期末考试必考题型（四）——实数、方程组与不等式综合压轴（3大考点6类题型）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（四）——实数、方程组与不等式综合压轴（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】实数 1 【考点二】二元一次方程组 1 【考点三】不等式与不等式组 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】实数性质与二元一次方程组综合（6题） 2 【题型 2】方程组的解满足不等式（组）（6题） 6 【题型 3】不等式组整数解结合方程组（6题） 11 【题型 4】方程组与不等式组实际应用（6题） 19 【题型 5】无理数估算与不等式组综合（6题） 26 【题型 6】平面直角坐标系+二元一次方程组 + 一元一次不等式（组）综合（6题） 30 一.必考点知识回顾 【考点一】实数 1、核心概念类考点 （1）平方根、算术平方根、立方根的定义与性质；（2）无理数的识别与估算；（3）实数的分类运算类考点；（4）实数的混合运算、利用平方根与立方根解方程。 【考点二】二元一次方程组 1、基础解法考点 （1）代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；（2）三元一次方程组的基础解法（消元思想的延伸，部分压轴题会涉及） 2、拓展含参考点 （1）方程组的解的判定（无解、有唯一解、有无数解的条件）；（2）含参方程组的 “同解问题”（两个方程组有相同的解，求参数值）；（3）含参方程组的 “错解问题”（看错系数导致解错误，反求参数）；（4）整体思想的应用。 【考点三】不等式与不等式组 1、基础性质考点 （1）不等式的基本性质（易错点：两边乘负数时不等号方向改变）；（2）一元一次不等式（组）的解法及解集在数轴上的表示。 2、拓展含参考点（压轴题核心） （1）含参不等式（组）的解集讨论（已知解集求参数范围，如 “不等式组无解、有解，求参数”）；（2）不等式组的整数解问题（已知整数解的个数，求参数范围，期末高频难点）；（3）不等式的实际应用。 二.必考题型精析 【题型 1】实数性质与二元一次方程组综合（6题） 1．（2024·山东临沂·一模）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，得到关于，的方程组，再用代入消元法求解方程组，得到，的值，即可求得的值，再根据立方根的定义即可求解． 解：是二元一次方程组的解 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ， 的立方根为， 的立方根为， 故选：D． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、立方根的求法是解题的关键． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知关于，的方程组，则的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求立方根．先求出二元一次方程组中，的值，再求的立方根． 解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故， 的立方根是． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）已知，则的立方根为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值及立方根的定义，根据非负数的性质得到关于的二元一次方程组，求出的值，进而得到的值，再根据立方根的定义求解即可． 解：∵， ∴，即， ∴得，， ∴， ∵， ∴的立方根为2． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知点，现在将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度，得到点，则的立方根为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了点的平移规律、二元一次方程组、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的规律算出和的值，再算的立方根． 解：平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 相当于将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 即可得到， ∴有， 整理得：， 解得：， ∴， ∴的立方根为． 故答案为： ． 5．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是平方根等于本身的数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据算术平方根的定义和立方根的定义得出方程组，求出解即可，再根据平方根等于本身的数是0解答； （2）将三个字母的值代入待求式，并求出值，再根据平方根定义解答． 解：（1）解：因为的算术平方根是3， 所以； 因为的立方根是2， 所以，即， 联立，得， 解得． 因为c是的平方根等于本身的数， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以16的平方根是． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，或0；（2）当时，平方根为；当时，平方根为． 【分析】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意、理解相关定义是解题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义列出关于a、b的二元一次方程组即可求出a，b的值，再根据算术平方根的意义确定c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 解：（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2， ∴，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴或0， ∴，，或0． （2）解：当，，时，则，所以的平方根为； 当，，时，则，所以的平方根为． 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 【题型 2】方程组的解满足不等式（组）（6题） 1．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若关于、的二元一次方程组的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键，利用整体的思想进行计算可得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 解：， 得：， 解得：， ， ， ， 解得：， 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式，将方程组两个方程相加，得到，结合得到，求解即可． 解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴， 即， 则， 解得：， 故选：D． 3．（2026·山东临沂·一模）已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 4．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得出，，根据方程组的解都为正数，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解． 解： 得：，解得 得：，解得 因为、都为正数，所以： 解得： 5．（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值等知识点，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得一个关于a的一元一次不等式组，然后解不等式组即可得； （2）设，根据（1）的方法求解即可； （3）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得，然后将代入所求式子，根据绝对值运算进行化简即可得． 解：（1）， ①②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得， 由得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则的取值范围是； （2）设， 得： 解得 得： 解得 x （ 8， y （ 4， ， 解得 故取值范围为； （3）， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 由得：， 由得：， 则， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于，的二元一次方程组中，，，求的取值范围． 分析：在关于，的二元一次方程组中，利用参数的代数式表示，，然后根据，列出关于参数的不等式组即可求得的取值范围． 解：由解得，又因为，，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，，求的取值范围． ②已知，在关于，的二元一次方程组中，，，化简含有绝对值的式子（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可； （2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；②解方程组得：，根据，，可得，结合，进行化简即可． 解：（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． （2）解：①设， 构成方程组得：， 解得， ∴， 解得：， ∴． ②解方程组得：， ∵x，， ∴， 解得：， ∵ ∴ ． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键． 【题型 3】不等式组整数解结合方程组（6题） 1．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的整数解，解二元一次方程组得到或或，由不等式组有且仅有四个整数解得或或，即可得到所有满足条件的的和，正确掌握解方程组的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 解：由， 得：， ∵二元一次方程组的解为正整数， ∴或或， 由得， ∵关于的不等式组有且仅有四个整数解， ∴，解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴所有满足条件的的和为， 故选：． 2．（24-25八年级上·重庆渝中·开学考试）若整数a使关于x的一元一次不等式组有且只有3个正整数解，且使关于x，y的二元一次方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数a的值的和为（    ） A．12 B．15 C．18 D．22 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解二元一次方程组以及方程组的解，理解题意，正确得到关于a的不等式（组）是解答的关键．先解一元一次不等式组，再根据已知解的情况得到关于a的不等式组，进而得到a的取值范围；再解二元一次方程组，进而根据解的情况得到关于求得a值，进而求解即可． 解：解不等式组得， ∵不等式组有且只有3个正整数解， ∴，解得； 解方程组，得， ∵方程组的解是整数， ∴a的值为6，7，9， ∴所有满足条件的整数a的值的和为， 故选：D． 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 【答案】1 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有2个整数解确定a的取值范围，再解二元一次方程组，根据解为自然数筛选出符合条件的整数a，统计个数即可． 解：由题意得，， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 不等式组至少有2个整数解， ， 解得， 由题意得，， 得： 解得， 将代入得：， 方程组的解为自然数，a为整数，若为负因数，则n为负数，不是自然数， ∴是8的正因数， 又∵8的正因数为， ∴对应整数a的值为， ∵， ∴， 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，m不是自然数，不符合； 当时，，，均为自然数，符合； 综上所述，满足条件的整数a只有1个． 【点拨】本题融合不等式组整数解与方程组自然数解，通过解集范围限定、因数分析与逐值验证，考查了分类讨论、转化化归思想及对自然数概念的精准把握． 4．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组： 任务： （1）直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______． （2）应用整体思想完成练习中题目的解答． （3）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）5，；（2）；（3） 【分析】本题考查了整体思想解二元一次方程组，一元一次不等式，理解“整体思想”是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2），得，，得，然后联立，即可得到答案； （3）由得，即，然后解不等式即可． 解：（1）解：5，，理由如下： 得，①-②得， 故答案为：5，； （2）解：， ，得， ，得， 则 ，得， ，得， 原方程组的解为； （3）解：，理由如下： 由 得，即． ， ，解得． 6．（24-25七年级下·云南丽江·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． （1）请你写出方程的正整数解：_____； （2）七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ （3）试求方程组的正整数解； （4）若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】（1）；（2）有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支；（3）；（4），，． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式组，二元一次方程的整数解，正确利用已知正整数解这一条件是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）购买了笔记本本，钢笔支，则，得，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，然后仿照题例即可求解； （）由，则得，，所以，把代入得，，然后求出的值并检验即可． 解：（1）解：由，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴， 将代入，得， ∴的正整数解为， 故答案为：； （2）解：购买了笔记本本，钢笔支， ∴，得， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数， 又∵， ∴或， ∴或， ∴有两种购买方案：方案一：购买笔记本本，钢笔支；方案二：购买笔记本本，钢笔支； （3）解：， 得，， 同理得或， 代入①中，得（舍去）或， ∴方程组的正整数解为； （4）解：， 得，， ∴， 把代入得，， ∵解是正整数， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或， ∴整数的值为，，． 【题型 4】方程组与不等式组实际应用（6题） 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车；（3）购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 解：（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 20．