2026年广东韶关市初中学业水平模拟测试数学试卷（二模）

2026年初中学业水平模拟测试 数学 说明：1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的相关信息，并用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前．-0.5的相反数是（ ） A．0.5 B． C．-0.5 D．5 2．科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科创品牌图标设计草图中，为中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．邓小平同志是党的第二代中央领导集体的核心，是中国改革开放和现代化建设的总设计师，1992年1月，邓小平在南巡讲话中指出：“中东有石油，中国有稀土．”稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示4400万为（ ） A． B． C． D． 4．如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（ ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 5．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是 A．的值是15 B．该组数据的平均数是17 C．该组数据的众数是16和18 D．若该组数据加入一个数17，则这组新数据的方差不变 7．如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，二次函数（，是常数）的图像的顶点在线段上，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．分解因式：________． 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13．写出一个过点的一次函数解析式________． 14．广东丹霞山因“色如渥丹，灿若明霞”而得名，是丹霞地貌的命名地，有“中国红石公园”之称，国家5A级景区、世界地质公园（2004）、世界自然遗产（2010），拥有丰富的旅游资源，核心景点包括长老峰、阳元山、锦江画廊等．陈鱼和骆晏两人相约来到韶关旅游，两人分别从长老峰、阳元山、锦江画廊三个景点中随机选择一个景点游览，陈鱼和骆晏两人同时选择长老峰的概率为________． 15．如图，在边长为的菱形中，，以点为圆心，菱形的高为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16．计算：． 17．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 18．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 莫铭：齐妙： 根据以上信息，解答下列问题． （1）莫铭同学所列方程中的表示________________________________________； 齐妙同学所列方程中的表示________________________________________； （2）在莫铭和齐妙所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________________________________； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．随着新技术新手段的广泛应用，中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新能源汽车逐渐得到了人们的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．某市对本地区2025年主要充电桩运营企业的公共充电桩数量进行了统计，绘制成如下两幅统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）将条形统计图补充完整； （2）统计图中所涉及的四家企业投放公共充电桩数量的中位数是________； （3）马鄯同学收集到这四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率． 20．如图①，“舂碓”（chōng duì）是中国传统农用工具，在《南史·侯景传》中已有应用记载；主要运用了杠杆原理将稻谷、高粱等谷物脱壳或捣碎，是古代粮食加工的重要器具，形状呈L型，将其抽象成如图②的平面图形，呈L型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，，，初始时． （1）直接写出的度数为：________； （2）如图②，求初始时点到的距离； （3）如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米（参考数据：，，） 21．综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线． 【模型】已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． 【操作】魏然和陈枫尝试用不同方法解决问题． 