辽宁省实验中学2025-2026学年高三下学期模拟预测数学试卷

数学科试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．为纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D． 3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列的前项和为，且，，则（ ） A．162 B．243 C．384 D．512 5．已知，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在三棱锥中，、、两两垂直，，在侧面上，在棱上，，为中点．则点的轨迹把三棱锥分成两部分的体积之比为 A． B． C． D． 8．已知函数（，），若满足条件：，，且在上单调，则的最大值为 A．8 B．7 C．6 D．5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 9．下列等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的有（ ） A．存在实数使得为偶函数 B．的导函数满足 C．函数存在两个极小值点 D．方程存在5个不同的实根且 11．如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，连接，并延长分别交于，两点，连接，与的面积分别记为，，则在下列命题中，正确的为（ ） A．若记直线，的斜率分别为，，则的大小是定值为 B．的面积是定值 C．线段，长度的平方和是定值5 D．设，则 第Ⅱ卷（非选择题满分92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为________． 13．学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有人，则数学成绩超过100分的人数大约为________． 14．已知数列中，，正项数列的前项和为，且，若，则的最大整数值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， （Ⅰ）若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； （Ⅱ）假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 16．（本小题满分15分） 记中的内角，，所对的边分别为，，，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）设为边的中点，且，若边上的高为，求的面积． 17．（本小题满分15分） 已知函数，． （Ⅰ）求在内的单调性； （Ⅱ）若存在，使得，求实数的取值范围； 18．（本小题满分17分） 四面体满足，，两两垂直 （Ⅰ）点在面内的正投影是的什么心？请给出证明． （Ⅱ）设点为的外心，为的外接圆半径，设，，． （ⅰ）请写出与，，的关系（用，，表示）． （ⅱ）求证：为定值． 19．（本小题满分17分） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆，并在圆外取一定点； 步骤2：把纸片折叠，使得点折叠后与圆上某一点重合； 步骤3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕． 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓． 若取一张足够大的纸，画一个半径为的圆，并在圆外取一定点，，按照上述方法折纸，点折叠后与圆上的点重合，折痕与直线交于点，的轨迹为曲线． （Ⅰ）以所在直线为轴建立适当的坐标系，求的标准方程； （Ⅱ）设的中点为，若存在一个定圆，使得当的弦与圆相切时，上存在异于，的点，使得，且直线，均与圆相切． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求四边形面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷答案 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．C 8．D 9．AC 10．AC 11．ACD 12． 13．800人 14．88 15．解析：（Ⅰ）依题意可知，， ， （Ⅱ）依题意，随机变量可取1，2，3，…， 16．解析：（Ⅰ）． （Ⅱ）的面积． 17．解析：（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减． （Ⅱ）． 18．解析：（Ⅰ）为三角形的垂心； （Ⅱ）（ⅰ） （ⅱ）． 19．解析（Ⅰ）故的方程为．（Ⅱ）（ⅰ）略；（ⅱ）四边形的面积的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $