精品解析：北京市中国人民大学附属中学分校2025-2026学年九年级数学下学期中考二模模拟考试试题

初三数学二模模拟练习 一、选择题（本题共16分，每题2分） 1. 如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 找到从正面所得到的图形即可． 【详解】解∶从正面可看到，可得图形 故选∶D． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算问题． 由，，可得，结合，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5. 用配方法解方程时，经过配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ， 移项，得 ， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得， 整理左侧为完全平方式，得． 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 7. 要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①直线上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B；②以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；③作直线，则 ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（ ） A. 只有甲方案可行 B. 只有乙方案可行 C. 甲、乙方案都可行 D. 甲、乙方案都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，等腰三角形的性质等知识点，掌握尺规作图以及全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 根据尺规作图、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理可判定方案甲；运用折叠的性质和平行线的判定可判定方案乙． 【详解】解：甲方案：如图：连接, 由作图得，， ∵, ∴, ∴, ∴,即，故甲方案可行； 乙方案由折叠可知， ∵， ∴， ∴， ∴，方案可行． 综上，甲、乙方案均可行． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，取，容易证明四边形是菱形；对于②，作于点，由的几何意义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合等积变形可得为定值；对于③，设点的坐标为，利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质可计算出的中点坐标为，由可判断的中点不在双曲线上；对于④，取，容易证明此时，再取，此时，因此必定存在的时刻． 【详解】解：对于①，当时，四边形是菱形，证明如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故①正确； 对于②，如图，作于点， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为定值，故②正确； 对于③，设点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴点的坐标为， 由中点公式可得，的中点坐标为， ∵， ∴的中点不在反比例函数的图象上， ∴点不可能是的中点，故③错误； 对于④，当，如图，取的中点，连接， 由①可知，四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由③可知，点的坐标为， ∵， ∴点在反比例函数的图象的上方， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，必然存在一个时刻，使得， ∴可能是直角三角形，故④错误； 综上，正确的结论为①②． 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 10. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：反比例函数图象在第二、四象限，则． 故答案为：． 11. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是______． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查了概率的知识，熟练应用根据频率估计概率是解题的关键．根据图中信息得出，实验结果在附近波动，即其概率，判断各项中的概率即可． 【详解】解：①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上得概率为，不符合题意； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍的概率为，符合题意； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”的概率为，符合题意； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； 故答案为：②③． 12. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 13. 如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形外角和定理求出，根据正方形的性质得出，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 14. 如图，、分别与相切于、两点，点为劣弧上一点，过点的切线分别交、于、两点，若，的周长为，则的半径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由切线长定理可得，，，则的周长等于与之和，从而得到．容易证明，则，使用三角函数计算出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵、分别与相切于、两点，与相切于点， ∴，，，，， ∴， ∵的周长为，即， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴的半径长为． 15. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元． 【答案】 ①. ③①⑦②④⑤⑥ ②. 【解析】 【分析】（1）安排一名维修人员时，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑，根据每台电脑维修所需要的时间确定维修顺序； （2）要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，根据七台电脑维修所需要的总时长为分钟，可知平均每人维修的时间为分钟，所以一人可以维修①⑥号，维修顺序为①⑥，最小损失为元；第二人可以维修②⑤号，维修顺序为②⑤，此时损失最小，为元；第三人可以维修③④⑦号，维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为元；把三个损失加起来即为总经济损失的最小值． 【详解】（1）解：若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑， 这样安排后面的电脑等候的时间就会短，总待机时间就短， ， 维修的顺序是③①⑦②④⑤⑥； （2）解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小， 当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为 （分钟）， 当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟）， 需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得人的维修时间等于分钟或尽可能接近分钟，可以使得维修时间最短， 第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥， 此时损失最小，为（元）， ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其锥修时间； 第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间； 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是 （分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间； 当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）． 三、解答题（共68分，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值、负整数指数幂与零指数幂，再从左到右依次计算． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 解不等式①得， 解不等式②得； ∴原不等式组的解集为． 19. 已知：，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再约分化简，接着求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 20. 如图，在中，点在上，于点，过点作，的平行线，分别交，的延长线于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明，结合矩形的性质求出，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 21. 在平面直角坐标系中，直线经过点和． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得函数，由题意可得当时，，且，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得函数， ∵一次函数， ∴， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值不横小于一次函数的值，故不符合题意，舍去， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，故符合题意， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，故符合题意， 当时，如图， 此时，当时，对于的每一个值，一次函数的值横小于一次函数的值且大于，故不符合题意，舍去， 综上所述，． 22. 列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 【答案】千米/时 【解析】 【分析】设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：次列车的行驶时间为（小时）， 次列车的行驶时间为（小时）， 设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：次列车的行驶速度为288千米/时． 23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】（1）①80；3；②180； （2）①92.2；②91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以，；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； 【小问2详解】 解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案为：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，的边为的直径，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．， （1）求证：为的切线； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据三线合一得出，利用三角形内角和定理得出，即可得出结论； （2）连接，根据平行线得出，，令，利用勾股定理表示出相关线段的长度，证明，利用对应边成比例求出的值，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴根据三角形内角和定理得，， 又∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， 令，则，， 由勾股定理得， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得． 25. 某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 35 58 76 89 97 100 已知模式一的剩余电量与时间的关系可以看作一次函数关系． （1）①          ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象； （2）充电系统通过调节充电电流（单位：安培A）来控制电量，已知两种充电模式的初始电流为10安培，且满足：剩余电量每增加，充电电流将减小0.05安培． ①充电10分钟后，模式一的充电电流为          安培； ②当两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4时，对应的充电时间的取值范围为                    （保留整数）． 【答案】（1）①；②画图见解析； （2）①；②，． 【解析】 【分析】（1）①求出函数解析式，将代入计算即可；②根据表格数值描点连线画出图象即可； （2）①充电10分钟后，模式一电量，从初始电量到共增加了，根据电流规则计算即可； ②由电流规则得，，根据题意得到，根据（1）②中函数图象可知恒成立，即，分、两个时段，分别将近似看做一次函数，求解即可． 【小问1详解】 解：①已知模式一是一次函数，设， 将、代入得 解得：， ∴， 当时，， 即； ②如图所示： 【小问2详解】 解：①（安培）； ②由电流规则得，， ∵两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4， ∴， 即， 根据（1）②中函数图象可知恒成立， ∴， 当时，可近似根据待定系数法得， 此时解得； 当时，可近似根据待定系数法得， 此时解得， ∵保留整数， ∴； ∴综上所述，． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若，点，（）在该抛物线上，求的长； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出； （2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得抛物线为 将代入中， 得， ∵点，在该抛物线上， ∴将代入中， 得， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图①，过点作轴于点，则，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 当时，如解图①， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得抛物线， ∵点的横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在点上方， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大， 又∵当时，的长随的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如解图②， 同理可得， ∵点在点上方， ∴ ， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大， ∵，即时，随的增大而增大， ∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在， 综上所述，的取值范围为． 27. 如图，在Rt中，，点为边上一点，．点为线段中点，将射线绕点逆时针旋转，与线段交于点，在线段上截，连接，与线段交于点，连接． （1）如图1，若，，证明：点是线段的中点； （2）如图2，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点，判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】（1）先求出以及证明是直角三角形，则由直角三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质证明点在以为直径的上，然后证明，再证明为的中位线即可． 【小问1详解】 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ 由旋转可得， ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的中点； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴ ∴ 过点作于点，连接， ∵点为线段的中点，，， ∴ ∴点在以为直径的上， ∴， 由旋转得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点共圆， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． （1）已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； （2）已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①2；② （2）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义画出图形计算即可； （2）分和两种情况，然后根据题意画出图形计算出最大值和最小值即可解题． 【小问1详解】 ①如图，由题可得点M坐标为， 即 ∴矩形的面积是； ②如图，以为直径作圆，则点，在圆上， 又∵点M在内或边上， ∴， 当时，过点N作轴于点B， ∵，即， 解得：， ∴； ∴点N的横坐标t的取值范围是； 【小问2详解】 解：若，当，最小， 当点N在x轴负半轴上时，b值最小，这时， ∴点N的坐标为， 代入可得：； 当时，值最大， 令，则，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 由于这时矩形不存在，故取不到， 故b的取值范围为 当时，由对称性可得， ∴b的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，新定义，圆的切线的性质，勾股定理，三角函数，一次函数能根据题意找准临界位置是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学二模模拟练习 一、选择题（本题共16分，每题2分） 1. 如图所示几何体的主视图是图中的（　　） A. B. C. D. 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一副三角板重叠放在一起，，直角顶点重合于点O．若，则的度数为（　） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，经过配方后正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①直线上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B；②以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；③作直线，则 ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（ ） A. 只有甲方案可行 B. 只有乙方案可行 C. 甲、乙方案都可行 D. 甲、乙方案都不可行 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点在轴上，，以，为边的平行四边形的边交该函数的图象于点，连接，． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于； ③点可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 10. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是____． 11. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，记录了试验过程并把结果绘制成如下表格，则符合表格数据的试验可能是______． 试验总次数 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 0.333 ①掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上； ②掷一枚质地均匀的骰子，掷得朝上的点数是3的整数倍； ③在“石头、剪刀、布”游戏中，小明出的是“石头”； ④将一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张扑克牌的花色是红桃． 12. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 13. 如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 14. 如图，、分别与相切于、两点，点为劣弧上一点，过点的切线分别交、于、两点，若，的周长为，则的半径长为__________． 15. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 16. 某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元． 三、解答题（共68分，第17—19题每题5分，第20—21题每题6分，第22—23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知：，求代数式的值． 20. 如图，在中，点在上，于点，过点作，的平行线，分别交，的延长线于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，直线经过点和． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值且大于，请直接写出的取值范围． 22. 列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 24. 如图，的边为的直径，交于点，为的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点．， （1）求证：为的切线； （2）连接交于点，若，，求的长． 25. 某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 35 58 76 89 97 100 已知模式一的剩余电量与时间的关系可以看作一次函数关系． （1）①          ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系中画出这两个函数图象； （2）充电系统通过调节充电电流（单位：安培A）来控制电量，已知两种充电模式的初始电流为10安培，且满足：剩余电量每增加，充电电流将减小0.05安培． ①充电10分钟后，模式一的充电电流为          安培； ②当两种充电模式的电流之差的绝对值不低于0.4时，对应的充电时间的取值范围为                    （保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示； （2）若，点，（）在该抛物线上，求的长； （3）记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在Rt中，，点为边上一点，．点为线段中点，将射线绕点逆时针旋转，与线段交于点，在线段上截，连接，与线段交于点，连接． （1）如图1，若，，证明：点是线段的中点； （2）如图2，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点，判断线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． （1）已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； （2）已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $