第二十章勾股定理期末巅峰冲刺卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过概念辨析、实际建模及综合拓展，系统构建"定理应用-空间转化-动态问题"的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1-3题|勾股定理及逆定理判定|从边长关系到直角三角形判定| |空间应用|6-7题|立体图形展开化归平面|平面几何向空间几何延伸| |实际建模|12-19题|构造直角三角形列方程|实际问题抽象为数学模型| |综合拓展|22-23题|对称性质与勾股结合|几何变换与定理综合应用|

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 第二十章------勾股定理期末巅峰冲刺卷(解析版) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 2．如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据题意得出是等边三角形，求出螺纹间距，再求出螺纹深度，即可得解． 【详解】解：如图，作， 由题意可知，，， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ，即螺纹间距为， 螺纹深度， 该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是． 3．我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直角三角形的较短直角边为，根据小正方形面积得出较长直角边长为，再利用勾股定理列方程求出，进而求出较长直角边长即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为， ∵中间小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∴直角三角形的较长直角边长为， ∵直角三角形的斜边为， ∴根据勾股定理得，， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴较长直角边长为， ． 4．如图，正方形，分别在两个大小相同的的正方形网格中，且各顶点均在网格线的交点上，则正方形与正方形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，，， ∴正方形的面积为20，正方形的面积为18， ∵， ∴正方形与正方形的面积比为 ． 5．如图所示，小明在荡秋千时发现：当秋千自然下垂时，座板在点的位置，此时点到地面的距离米；秋千的固定点为到座板的绳长米．当小明把秋千座板向前推动1米时，座板摆动到点位置，且米，则此时座板到地面的距离的长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点B作于点F，得到，，根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】解：过点B作于点F，如图 ∴， 由题意，得，， ∴， ∴， 则此时座板到地面的距离的长度为． 6．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长. 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱底面周长为， ∴， ∵， ∴， 勾股定理求最短距离： 展开后是直角三角形，为斜边， ∴， 即最短距离为． 7．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：          ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 8．如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆点测量鱼塘另一边木杆点的长度，点为存放鱼饵的小屋，现测得，则可求出两点间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 连接，过点作于点，得到是含的直角三角形，为等腰直角三角形，再由的直角三角形性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 9．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选：C． 10．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图所示，过点B作于点G，由全等三角形的性质得到，由等边三角形的性质得到，，求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于点G， ∵，，是三个全等的三角形， ∴， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去． 【答案】能 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 通过计算正方体的空间对角线长度，与铅笔长度比较，判断是否能放入即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，， 且， ∴能完全放进去， 故答案为：能． 12．如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 【答案】2 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，有， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即他应该收回线． 13．如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：①展开正面和右面，如图，连接， ∵长，高， ∴， ②展开正面和上面， 如图，连接， ∴， ③展开左面和上面， ∴， ∴爬行的最短距离为， ∴最快需要时间为：． 14．有一根高度为18米的竹子，在某处弯折后尖端落在地上，竹尖与竹根的水平距离是6米，则竹子弯折处距离地面的高度是_____米． 【答案】8 【分析】本题可通过构建直角三角形，设未知数后利用勾股定理建立方程求解弯折处距离地面的高度． 【详解】解：设竹子弯折处距离地面的高度为米，则弯折后形成的斜边长度为米． 由题意可得方程：， 解得：． 15．如图，在四边形中，，，，分别以，，为边向外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，构造平行四边形和直角三角形，利用平行四边形性质和已知角度关系证明为直角三角形，结合勾股定理和面积关系得出与的数量关系，最后代入数值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在中，， 是直角三角形， 由勾股定理得：， 正方形面积，，，且， ， ， ， ， ，， ， ，且， ， ，即， ， ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）（1）如图，在的网格中，的顶点均在格点上借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． （2）如图，在中，．在左侧求作点，使且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见详解（2）见详解 【分析】本题考查了作垂线，角平分线，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，得出， 即，故垂直平分，即直线垂直平分． （2）结合在中，，，则作出的角平分线，且，所以作出的垂直平分线，的角平分线与的垂直平分线的交点即为点，即可作答． 【详解】解：（1）直线垂直平分，如图所示： （2）点如图所示： 17（9分）．如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 18．（8分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 19．（8分）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区 (2) 【分析】本题考查行程问题，方向角； （1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断； （2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 方法一： 设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 当时，，此时轮船还没有经过， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时， 此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （2）解：如图，取点、，使， 当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时； 轮船从点运动到点用时（小时）， 设台风中心小时从移动到，则， ∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响， ∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，， ∴轮船停止航行时间为（小时）， ∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时． 20．（8分）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和得，证明，即可证明结论. 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， . 21．（8分）阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2022年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍为原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为_______，的长为_______；点表示的数为_______，点表示的数为________． (2)请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点． 【答案】(1)，；， (2)见详解 【分析】本题主要考查了无理数与数轴上的点的对应关系、勾股定理等知识，正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题关键． （1）以表示的数为1的点（记作）为圆心作弧，易得，结合数轴即可获得答案，注意点表示的数为负数； （2）以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求． 【详解】（1）解：如下图，以表示的数为1的点（记作）为圆心作弧， ∵圆的半径为，即， ∴；； 又∵点，分别在原点的右侧、左侧， ∴点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：，；，； （2）∵， ∴点在数轴的负半轴；， 以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边长， 然后以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示． 22．（13分）综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图                  如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的大小 (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． (2)请求出秋千离地面的最小距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理， （1）由题意可知，，由等角的余角相等得到，根据证明，即可得到，根据勾股定理计算即可； （2）根据题干所给数据计算即可． 【详解】（1）解：∵于点D，于点E， ∴， ∵平台B处荡秋千到平台C处， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，（）； （2）由题意知，，， ∴ （）， 答：秋千离地面的最小距离为． 23．（13分）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 【答案】（1）；（2），，见解析；（3）当时，，当时， 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作点C关于直线的对称点为点E，再连接对应线段即可作图，证明是等边三角形，得到 ； （2）在点B上截取点G，使得，连接，证明，得到， ，再证明，得到，根据对称得到，最后根据，得到； （3）先证明，进而可得，再利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）以为圆心，长为半径画圆，交与点，以为圆心，长为半径画圆，与上一个圆交点即为点，连接，直线与直线交于点F，连接，．如图所示： ∵，，，， ∴， ∵作点C关于直线的对称点为点E，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， 故答案为：； （2），证明如下： 证明：在上截取点G，使得，连接， 由对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）连接交于， 由对称的性质可知，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 当时，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 第二十章------勾股定理期末巅峰冲刺卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 2．如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形，分别在两个大小相同的的正方形网格中，且各顶点均在网格线的交点上，则正方形与正方形的面积比为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，小明在荡秋千时发现：当秋千自然下垂时，座板在点的位置，此时点到地面的距离米；秋千的固定点为到座板的绳长米．当小明把秋千座板向前推动1米时，座板摆动到点位置，且米，则此时座板到地面的距离的长度为（    ） A． B．2 C． D． 6．如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（    ） A． B． C． D． 7．如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，某数学兴趣小组计划在鱼塘边的木杆点测量鱼塘另一边木杆点的长度，点为存放鱼饵的小屋，现测得，则可求出两点间的距离是（   ） A． B． C． D． 9．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 10．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，，，是三个全等的三角形，是围成的小等边三角形．已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．小杨将一根长为的铅笔放到棱长为的正方体笔盒内，他____________（填“能”或“不能”）完全放进去． 12．如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 13．如图所示，一只蚂蚁以的速度从点M爬到点N，最快需要时间为________． 14．有一根高度为18米的竹子，在某处弯折后尖端落在地上，竹尖与竹根的水平距离是6米，则竹子弯折处距离地面的高度是_____米． 15．如图，在四边形中，，，，分别以，，为边向外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）（1）如图，在的网格中，的顶点均在格点上借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． （2）如图，在中，．在左侧求作点，使且（不写作法，保留作图痕迹）． 17（9分）．如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 18．（8分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 19．（8分）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 20．（8分）如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 21．（8分）阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2022年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中仍为原点，点，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为_______，的长为_______；点表示的数为_______，点表示的数为________． (2)请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点． 22．（13分）综合与实践 某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表． 课题 测量游乐园秋千 成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红 工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器 测量示意图                  如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E． 测量数据 测量项目 测量大小 点B距地面高度 的长度 的长度 的大小 (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度． (2)请求出秋千离地面的最小距离． 23．（13分）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 学科网（北京）股份有限公司 $