2026年中考数学复习《相似三角形综合》考前适应综合练习题

**基本信息** 以相似三角形为核心，融合几何变换、函数与实际应用，通过分层题型构建“判定-性质-综合应用”逻辑链，渗透构造辅助线、动态分析等解题方法，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5|相似性质直接应用|相似比与周长/面积关系，位似图形性质| |综合探究|解答17-19|动态与多结论证明|相似与圆/旋转综合，构造全等转化问题| |实际与跨知识|单选5/填空13|实际测量与函数结合|相似建模解决高度测量，几何与反比例函数关联|

2026年九年级数学中考复习《相似三角形综合》考前适应综合练习题（附答案） 一、单选题 1.如图，△ABC与△DEF是以点0为位似中心的位似图形，若0A:OD=1:2, △ABC的周长为2，则△DEF的周长为() A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图，木棒AB竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒AB(点P在AB的垂直 平分线上且位于AB右侧)，在墙面上形成投影CD,己知AB=10cm,CD=40cm,此时 点P到AB的距离为20cm,若木棒AB不动，水平移动手机手电筒P使投影CD的长度缩短 20cm,则点P相对于木棒AB的移动方式() C A.向左平移40cmB.向右平移40cmC.向左平移20cmD.向右平移20cm 3.如图，AB为半圆0的直径，P为BA延长线上一点，AB=2PA=4,C为半圆弧上一动 点，连接PC交半圆于点D,连接BD,则△BCD面积的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，等边三角形ABC的两个顶点A,B都在双曲线y=令(k>0)上，且AB经过点O ，AC⊥x轴于点D,BC交y轴于点E.当四边形ODCE的面积为5时，k的值为() B.2 C.3 D.4 5.崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能.数学兴 趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借 助附近一棵大树EF(大树上的标志牌写着树高10.5m)测得的一些数据，可以计算出老子 铜像的高度CD约是() E A 10.5m 1.5 B 18m 79m A.50米 B.48米 C.52米 D.54米 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC0的边OC,OA分别在x轴、y轴上，OA=2, OC=4,E是边OC上一点，且CE=30E.过点E作EQ⊥AE,交∠BCD的平分线于点Q ,则点Q的坐标为() B E A.(7,4 B.(6,4) c.(7,3 D.(6,3 7.如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上， 且BE=BF,连接AC、AE、AF,过点E作EG⊥AF于点G,分别交AB、AC、DC于点 M、H、N.则下列结论：①MN=AF;②∠EAH=∠EHA:③ENBF=EC·HN; ④若BF:FC=3:4,则tan∠PAC=号.其中正确的结论是() D MG E B F A.①②③ B.①②④ c.①②③④ D.①③④ 二、填空题 8.如图，BC⊥AC,tan∠BAC=最，BC=5,E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB 交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，连接FC,当 △BCF是以BF为腰的等腰三角形时，AD的长为 F D 9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,B在反比例函数y=会(x<0)的 图象上，纵坐标分别为1,4，则k的值为· A 10.将半圆沿弦AC折叠，折叠后的AC与弦AD交于点E,已知AE=2ED,=,若 AB=2cm,则弦AC= cm. 11.如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内， 射线AF交DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点Q.若CG=3,GQ=5, 则DQ的长 12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=一x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B ,点D是△AOB内任意一点，且OD=4,则AD+BD的最小值为 B衣 13.图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具一一桔槔（égo),图2是横杆 处于水平时的示意图，OG表示支架且与地面垂直，AC,BD是固定长度的竹竿均垂直于地 面，AC=2米，横杆AB=6米，OA=30B.当竹竿与水桶的连接点C的位置低于地面 0.6米时（如图3），若∠0AC的度数为a,则∠B的度数为 (用含α的代数式表示)； 若支架0G与竹竿BD之间的距离0H是1.2米，则这个桔槔支架0G的高度为 米 O横杆 B 支 水桶0 w%水井 G 7777777777777777 (图1) (图2) (图3) 14.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发，沿线段AC向终点C匀 速运动，点Q同时从点A出发，沿折线A一B一C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达 点C,己知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接PQ.设点P运动的路程为x, △APQ的面积为y,并绘制成如图2所示的图象.则点D的坐标为 a16 图1 图2 三、解答题 15.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AF⊥AE与CB的延长线交于F,G是EF的中 点，AG的延长线与BC交于H E (1)求证：tan∠EAH=噩： 2)若AD=2AB,BH=2CH,试求的值. 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=罗的图象 交于点A(1,6),B(n-2). O 备用图 (1)求一次函数及反比例函数的表达式： (2)若P为直线AB上一动点，当AP=2BP时，求点P的坐标. 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90·,D为AB边上一点，以AD为直径的⊙O分别 与BC,AC交于点E,F.连接DE,AB,且AE平分∠BAC. 4 B D (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)求证：BE2=BD·AB: (3)若AC=6,BC=8,求⊙0的直径. 18.在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=,点D在射线BC上，连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF‖AB,交直线 BC于点F. C(D) B 图1 图2 备用图 (1)如图1，《=45·，点D与点C重合，求证：BF=AC: (2)如图2，点D,F都在BC延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明； 3)若点D与点B重合，AB=5,AC=3,请在备用图中依据题意补全图形，并求出此时线 段EF的长度； (4)若α=60·，AC=3,点D在射线BC上运动时，连接CE,直接写出线段CE的最小值. 19.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60·,点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上 的一点（点E与点B不重合）. B B 图① 图② 备用图 (1)【问题解决】如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC的度数为-，线段BP与 线段AC的位置关系是- (2)【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30·, ∠PEC=60°，判断线段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； 3)【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120·得到EF,射线EF交 射线BC于点G,若BE=2FG,AB=7,求AP的长。 20.【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称 图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个 部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC,∠DAE=45°，求证： BD2+CE2=DE2: B 图① 图② 图③ 小智是这样思考的，如图②把△ABD沿AD折叠至△ADG,连接GE,易证 △AEG≌△AEC,所以BD=DG,GE=EC,∠DGE=∠ABD+∠ACB=90°，在 Rt△DEG中由勾股定理得：GD2+GE2=DE2,所以有BD2+CE2=DE2 小慧是这样思考的，如图③把△ABD绕点A旋转至△ACF,连接EF,易证 △ADE兰△AFE,所以BD=CF,DE=EF,∠ECF=∠ACF+∠ACB=90·,在 Rt△ECF中由勾股定理得：EC2+FC2=EF2,所以有BD2+CE2=DE2 【问题迁移】Rt△AEF的直角顶点E在矩形ABCD的对角线BD上运动，斜边AF交BD于 G点，且∠BAD=2∠EAF, 图1 图2 图3 ①如图1，当AB=AD=6V2,BG=3,则BD的值为；EG的值为 【问题拓展】 ②如图2，在矩形ABCD中，∠MAN=45°，当CM=CN时，求证： ND2+MB2=MC2; ③如图3，在矩形ABCD中，∠MAN=45°，AB=V2AD,NK‖AD,请直接写出线段 ND、NK、MB的数量关系. 参考答案 1.解：：△ABC和△DEF是以点0为位似中心的位似图形， .△ABCn△DEF, 0A:0D=1:2, .△ABC与△DEF的相似比为1：2， :△ABC的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ·△DEF的周长为2×2=4 2.解：如图，过点P作PF⊥CD于点F,交AB于点E, P ABIICD, .△PAB∽△PCD,PE⊥AB, 器=器 .AB=10cm,CD=40cm,PE=20cm, :PF=PEGD =80cm, AB .EF=60cm, 移动后如图，过点P'作PF⊥CD于点F,交AB于点E, F --p D B :投影CD的长度缩短了20cm, .CD=40-20=20cm' 同理△PAB△PCD, 器=器，即品=品。 :P'E=60cm, 经检验，PE=60cm是原分式方程的根， ∴.点P相对于木棒AB向右平移了60-20=40(cm). 3.解：如图所示，连接OC,OD,延长D0到点G,使0G=OD,连接BG, 过点C作CH⊥DG,交DG于点H,过点G作GN⊥PC,垂足为N,过点B作BM⊥PC, 交PC的延长线于点M, CM :AB=2PA=4, .⊙0的半径是2，PA=2,0D=2,0G=0D=1,P0=4, 在△POD和△BOG中， ∠P0D=∠B0G,器=2，器=2， .△P0D△BOG, .∠BGO=∠PDO, :PCl BG, 又：BM⊥PC,BN⊥PC, :BM=GN, :SABCD-=iCD·BM,S△GcD=克CD·GN, :.SABCD=S△GcD, :S△Gcn=DG·CH,DG=OD+OG=3, 即SAGCD-=CH, 要使S△GCD最大，则CH最大， :在Rt△C0H中，CH≤OC=2, .当CH=0C=2时，CH=0C=2, 则S△ccD的最大值为：号×2=3， 即S△BcD的最大值为3. 4.解：：AC⊥x轴，OD⊥OE, .OEAC, 又：△ABC为等边三角形， ∴△OBE∽△ABC,即△OBE也为等边三角形， 由题意得，点A和点B关于原点对称， :.0A=0B, :OB=2AB, :△OBE∽△ABC, 胆=（器）2= 设S△0BE=X,则S△4BC=4x, 过点B作BF⊥OE于点F,如下图， :△OBE为等边三角形，且BF⊥OE, ∴OF=EF,∠0BF=支∠0BE=30°， S△0FB=S△EFB=,∠B0F=90°-30°=60°=∠0AD, 又：OA=0B,∠BF0=∠0DA=90°， .△OBF≌△AOD(AAS), ∴S△0AD=S△0FB=SAERB=高， :S△4Bc=4x,且四边形0DCE的面积为5， ·S△ABC-S△0FB-SAEFB-S△0AD=5 4x-竞-菱-变=5 警=5 解得x=2, 专0E·BF=2, OF=EF, 专×20F.BF=2 OF.BF=2, k=2 5.解：如图，延长DA、CB交于点G,设BG=xm,则FG=(x十18)m, E 10.5m 1.51h 79m 由题意可得，ABIEF II CD, .△GAB△GEF, 骆=兽，即=品 解得x=3, :BG=3m, .CG=BG+BF+CF=100(m), ABI CD, .△GAB∽△GDC, :器=器，即=品， 解得CD=50m 6.解：过点Q作QD⊥x轴于点D,则∠QD0=90°， 珠 D x :四边形ABC0是矩形，OA=2,OC=4, ∴.A0=BC=2,OC=AB=4,∠BC0=∠BCD=90°， :E是边0C上一点，且CE=30E, .0E=1,CE=3, :∠BCD=90°，CQ是∠BCD的平分线， :∠QCD=45°，△QCD是等腰直角三角形，设CD=QD=x, EQ⊥AE, .∠AEQ=90°， ∠AE0+∠QED=90°， :∠QD0=90°， :∠EQD+∠QED=90°， ∠EQD=∠AE0, 又：∠A0E=∠QD0=90°， △A0EM△EDQ, 器=部， 即喷=品， 解得x=3,且经检验x=3是原方程的解， QD=3,0D=4+3=7, Q(7,3). 7.解：如图1，过点B作BK‖EN,交CD于点K, D H MG----- EBF 图1 :在正方形ABCD中， .AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=90°，∠BAC=ACB=∠ACD=45°， ABI CD, ∴△ABC、△ADC是等腰三角形， 又：BE=BF,AB=AB, △AEB≌△AFB(SAS, AE=AF,∠AEF=∠AFE,∠BAE=∠BAF, △AEF是等腰三角形， ·EG⊥AF, ∴∠NEC+∠AFE=90°， 又：∠BAF+∠AFE=90°， ∠NEC=∠BAF, BKI EN, .∠KBC=∠NEC,∠BKC=∠ENC, .∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE, 设∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=C, :∠EAH=∠BAE+∠BAC=a+45°，∠AHE=∠HEC+∠ACB=《+45°， ·∠EAH=∠AHE,故结论②正确： ∴EA=EH,即△AEH是等腰三角形， 在△ABF和△BCK中， AB=BC ∠KBC=∠BAF ∠ABF=∠BCK △ABF≌△BCK(AAS), ∴BK=AF,∠CKB=∠AFE=∠AEF=90°-X BK EN,AB CD, :四边形BMNK是平行四边形， :MN=BK, MN=AF,故结论①正确， ∠NEC=∠BAF,∠BCD=∠ABC=90°， .△NEC∽△BAF, :器=器， EN·BF=CNAF, :∠EAH=∠AHE=∠CHN=45°+a,∠ACE=∠ACN=45°， .△AEC∽△HNC, :、=器 .CN·AE=EC·HN, AE=AF, .CN·AF=EC·HN, EN·BF=EC·HN,故结论③正确， 过点F作FP⊥AC,如图2： B F 图2 设BF=3x,由BF:FC=3:4可得FC=4x,AB=BC=7x, AF2=AB2+BF2=(7x)+(3x)2=58x2, PF=FC.SinLACB=4x.x AP=AF2-PF2=58x2-8x2=52x :a∠PAC=器=源-.数结论0正喻， 综上所述：正确结论有①②③④】 8.解：由翻折变换的性质，得AE=EF, :BC⊥AC, ÷∠ACB=90°， :tan∠BAC=,BC=5, AC=12,AB=AC2+BC2=13, 设AE=EF=x,则BF=13-2x, 分两种情况讨论： ①BF=BC时，13-2x=5,解得x=4, ·AE=4, :∠A=∠A∠AED=∠ACB=90°， ·△AED△ACB, “器=器=， AD=专AB=号， ②当BF=CF时，∠B=∠FCB, ·∠A=90o-∠B=90°-∠BCF=∠FCA, ·AP=FC=BF=AB=号； AE=AF=, :△AEDM△ACB, ·器=%=是=， :AD=0×13=器： :综上所述，AD的长为号或器. 9.解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥AD,交DA的延长线于点E, ∠E=∠AD0=90°， :四边形OABC为矩形， ∠BA0=90°， ∠EAB+∠DA0=90°， :∠EBA+∠EAB=90°， ∠DAO=∠EBA, △BAEM△AOD, 器=器， 设A(k,1),B(车，4)，则0D=-k,AD=1,ED=4, .AE=3,BE=-k, 半=， 解得k=士2， :反比例函数图象位于第二象限， .k=-2 10.解：如图所示，过点C作CF⊥AD于点F, :AB是直径， ·∠ADB=90°， ÷∠AFC=∠ADB, :∠CAE=∠DAC, =, CE=CD, :CF⊥ED, EF=ED, …器=， :=, ·∠CAF=∠DAB, :△CAF△BAD, …器=脂， 即=9， ÷AC=号cm. 11.解：：四边形ABCD是平行四边形， ·AB IICD,AB=CD,AD=BC,∠B+∠BCD=180°， :点B关于直线AE的对称点是F, ·△ABE兰△AFE, ·AB=AF,BE=EF,∠B=∠AFE, :∠EFP十∠AFE=180°， ∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=∠BCD, :点E是BC的中点， ·BE=EC, ·EF=EC, ·△EFP≌△ECQ(ASA), EQ=EP,FP=CQ,∠FQC=∠CPF, :EQ-EF=EP-EC,FQ=CP, 又：∠CGP=∠FGQ, .△CGP≌△FGQ(AAS), ∴CG=FG=3,PG=QG=5, DQ=x,CD=x+8,AB=AF=x+8,AP=AF+FP=8+x+8=16+x, :AB‖CD, ·△ABP∽△GCP, 器=带，即学=， 解得：X=4, 故DQ的长为4. 12.解：在0B上取一点M,使得0M=2,连接DM,AM,如图所示： D B 把x=0代入y=-x+6可得：y=6, .A(0,6), .0A=6, 把y=0代入y=-x+6可得：0=-x+6, 解得：x=8, .B(8,0), 0B=8, :器=异=方，器=青=， :器=器， 又：∠DOM=∠BOD, ∴△OMD△ODB, 器=器=立， MD=专BD, :AD+BD=AD+MD, 根据两点之间线段最短可知，当A,D,M三点共线时，AD+MD取得最小值，最小值为 线段AM的长， 在Rt△A0M中，AM=VOA2+0M2=V62+22=2W10 13,解：：AC⊥地面，BD⊥地面， AC‖BD. :∠0AC+∠0BD=180° :∠OAC=a,∠B=∠OBD, ÷∠B=180°-x :AB=6,OA=30B, 0B=AB=1.5,0A=AB=4.5 在Rt△0HB中，∠0HB=90°，OH=1.2, 由勾股定理得：BH=V0B2-0H2=V1.52-1.22=0.9 过点O作0F⊥AC交AC的延长线于点F,则∠OFA=90· BH 77777777 (图3) :AC⊥地面，BD⊥地面， ·ACBD .∠OBH=∠OAF. 又：∠0HB=∠0FA=90°， △OHB∽△OFA. 器=器=3 ÷AF=3BH=3×0.9=2.7 :点C的位置低于地面0.6米，AC=2, ÷点A离地面的高度为2-0.6=1.4（米). ÷0G=1.4+AF=1.4+2.7=4.1(米). 14.解：.点P从点A出发，沿线段AC向终点C匀速运动， .点P的运动路程是线段AC长度， :点Q同时从点A出发，沿折线A一B一C向终点C匀速运动， .点Q的运动路程是线段AB+BC长度， :点P、点Q同时从点A出发，同时到达点C, 运动时间相等， :点Q的运动速度为点P运动速度的2倍， .点Q的运动路程是点P运动路程的2倍， 即当点P运动的路程为x时，点Q的运动路程是2x;且AB+BC=2AC, 由图2点E可知，AC=16, .AB+BC=32, .BC=32-AB, 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2,即162+(32-AB)2=AB2, 解得AB=20,.BC=12, 当点Q在线段AB上运动时，过点Q作QH⊥AC,垂足为点H,此时点P运动的路程是 AP=x,点Q的运动路程是AQ=2x, :QH⊥AC, .∠AHQ=90o, :∠ACB=90°， ∠AHQ=∠ACB, :∠HAQ=∠CAB, :△AHQ∽△ACB, 器=器，即竖=尧，解得HQ=x, :S△4PQ=AP×HQ=x×号x=x2,即y=寻x2(0≤x≤10)， :是>0， .开口向上， 对称轴为直线x=一会=0， 0≤x≤10在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， :当x=10时，y最大，最大为×102=60： B 图1 当点Q在线段BC上运动时，此时点P运动的路程是AP=x,点Q的运动路程是 AB+BQ=2x, :AB+BC=32, .QC=(AB+BC)-(AB+BQ)=32-2x, S△4PQ=AP×QC=x(32-2x)=-x2+16x(10≤x≤16)，即 y=-x2+16x(10≤x≤16)， -1<0, .开口向下， 对称轴为直线x=一告=一将=8， 10≤x≤16在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， 当x=10时，y最大，最大为-102+16×10=60， .图2中点D的坐标为(10,60). 15,(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠BAD=∠D=90°， ∠ABF=∠D=90°， :AF⊥AE, .∠EAF=∠BAD=90°， ∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°， ∠BAF=∠DAE, ∴.△BAF△DAE, 器=器， :G是EF的中点，∠EAF=90°， .AG=EG=FG=专EF, ∠EAH=∠AEF, ∴tan∠EAH=tan∠AEF=器， :tan∠EAH=器=8器： (2)解：设AB=a,则AD=2a, :四边形ABCD是矩形， :AD=BC=2a,AB=CD=a, BH=2CH,BH+CH=BC, :CH=号，BH=号， 设CE=y,则DE=CD-CE=a-y, 由(1)得：△BAF△DAE, 器=器=暑=方， :.BF=DE= 过G作GM⊥BC于点M, G B M H :AB⊥BC,EC⊥BC, ABI GM I EC, :△GFM△EFC, 器==光=， :.GM=CE=iy,FM=FC, FC=BF+BC, :FC=号+2a=, FM=FC= :MC=FC-FM=字--， :MH=MC-CH=-等=， ·ABII GM, .△ABH∽△GMH, 器=器， 且二， 12 :a≠0， 小疗=盘，整理得：等-， 解得：y=登，经检验y=是是原方程的解， CE=登，DE=a-y=a-得=器， 器-普=. :盟的值为号 16.(1)解：一次函数y1=ax+b与反比例函数的图象交于点A(1,6),B(n,-2), ÷m=1×6=-2n, .m=6,n=-3, :反比例函数的表达式为y2=是，B(-3,-2), 把点A,点B的坐标分别代入y1=ax+b得： a+b=6 1-3a+b=-2, ∫a=2 解得：1b=4’ ÷一次函数的表达式为y=2x+4: (2)解：①当P在线段AB上时，如图1，过B点作BM‖x轴，过P点作PM⊥BM于M点， 过A点作AN⊥BM于N点. 图1 则PMIAN, 设P(a,2a+4), :PM‖AN, :△PBM△ABN, …器=器 AP =2BP, …器=船=青， …青=， 解得：a=-, ·P点的坐标为(-，)： ②当点P在AB延长线时，如图2，过B点作BE‖x轴，过A点作AE⊥BE于E点，过P点作 PF⊥AE于F点. 图2 则BE‖PF, 设P(a,2a+4), :BE‖PF, ·△ABG∽△APF, …器=器， AP =2BP, …器=恕=， “是=， 解得：a=一7， 经检验a=-7是分式方程的解，且符合题意， ÷P点的坐标为(-7，-10). 综上所述，P点的坐标为(-号)或(-7，-10)： 17.(1)证明：连接0E,如图： E B :AE平分∠BAC, ·∠CAE=∠BAE, :0A=0E, ·∠BAE=∠AE0, :∠CAE=∠AEO, ÷OE‖AC, ÷∠BE0=∠ACB=90°， ÷OE⊥BC, :0E为⊙0的半径， :BC是⊙O的切线： (2)证明：由(1)可知，BC与⊙0相切于点E, ·∠OED十∠BED=90°， :AD为⊙0的直径， ·∠AE0+∠OED=90o, :∠AE0=∠BED, :0E=0A, ·∠EAB=∠AEO=∠BED, '∠B=∠B, △BED△BAE, 鼉=脂， :BE2=BD·AB; (3)解：过点E作EML AB于点M,如图： M 在Rt△ABC中，AB=VAC2+BC=V62+82=10, :AE平分∠BAC, :EM=EC,AM=AC=6, :BM=AB-AM=4, 设CE=x,则EM=x, ·BE=8-x, 在Rt△BEM中，EM2+BM2=BE2, x2+42=(8-x2, 解得x=3, ÷EM=EC=3, BE=5, ·由(2)BE2=BD·AB, :BD=, :⊙0的直径AD=10-号= 18.(1)证明：：∠ACB=90°，∠BAC=X=45°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， :点D与点C重合，线段AD绕点A逆时针旋转2a=2×45·=90°得到线段AE, AE=AD=AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°， .∠EAB=∠ABC, .BCI‖AE, EFI‖AB, ·.四边形ABFE是平行四边形， ∴BF=AE, :BF=AC; (2)DF=2BC,证明如下： 如图，在CD上取点G,使得CG=CB,连接BE, D B G ∠ACB=90°， ∠ACG=∠ACB=90°， AC=AC,CG=CB, .△ACG≌△ACB(SAS), AG=AB,∠GAC=∠BAC=,∠AGC=∠ABC=90°-t, ∴.∠GAB=∠GAC+∠BAC=2, :线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE, ∠DAE=2,AD=AE, ∠DAE-∠GAE=∠GAB-∠GAE,即∠DAG=∠EAB, △DAG≌△EAB(SAS), DG=EB,∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-(90°-a)=90°+《， ∠FBE=∠ABE-∠ABC=90°+&-(90°-&)=2a, EFAB, ∴∠BFE=∠ABC=90°-， ∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=180°-2-(90°-a)=90°-a&, .∠BFE=∠BEF, :BF=BE :DG=BF, AG=AB,AC⊥BC, GC=BC=支BG, DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC: (3)解：如图，连接BE,过点A作AM⊥BE于点M, E B(D :∠ACB=90°，∠BAC=,AB=5,AC=3, ∠ABC=900-&,BC=VAB2-AC2=V52-32=4, :点D与点B重合，线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE ∠BAE=2a,AB=AE=5, :∠AEB=∠ABE=号(180°-2a)=90°-， :AM⊥BE, :∠AMB=90·,∠MAB=∠MAE=号∠BAE=a,BM=EM=号BE, .∠ACB=∠AMB=90°，∠BAC=∠BAM=a, AB=AB, .△ACB≌△AMB(AAS), :BC=BM=4, :BE=2BM=8, :EF‖AB ∠BEF=∠ABE=90°-《，∠BFE=∠ABC=90°-， ∠BEF=∠AEB=90°-《，∠BFE=∠ABE=90°-《， ∴△ABEM△BFE, 盖=器，即唱=品， EF=12.8. (4)解：连接DE交AB于P,连接BE, 由旋转可得，AD=AE,∠DAE=2×60°=120° :∠ADE=∠AED=180DAE=30 :∠ACB=90°，∠BAC=60⊙ ∠ABC=90o-∠BAC=309 .∠AED=∠ABC :∠APE=∠DPB △APEn△DPB, :品=開 :器=開 :∠APD=∠EPB ∴△APD△EPB ∠ADP=∠EBP=30°， 当CE⊥BE时，CE最小， D B 此时∠EBC=∠ABC+∠EBP=60 AC=3, ·在Rt△ABC中，BC=ACtn∠BAC=3V5, ∴在Rt△CBE中，CE=BC×sin∠CBB=35×号=45， 19.(1)解：：四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ·AB=BC,△ABC为等边三角形. :0是AC中点， ÷BO⊥AC,B0平分∠ABC, ·∠PBC=克∠ABC=30°，BP⊥AC (2)解：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60·得到△CBQ, :BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, ·△BEQ为等边三角形， ·∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, :点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60·, ÷∠AEB=150°，∠BEC=180°-60°=1200， ÷∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， :∠EQC=150°-60°=90°， ÷∠ECQ=90°-60°=30°， :CE=2EQ=2BE (3)解：①如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, :AH‖BC, ÷AHB=∠CBH, :∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, ·△HAB△BEG, “蜡=器， 设FG=x,则EF=BE=2X, EG=3x …器=9， ·AH=号， :AD‖BC, ·△APHM△CPB, “器=瓷， 咒=号=， :△ABC为等边三角形， AC=AB=7,AP=7×号=号； ②如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， :△BAH∽△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GP=EG=m,器=噩=器=支， AH=14, 同理：△APH~△CPB,器=器=2，AP=7×号=号， 综上：AP的长为号或号。 B 20.解：①：四边形ABCD是矩形且AB=AD=62, :矩形ABCD是正方形， ·∠BAD=90°， 又：BD是正方形ABCD的对角线， 根据勾股定理，BD=VAB2+AD2=(62)2+(62)2=12, ·∠ABD十∠ADB=90°， 把△ABG绕点A旋转至△ADH,连接EH,如图， ·BG=DH,AG=AH,∠DAH=∠BAG,∠ABD=∠ADH, ∠ADH+∠ADB=90°， :∠BAD=2∠EAF, :∠EAF=罗=450， :∠BAG+∠DAE=∠BAD-∠EAF=90°-450=45°， ·∠DAH+∠DAE=∠EAD=45°=∠EAF, 在△AGE与△AEH中 AG=AH ∠EAF=∠EAD AE-AE ·△AGE≌△AEH(SAS), ·EG=HE, 在Rt△DEH中，根据勾股定理，DH2+DE2=EH2, ÷BG2+DE2=EG2 设EG=x,则DE=BD-BG-EG=12-3-x=9-x, 32+(9-x)2=x2, 解得x=5, .EG=5. 故答案为12,5. ②延长AD、MN交于点G,将△ANG顺时针旋转90°至△AK,连接KM、JM, D ----G ,M :△ANG≌△AKJ, :∠DAN=∠BAK,AK=AN, CM=CN, ÷∠NMC=∠MNC=45°， 又：四边形ABCD是矩形， AG CM,AB=CD,AD=BC .∠G=∠DNG=∠NMC=∠MNC=45°， :DN=DG,∠AK=∠G=45°，NG=V2DN 又：BJ=AJ-AB=AG-CD=AD+DG-CD =AD+DG-(DN+NC)=AD-NC=BC-CM=BM, 即BJ=BM, ·∠BJM=45°， ÷∠KUM=∠BjM+∠AK=90°，JM=V2BM :∠MAN=45°， :∠BAK+∠MAB=∠KAM=45°=∠MAN, 在△AKM与△ANM中， AM-AM ∠KAM=∠MAN AK-AN ·△AKM≌△ANM(SAS), ÷MN=MK, 在Rt△KMJ中，由勾股定理得KM2=K2+M2, WKM2-NG2+(BM)(DN)(BM)=2DN2+2BM2. 又：MN2=2CM2, ÷2CM2=2DN2+2BM2, :.CM2=DN2+BM2. ③如图所示，将△ABM绕点A旋转至△ADP,并使得BM=V2PD, B M :四边形ABCD是矩形， :∠ABM=∠ADN=∠ADP=∠DAB=90 又：BM=V2PD,AB=V2AD, ·△ABM△ADP ·∠BAM=∠DAP, 作NR⊥AM,NQ⊥AP, ·∠NRA=∠NQA=∠NQP=90°， :∠MAN=45°， ÷∠DAN+∠BAM=∠DAB-∠MAN=45°，∠ANR=45°， ·∠DAP+∠BAM=45°=∠MAN, 又：AN=AN, ·△ARN≌△AQN(AAS), ÷NQ=NR,∠ANQ=∠ANR=45°， ÷∠RNQ=∠ANQ+∠ANR=90°， .∠KNR+KNQ=90°，∠PNQ+KNQ=90°， ÷∠KNR=∠PNQ, 又'∠KRN=∠PNQ, 在△KNR与△PNQ中， I∠KNR=∠PNQ NQ=NR ∠KRN=∠PNQ' .△KNR≌△PNQ(ASA), :KN=PN, 又：PN=PD+ND=号MB+ND, 即NK=号MB+ND.