如图3，魏然的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点，； …… 如图4，陈枫的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图2中，矩形的周长为________； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据陈枫的作图过程，请说明图4中的直线符合要求． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．如图1，在矩形中，，对角线，交于点，是延长线上一点，连结，，已知，为半圆的直径，切半圆于点． （1）求证：； （2）求半圆的直径； （3）如图2，动点在上点出发向终点匀速运动，同时，动点从出发向终点匀速运动，且它们恰好同时停止运动．当与的一边平行时，求所有满足条件的的长． 23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值； ②设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年初中学业水平模拟测试 数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C D B B 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.2(x+3)(x-3): 12.k>-1且k≠0； 13.y=x+2(答案不唯一)； 14. 1 9 15._18v3-9元 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16.解：原式-1-2-1+月 …5分（对1个1分，全对5分) =0 …7分 17. 证明：（1)，'AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在ED上， ∴.∠ACB=∠ADF, .'∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, ∴.∠BAC=∠FAD, 在△ABC和△AFD中， ∠∠BAC=∠FAD AC-AD N∠ACB=∠ADF ∴.△ABC≌△AFD(ASA). …4分 (2)由(1)得△ABC≌△APFD, ∴.AB=AF, .BE=FE, ∴.AC⊥BF,即AC⊥BD. …7分 7 18.（1)甲队每天修路的长度： …1分 乙队修路700米所用时间 …2分 (2)选择莫铭的方程：甲队修路700米所用时间=乙队修路1000米所用时间 相等： 选择齐妙的方程：乙队每天修路的长度-甲队队每天修路的长度=30米； (文字表达正确给分) …3分 (3)解：①选择莫铭的方程70-1000 xx+30 去分母得，700(x+30)=1000x, 去括号得，700x+21000=1000x, 移项、合并同类项得，-300x=-21000, 系数化为1得，x=70, …5分 经检验，x=70是原方程的解. …6分 答：甲队每天修路70米. …7分 1000700 ②选择齐妙的方程 =30, y 去分母得，1000-700=30y, 合并同类项得，30y=300, 系数化为1得，y=10, 经检验，y=10是原方程的解， 700700 =70. y10 答：甲队每天修路70米 2 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19.解：(1)补充条形统计图如图所示： ...3分 某市各企业公共充电桩数量条形统计图 ↑数量/万台 20 15 15 12 10 10 5 0 企业 特来电 鼷 云快充其他 (2)9: ..5分 (3)画树状图如下： 开始 …:7分 由图可知，共有12种等可能得结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D” 的结果数为2， ...8分 ~抽取到的两张卡片怡好是“A”和“D”的概率为2=」 126 …·9分 20.(1)解：(1)37 ….2分 (2)解：过A作AH1MN于H, B H N M Rt△AOH中，∠A0N=∠B0M=37。,OA=40cm, .sin∠A0N=Ag=sim37°， OA ∴.AH=sin37。·0A≈0.6×40=24cm, 即点A到MN的距离约为24cm: .5分 3 (3)解：过A'作A'H'⊥MN于H', B B C MC' 由旋转可得B'C'=BC=35cm,0B'=0B=120cm,0C=0C, B'C'1A'B',0A=0A'=40cm, 六00=VBc2+0B2=V35+120=125m, ,B'C'1A'B,AH⊥MN, .∠B'=∠AH0=90°， :∠B'OM=∠AON, ∴.△B'OC'△H'OA', 8c=0c H'A'OA' 35=125 ·HA=401 解得HA'=11.2, .点A在竖直方向上上升了AH-H′A'=24-11.2=12.8cm: …9 分 21.(1)10: …2分 (2)解：如图所示，以点E为圆心E0为半径画弧，交BC于点M,延长MO交 AD于点N,线段W即为所求， A F 0y. B 图3 …5分 (3)证明：，四边形ABCD是矩形， .∴.∠B=90°，AD∥BC, .BG=AB, ∴.∠AGB=45°， .AN-MG, '.四边形AGMW是平行四边形， .∴MN/I AG, .∴.∠MMG=∠AGB=45°， .直线1是GC的垂直平分线， ∴.GM=C☑M, .∴.GM=CM=AN .BM=BC-CM,DN-AD-AN, ∴.BM=DN .AN AB+BM-CMH CD+DN, '.W把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴.直线W符合要求： …9分 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22.(1)证明：在矩形OABC中，AD=CD,∠AOC=90°， AE=CE,AD=CD ∴.DE是AC的垂直平分线，即ED LAC, .∠AOC=∠ADE=90°， 又.'∠OAC=∠DAE, ∴.△ADE∽△AOC. …3分 (2)解：如图，连结OF, ,CE切半圆于点F,则∠OFC=90°， .OC=15,OA=5, ∴.AC=VOA2+0C=V52+152=510, 4D- 由△ADBn△4OC,得AE-AD AC OA ∴.AE=CE=25,OE=20, ∴Sas=or0c-cBor,即：OrOC.02-12, CE .半圆0的直径为24. …7分 C B M (3)解：：CF=Dc2-OF=9,EF-16,M=8,n∠0BC 5， ,P,Q同时出发且同时到达终点， CP CF 9 3 ·M0MN248' ∴.设CP=3x,MQ=8x,EP=25-3x,EQ=8+8x, …8分 情况1：PQ∥BD,如图，作PR⊥N于点R, M O RO A ∴.tan∠RQP=tan∠AOB=tan∠OAC=3, ∴.PR=3QR, ·PR=EP,sim∠oEC=5，B=P.cos<OEC=00-2x 5 :QR=ER-20=100-12x-(8+8x)=60-52x 5 5 :75-9x3(60520,解得x= 5 5 ’ 6 :M0=8x=7 0 …10分 情况2：PQ∥AD,如图，此时EP=EQ,则25-3x=8+8x, 17 ..X= 11 M0=8r=136 11· …11分 C B E M OO A 情况3：PQ∥AB,如图，此时PQ⊥MN,则EP.cos∠OEC=EQ, :号25-30)8-8，样将月 M0=8r=120 13’ …12分 综上所述阳的长为40,136或120 一或 7’11号 …13分 .13 B E M QOA 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，切线的性质，解直角 三角形，圆的对称性，连接圆心与切点构造直角三角形是解决问题的关键. 23.(1)解：将点B(6,1)的坐标代入反比例函数表达式y=得：k=1x6=6, 一反比例函数的表达式为：y=6, 当x=2时，y=3, ∴.点D在反比例函数图像上， .该函数为矩形ABCD的“友好函数”： …4分 (2)解：①将点A(1,2)的坐标代入正比例函数表达式=x得a=2, 7 ∴.正比例函数表达式为y=2x, :正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， .点C在直线y=2x上， 设点C(,2m),则B(,2),D(1,2m), .AB=-1,BC=2m-2: ·将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E,点E落在y轴上， .AE=AB=Im-1,CE=BC=2Im-2,∠BCO=∠ECO, 延长BA交y轴于F, :四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90°，BC∥AD, AD∥y轴， .∠EFA=∠DAB=90°，BC∥y, ∠BCO=∠EOC, :∠BCO=∠ECO, ∴.∠EOC=∠ECO, ∴.OE=CE=2m-2, .AB∥x轴， ∴.F(0,2),AF=1, .OF=2, .EF=OE-OF=2m-2-2=2m-4, 在Rt△AEF中，AF2+EF2=AE2, 1+(2m-4)2=(m-1)2, 解每：m或m=2, .AE>AF, .m-1>1, .m>2, 8 m=3' 当m=时， 8 B 2 3 把得]入反比制函致-得， 3 …8分 ②当OC>OA时，即m>1, 将点Bm2)的坐标代入反比例函数表达式得k=2,即m= k .AB=m-1,BC=22-2, ∴.y=2(AB+BC)=6m-6=3k-6, >1, k>2, .当k>2时，y=3k-6, 当OC<OA时，即0<k<2时，如图， B 0 设点C(m,2m,则B(m,2),D1,2m), .AB=1-m,BC=2-2m; 将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得k=2m,即m= 2 .y=2(AB+BC）=6-6m=6-3k, .当0<k<2时，y=6-3k, (6-3k(0<k<2) 综上所述，y=3k6(k>2) 或y=6-3 …12分 ③ 8-3 …14分 当0<k<2,月y=6-3设=4时，解得号，则m号 3 9 4 4=1-m=BC=2-2m 3 =ABC-f号 当k>2,且y=3认-6=4时，解得素= 3,则m 5 小AB=m-1 3BC-2m-2=4 ∴S1=AB.BC= 248 339' 0<k<2,且y=6-3k=8时，解得飞=，不符合题 当>2，且-3站-6-8时，解得太-华，则加-写， AB=1-1=3,BC=2m2s& ∴.S2=AB·BC= 4832 33=9 8-=号8 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和 判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解， 运用分类讨论思想是解题的关键： 10