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】（1）每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元；（2）该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 解：（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 21．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． （1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； （2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】（1）快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元；（2）160件或161件或162件或163件或164件 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 解：（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 22．（25-26八年级下·四川达州·期中）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司如何购买使总费用最少？最少总费用是多少万元？ 【答案】（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元；（2）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆时总费用最少，最少总费用为1100万元 【分析】（1）设购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元，根据“A型公交车辆，B型公交车辆，共需万元；A型公交车辆，B型公交车辆，共需万元”可列出二元一次方程组解决问题； （2）设购买A型公交车辆，则B型公交车辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过万元”和“辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次”可列出不等式组，求出，，，分别求出各种购车方案总费用，再根据总费用作出判断． 解：（1）解：设购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得． 答：购买A型公交车每辆需万元，购买B型公交车每辆需万元． （2）解：设购买A型公交车辆，则B型公交车辆， 由题意得，， 解得：， 所以，，； 则，，； ∴购买A型公交车辆，B型公交车辆：（万元）； 购买A型公交车辆，则B型公交车辆：（万元）； 购买A型公交车辆，则B型公交车辆：（万元）． ∴购买A型公交车辆，则B型公交车辆总费用最少，最少总费用为万元． 23．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ （3）在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件；（2）至少需要购买67个“滨滨”摆件；（3）能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 解：（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 24．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】（1）A型50元，B型100元；（2）A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 【题型 5】无理数估算与不等式组综合（6题） 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）估算的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． 先估算出的值的范围，然后再估算出的值的范围即可解答． 解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）估算的大小是（   ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题用夹逼法估算无理数的大小，先找到与28相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的范围即可. 解：因为， 所以，即， 不等式两边同时减1，得， 即， 所以的大小在4与5之间. 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可． 解：因为，所以， 因此， 于是，即， 故的值在整数2和3之间， 所以． 故答案为：2． 4．（2023·河南新乡·三模）估算：写出一个与接近的整数是__________． 【答案】5或6（写出一个即可，答案不唯一） 【分析】估算出值后即可得出答案． 解：， ， 即， ，即 故答案为：5或6（写出一个即可，答案不唯一）． 【点拨】本题考查无理数的估算，结合已知条件求得是解题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题： （1）我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； （2）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________； ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； ③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根． 【答案】（1）；（2）①4，；②1；③． 【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）①求出，进而可得答案； ②根据，，求出a，b的值，然后代入计算即可； ③估算出的取值范围，求出x，y的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； ②∵，， ∴，， ∴，， ∴； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 【点拨】本题考查了无理数的估算，算术平方根和平方根的意义，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． 6．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______； （2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值； （3）任务三：，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1）3，；（2）2；（3） 【分析】本题考查了无理数的估算和相反数，算术平方根． （1）结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 解：（1）解：∵，即， ∴的整数部分为3，的小数部分为； 故答案为：3，； （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为4，即； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵其中x是整数，且， ∴，， ∴的相反数． 【题型 6】平面直角坐标系+二元一次方程组 + 一元一次不等式（组）综合（6题） 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限． 解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限； 当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限； 当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限； 当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限． 故选B． 2．（24-25七年级下·重庆合川·期末）已知关于x、y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（   ） ①当时，方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的第二象限； ②x，y均为正整数的解有且只有1对； ③若x和y互为相反数，则； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，解一元一次不等式组． 分别验证四个结论的正确性： 结论①：代入解方程组，判断坐标所在象限；结论②：解出x、y关于m的表达式，分析正整数解的唯一性；结论③：利用代入方程组，解关于m的方程；结论④：通过的条件转化为不等式，求解m的范围． 解：结论①：当时，方程组变为 解得，对应点在第一象限，故①错误； 2. 结论②：解方程组得，要求x、y均为正整数，需满足：是7的倍数，是14的倍数， 解得唯一解时，，故②正确； 3. 结论③：由题意得，，则， 解得：，故③正确； 4. 结论④：由得不等式或， 解集为或，故④错误， 综上，正确的结论为②和③，共2个， 故：选B． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）平面直角坐标系中的点在第四象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m有______个． 【答案】2 【分析】先求出点在第四象限，m的取值范围，再求出关于x的不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，得，综合m的取值范围，即可得答案． 解：点在第四象限， ， 解得：， 关于x的不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 关于x的不等式组有且只有4个整数解， ， 解得：， 符合条件的整数m有：2，3， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了平面直角坐标系，不等式组的解法，不等式组的整数解，解题的关键是熟练地解不等式组． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法正确的是______（填序号）． ①内错角相等，两直线平行；②的平方根是；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，则点P的坐标为；⑤若在平面直角坐标系内，点的坐标满足，则点P表示原点；⑥已知关于x，y的二元一次方程组，无论a取什么实数，的值始终不变． 【答案】①④⑥ 【分析】根据平行线的判定，判断①，平方根的定义判断②，平行公理判断③，点到坐标轴的距离，结合点P的位置，判断④，根据，得到点在坐标轴上，判断⑤，求出方程组的解，进而求出的值，判断⑥． 解：内错角相等，两直线平行；故①说法正确； 的平方根是；故②说法错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故③说法错误； 若点P在x轴上方，y轴左侧，则点在第二象限，点P到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，则点P的坐标为；故④说法正确； 若在平面直角坐标系内，点的坐标满足，则点P在坐标轴上；故⑤说法错误； 解，得：， ∴，与的值无关；故⑥说法正确； 故答案为：①④⑥． 【点拨】本题考查平行线的判定，平行公理，平方根，求点的坐标，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）已知是平面直角坐标系中的一点． （1）若点A在y轴上，求a的值； （2）若点A在第二象限，求a的取值范围； （3）若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求解即可； （2）在第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此列式求解即可； （3）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 解：（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，可知该方程无解， 解方程得； 综上所述，． 6．（24-25七年级下·河南商丘·期末）综合与实践 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“平面直角坐标系中点的变换”主题下设计的问题，请你解答． 观察发现 （1）在平面直角坐标系中，将点变换为（k，b为常数），我们把这种变换称为“k变换”．当时，点经过“k变换”得到的点的坐标为________． 探究迁移 （2）已知点，，经过“k变换”的对应点分别是，，．若点，且，，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标变换、二元一次方程组的应用、坐标与图形、代数式求值等知识点，掌握“k变换”的定义以及正确列出关于m、n的方程组成为解题的关键． （1）直接根据“k变换”的定义求解即可； （2）先根据“k变换”的定义求得，即；进而求得点B、、；由题意可知轴，点M，N的横坐标相等，易得①；再说明②，由①②得到关于m、n的方程组求解，然后求出的值即可． 解：（1）由“k变换”可知：，即 （2）∵点经过“k变换”的对应点是， ∴，解得：， ∴点经过“k变换”得到点． ∵点经过“k变换”的对应点是， ∴，解得：， ∴，，， ∴点B的坐标为，点的坐标为， ∴点经过“k变换”的对应点是． ∵，点， ∴轴，点M，N的横坐标相等， ∴①， ∴，． ∵， ∴MN=8． ∴②． 联立①②，得或， 解得或． ∴或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）——实数、方程组与不等式综合压轴（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】实数 1 【考点二】二元一次方程组 1 【考点三】不等式与不等式组 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】实数性质与二元一次方程组综合（6题） 2 【题型 2】方程组的解满足不等式（组）（6题） 3 【题型 3】不等式组整数解结合方程组（6题） 4 【题型 4】方程组与不等式组实际应用（6题） 6 【题型 5】无理数估算与不等式组综合（6题） 7 【题型 6】平面直角坐标系+二元一次方程组 + 一元一次不等式（组）综合 9 一.必考点知识回顾 【考点一】实数 1、核心概念类考点 （1）平方根、算术平方根、立方根的定义与性质；（2）无理数的识别与估算；（3）实数的分类运算类考点；（4）实数的混合运算、利用平方根与立方根解方程。 【考点二】二元一次方程组 1、基础解法考点 （1）代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；（2）三元一次方程组的基础解法（消元思想的延伸，部分压轴题会涉及） 2、拓展含参考点 （1）方程组的解的判定（无解、有唯一解、有无数解的条件）；（2）含参方程组的 “同解问题”（两个方程组有相同的解，求参数值）；（3）含参方程组的 “错解问题”（看错系数导致解错误，反求参数）；（4）整体思想的应用。 【考点三】不等式与不等式组 1、基础性质考点 （1）不等式的基本性质（易错点：两边乘负数时不等号方向改变）；（2）一元一次不等式（组）的解法及解集在数轴上的表示。 