第十九章二次根式期末巅峰冲刺卷 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以二次根式概念为核心，通过“定义-性质-运算-应用”逻辑链系统构建解题方法，融合抽象能力与几何直观，实现基础到综合的分层突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|2题（1,2）|二次根式有意义条件分析、完全平方数判断|从定义出发，建立“被开方数非负”与“化简结果整数”的关联| |性质应用|3题（4,13,14）|数形结合化简、最简二次根式判定|结合数轴与性质，深化√a²化简规则及同类二次根式本质| |运算技巧|4题（3,7,16,20）|降次变形、公式法运算、错解分析|从基本运算到复杂化简，培养运算能力与批判性思维| |综合应用|4题（5,15,22,23）|几何构造、规律探究、实际建模|通过图形面积、规律归纳等问题，发展模型意识与应用能力|

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 第十九章------二次根式期末巅峰冲刺卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 故选D 2．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项，左边，右边，， 等式错误，符合题意； 选项，左边，右边，左边右边， 等式正确，不符合题意； 选项，左边右边， 等式正确，不符合题意； 选项，左边右边， 等式正确，不符合题意． 故选A 3．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 4．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 故选A 5．如图，四边形中，，，若四边形的面积为12，则的长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形及等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式进行解答；先根据四边形内角和定理判断出，再延长至点，使，连接，由全等三角形的判定定理得出，故可得出是直角三角形，再根据四边形的面积为12，即可得出结论． 【详解】解：延长至点，使，连接， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为12， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 故选：B． 6．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 故选C 7．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题先根据已知等式变形得到，再对所求多项式降次变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 两边平方得 展开得 整理得，等式两边同除以得 ∴ = 故选A 8．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 9．估计的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的运算法则把原式化简为，再估算的取值范围，然后根据不等式的性质变形即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即原式的值在5到6之间． 故选C 10．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 故选D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：_____________． 【答案】8 【详解】解： ． 12．若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，确定的取值，再将代入原等式求解的值 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数，得 解得， 将代入，得，即， 开平方得 13．若，则化简________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和是解题的关键． 【详解】， ， 故答案为：． 14．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 15．图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 【答案】 【分析】如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出是等腰直角三角形，且，从而可得的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得的长，最后求出的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵如图②，，， ∴， ∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条， ∴能裁剪的纸条的条数为（条），，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为. 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法，完全平方公式及分式的运算法则将原式化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 18．（8分）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， ∴ ． 19．（8分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 20．（8分）墨迹“□”挡住了二次根式运算“计算：．”的一部分． (1)若“□”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算： 解：原式：…第一步 …第二步 ．．．第三步 ．．．第四步 =0．…第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______． (2)若“□”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 【答案】(1)二， (2) 【分析】（1）根据去括号法则可得计算的第二步出错，再正确的计算即可； （2）先计算乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解：小艺从第二步开始出错， 解：原式 ． 正确的结果为： （2）解： ． 21．（9分）阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）首先化简得到，运用公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴的最小值为2； （2）解：， ，， ， 当且仅当，即时，取等号， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 22．（12分）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）先代入得，根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：猜想：； 验证：， ∴猜想正确． （2）解：第n个式子为：； （3）解： ． 23．（13分）综合与探究 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 【答案】(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 (2)无盖长方体铁箱的体积为 (3)按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键． （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出无盖长方体铁箱的长，宽，高，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为． （2）解：依题意得：四个直角处的小正方形的边长为，无盖长方体铁箱的长为， ∴无盖长方体铁箱的宽为，高为 ∴无盖长方体铁箱的体积为． （3）解：按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是， 按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积为； 按亮亮的方案制作的无盖长方体铁箱的宽为， 底面积为， 体积为， ∵， ∴按明明的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 第十九章------二次根式期末巅峰冲刺卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 3．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 4．已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形中，，，若四边形的面积为12，则的长为（   ） A． B． C．4 D．6 6．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 7．若，则的值是（        ） A． B．0 C．1 D． 8．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．估计的值在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 10．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：_____________． 12．若，则的值为______． 13．若，则化简________． 14．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 15．图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，将这些纸条连成一个宽为的大长方形，并将这个长方形裁剪成四个一样大小的小长方形来为一幅正方形作品镶边（纸条不重叠）如图③，则正方形作品（阴影部分）的面积为_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）计算： (1)； (2)． 17．（7分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 19．（8分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 20．（8分）墨迹“□”挡住了二次根式运算“计算：．”的一部分． (1)若“□”挡住的是，小艺同学进行如下计算： 计算： 解：原式：…第一步 …第二步 ．．．第三步 ．．．第四步 =0．…第五步 小艺从第______步开始出错，本题正确的计算结果是______． (2)若“□”挡住的是，写出二次根式的计算过程． 21．（9分）阅读与思考 下面是小明在数学兴趣活动中遇到的一个问题，请认真阅读并完成相应的任务． 阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现，当时，有，，当且仅当时，取等号． 【问题解决】 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，． 当且仅当，即时，取等号，的最小值为4． 任务： (1)当时，的最小值为________． (2)当时，求的最小值． 22．（12分）综合与实践 【思考尝试】 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； 【实践探究】 （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）； 【拓展延伸】 （3）根据上述规律，我们给出一些数，，，．请计算． 23．（13分）综合与探究 问题情境：学校计划利用长和宽分别为24dm和12dm的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，明明和亮亮设计了两种不同的裁剪焊接方案． 明明的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，并在分得的每一块正方形的四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 亮亮的方案：如图2，先将铁片的中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小，且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若明明的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若亮亮的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若按这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，请直接写出按谁的方案制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 学科网（北京）股份有限公司 $