精品解析：江苏扬州市新华中学2025-2026学年第二学期第三阶段自主练习高二数学试卷

2025-2026学年度第二学期第三阶段自主练习 高二数学试卷 本试卷满分150分考试时间120分钟 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分） 1. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 2. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. 第7项 B. 第3和第4项 C. 第4项 D. 第3项 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质直接求出结论. 【详解】二项式的展开式有7项， 所以二项式系数最大的项是第4项. 故选：C 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 4. 已知函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】求导，由极小值定义得到方程，求出或6，检验后得到结论 【详解】， 在处有极小值，故， 所以，解得或6， 当时，，令得或， 令得， 所以在处取得极小值，满足要求， 当时，，令得或， 令得， 此时在处取得极大值，不合要求， 综上，. 5. 某班上午有五节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各一节课.要求数学课不排第一节，且语文与物理相邻，则不同排课方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法，特殊元素优先考虑，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理进行求解. 【详解】先将语文与物理两个进行相邻排列，有种选择， 若语文和物理作为一个整体，两个学科中有一个在第一节课的位置， 则另一个一定在第二节课的位置， 其他3个科目和3个位置可以进行全排列，故有种选择， 此时共有种选择， 若语文和物理作为一个整体，两个科目均不在第一节课的位置， 则可以安排第二，三节课或第三，四节课，或第四，五节课，共有3种选择， 此时数学不能安排在第一节课，故有2种选择， 最后再安排其他英语和化学两个学科，共有种情况， 此时共有种情况， 综上，共有种情况. 6. 设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（ ） A. 增大，先减小后增大 B. 减小，减小 C. 增大，先增大后减小 D. 减小，增大 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列表求得的表达式，即可判断其单调性，然后列出变量的分布列表，同法求得的表达式，进而得到的表达式，利用二次函数的性质即可判断的单调性. 【详解】由随机变量的分布列表可知，，故单调递增； 因随机变量的分布列如下： 0 4 P a 所以， 则． 因为，而，所以先增大后减小． 故选：C. 7. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算甲赢的概率，再由条件概率的内容求出结果即可. 【详解】比三场，甲赢的概率为； 比四场，甲第四场赢，甲赢的概率为； 比五场，甲第五场赢，甲赢的概率为； 所以甲赢的概率为， 所以甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：条件概率的公式内容为. 8. 若，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将式子进行化简构造函数，利用构造的函数得到的关系，将化为关于的函数解析式，利用求导研究函数的单调性和最值，从而求出的取值范围． 【详解】由变形可得：，即， 故； 令，则 由得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 因为，，故，故在上， 可得：，故； 令，，； 则，令，解得：； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 故，综上； 故． 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分） 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件， ，，则（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以与不互斥，A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，与相互独立，B正确； 对于C，因为，所以，C错误； 对于D，因为，又，则， 所以，，D正确. 10. 下列关于排列数、组合数的计算中，错误的是（ ） A. B. C. 若，则正整数的值是1 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由排列数公式可知，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，若，则或， 解得或，C错误； 对于D，由组合数的性质可知 ，D错误. 11. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（ ） A. B. 面 C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，因为,所以；对于B，平面平面,故平面；对于C，因为平面，所以到面的距离为到面的距离；对于D，面积是,写出t的表达式，再求最小值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 在上，过点作交于设，则, 则 选项 A：, 因为,所以，A正确; 选项 B：在正方体中，因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面，同理可证∥平面， 因为，平面，所以平面平面 因为面，故平面，B正确; 选项 C：因为平面，所以到面的距离为到面的距离，设为 等边边长，， 因为，所以， 所以到面的距离为，C 错误； 选项 D： , 所以所以 所以面积是 当,D 正确. 三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分） 12. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知方差及方差性质计算求解. 【详解】如果，，，的方差是， 则，，，的方差为． 故答案为：. 13. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意有，，由，两边同时平方，利用数量积的性质即可得出. 【详解】由条件，知，，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若过y轴上的点A至少可以作两条直线与曲线相切，则动点A的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据导数求切线方程，代入点得到与切点横坐标关系，转化为函数与直线交点问题，求导判断单调性与极值，根据交点情况确定范围，进而求轴上线段长度. 【详解】设轴上点，切点为，  由题意可得：， 设切线方程为，将代入得：  ， 将代入化简可得： ，又因为过点至少有两条切线， 所以方程至少有2个不同实根， 所以，令， 则或或，  所以根据导数符号，单调性如下： 区间 递增 递减 递增 递减 所以极大值​，，极小值， 当时，当时， 所以由方程至少2个实根，可得， 又因为在轴上，所以轨迹为轴上的线段， 长度为. 四、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共5小题，共77分） 15. 已知，．从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，完成下列问题．条件①：展开式中所有二项式系数的和为；条件②：展开式中第2项与第8项的二项式系数相等．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）求展开式中含的项的系数； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选条件①，则利用二项式系数的性质求出，再利用通项公式可求的项的系数，若选条件②，则利用组合数性质求出，再利用通项公式可求的项的系数； （2）利用赋值法可求的值. 【小问1详解】 选条件①，因为展开式中所有二项式系数的和为，故即， 而的通项公式为， 令，则，故展开式中含的项的系数为. 选条件②，因为展开式中第2项与第8项的二项式系数相等，故即， 而的通项公式为， 令，则，故展开式中含的项的系数为. 【小问2详解】 选条件①或②，由（1）均可得， 在展开式中令，则，故； 令，则即， 故. 16. 某科技公司生产精密零件，零件质量指标．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． （1）现从该公司生产零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测得其中有4个优质品，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望．附：若，则，． 【答案】（1） （2） 1 2 3 2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用独立重复试验的概率公式求解. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由，得， 则从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取2个，恰好有1个为优质品的概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 17. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为，求随机变量的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为，求随机变量的概率分布． 【答案】（1） （2），； （3） 2 3 4 5 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，再利用二项分布的期望、方差公式计算. （3）求出的可能取值，再求出各个值对应的概率并列出分布列. 【小问1详解】 设买到新款盲盒为事件，买到旧款盲盒为事件，盲盒中出现“隐藏款”为事件， 则，， 因此， 所以消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率为. 【小问2详解】 依题意，每个盲盒是否开出隐藏款相互独立， 由（1）得每个盲盒开出隐藏款的概率为，则随机变量， 所以随机变量的数学期望，方差. 【小问3详解】 当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此的可能取值为2，3，4，5，隐藏款的位置共有种等可能情况， 若，即前2个均为隐藏款，； 若，即第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏，， 若，即第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款，， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 18. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由面面夹角的余弦公式即可求解； （2）设，由线面夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 因为平面， 在菱形中，，所以，则为等边三角形， 取中点，所以，又，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 平面的一个法向量为， 得到， 设平面的一个法向量， 所以，即， 取，则，所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由题意得而点在线段上运动， 得到， 且， ， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 取，则， 所以， 设直线与平面所成角为，要使最大，即最大， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 所以当时，取到最大值， 所以当直线与平面所成角取最大值时，的值为． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，然后分和两种情况确定的单调性； （2）当时，由（1）可知在上单调递增，转化为证明，然后利用极值点偏移证明； （3）将问题转化为来求解. 【小问1详解】 的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. 【小问3详解】 ，. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第三阶段自主练习 高二数学试卷 本试卷满分150分考试时间120分钟 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，每小题5分，共40分） 1. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 2. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. 第7项 B. 第3和第4项 C. 第4项 D. 第3项 3. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. -2 5. 某班上午有五节课，分别安排语文､数学､英语､物理､化学各一节课.要求数学课不排第一节，且语文与物理相邻，则不同排课方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 96种 6. 设，随机变量的分布列如下： ξ 0 a 2 P a 当a增大时，有（ ） A. 增大，先减小后增大 B. 减小，减小 C. 增大，先增大后减小 D. 减小，增大 7. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，每小题6分，共18分） 9. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件， ，，则（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. D. 10. 下列关于排列数、组合数的计算中，错误的是（ ） A. B. C. 若，则正整数的值是1 D. 11. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（ ） A. B. 面 C. 到面的距离为定值 D. 面积的最小值为 三、填空题（将答案填写在答题卡上，每小题5分，共15分） 12. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______． 13. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 14. 已知函数，若过y轴上的点A至少可以作两条直线与曲线相切，则动点A的轨迹长度为________． 四、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，本题共5小题，共77分） 15. 已知，．从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，完成下列问题．条件①：展开式中所有二项式系数的和为；条件②：展开式中第2项与第8项的二项式系数相等．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．） （1）求展开式中含的项的系数； （2）求的值． 16. 某科技公司生产精密零件，零件质量指标．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． （1）现从该公司生产零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测得其中有4个优质品，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望．附：若，则，． 17. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3：2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为，求随机变量的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为，求随机变量的概率分布． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，且． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）若点在线段上运动（不含线段端点），且．当直线与平面所成角最大值时，求的值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，存在不相等的、，满足，证明：； （3）对任意的，恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $