½AC；在△ADC中，同理可得GH∥AC且GH=½AC。∴EF∥GH且EF=GH。” 四、 分类讨论遗漏 1. 点的位置不确定导致多解 典型题型：在平面直角坐标系中，已知三个点A、B、C，求第四个点D使四边形ABCD是平行四边形。 典型错误：只找到1个点。 纠正关键：利用平行四边形对角线互相平分的性质，设D(x,y)。分别以AB、BC、AC为对角线进行讨论，共三种情况。核心公式：对角线中点重合。 以AB为对角线：AC中点 = BD中点。 以BC为对角线：AB中点 = CD中点。 以AC为对角线：AD中点 = BC中点。 6．在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 2. 图形形状不确定 典型题型：“平行四边形ABCD中，添加一个条件使其成为矩形/菱形”。 典型错误：只写出一个条件（如加一个直角得矩形）。 纠正关键：理解条件的多样性。例如，使平行四边形成为矩形的条件可以是：①一个角是直角；②对角线相等。使平行四边形成为菱形的条件可以是：①一组邻边相等；②对角线互相垂直。 7．在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（   ） A． B． C．平分 D．平分 五、 综合应用与模型构建错误 1. 中位线定理应用不当 典型错误：在复杂图形中找不到或构造不出三角形中位线。 纠正关键：看到两个或更多中点时，优先考虑连接它们构造中位线。中位线定理的核心功能是证明线段平行和倍分关系。 8．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 2. 折叠问题中找错等量关系 典型错误：在矩形折叠问题中，不能准确将折叠前后的对应边、对应角关系转化为直角三角形的边角关系。 纠正关键：折叠即轴对称。设未知数，将相关线段用代数式表示，在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程。这是方程思想在几何中的典型应用。 9．如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 3. 最值问题（如“将军饮马”）模型构建错误 典型错误：在菱形或正方形中求线段和最小值时，对称点找错。 纠正关键：利用菱形、正方形是轴对称图形的特性，确定对称轴和对称点，将折线路径转化为直线段。 10．如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 二、 压轴题精讲 一、 核心考点深度解析 三、 易错终结 学科网（北京）股份有限公司 $