2、拓展含参考点（压轴题核心） （1）含参不等式（组）的解集讨论（已知解集求参数范围，如 “不等式组无解、有解，求参数”）；（2）不等式组的整数解问题（已知整数解的个数，求参数范围，期末高频难点）；（3）不等式的实际应用。 二.必考题型精析 【题型 1】实数性质与二元一次方程组综合（6题） 1．（2024·山东临沂·一模）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知关于，的方程组，则的立方根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）已知，则的立方根为_____． 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知点，现在将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度，得到点，则的立方根为_______． 5．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是平方根等于本身的数． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【题型 2】方程组的解满足不等式（组）（6题） 1．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若关于、的二元一次方程组的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·山东临沂·一模）已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 4．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 6．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于，的二元一次方程组中，，，求的取值范围． 分析：在关于，的二元一次方程组中，利用参数的代数式表示，，然后根据，列出关于参数的不等式组即可求得的取值范围． 解：由解得，又因为，，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，，求的取值范围． ②已知，在关于，的二元一次方程组中，，，化简含有绝对值的式子（结果用含的式子表示）． 【题型 3】不等式组整数解结合方程组（6题） 1．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知整数使得关于的二元一次方程组的解为正整数，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则所有满足条件的的和为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆渝中·开学考试）若整数a使关于x的一元一次不等式组有且只有3个正整数解，且使关于x，y的二元一次方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数a的值的和为（    ） A．12 B．15 C．18 D．22 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于m，n的二元一次方程组的解为自然数，则所有满足条件的整数a的个数为________． 4．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组解方程组： 解： 得，①②得， 则解得 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“”和“”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组： 任务： （1）直接写出研究报告中“■”处空的内容为______，“▲”处空缺的内容为______． （2）应用整体思想完成练习中题目的解答． （3）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出k的取值范围． 6．（24-25七年级下·云南丽江·期末）阅读下列材料，然后解答问题： 我们知道解二元一次方程组的方法是消元法，即将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解． 我们也知道二元一次方程的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解．下面是求二元一次方程的正整数解的过程： 由，得． ∵，均为正整数，∴，． ∵为正整数，即为正整数， ∴为的倍数． 又∵，∴． 将代入，得， ∴的正整数解为． （1）请你写出方程的正整数解：_____； （2）七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为元，钢笔的单价为元，则有哪几种购买方案？ （3）试求方程组的正整数解； （4）若关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【题型 4】方程组与不等式组实际应用（6题） 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． （1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ （3）已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 3．（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． （1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； （2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 4．（25-26八年级下·四川达州·期中）为保护环境，我市某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元：若购买A型公交车3辆，B型公交车2辆，共需600万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司如何购买使总费用最少？最少总费用是多少万元？ 5．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 （1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； （2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ （3）在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【题型 5】无理数估算与不等式组综合（6题） 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）估算的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）估算的大小是（   ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．不能确定 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______． 4．（2023·河南新乡·三模）估算：写出一个与接近的整数是__________． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题： （1）我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）； （2）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________； ②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； ③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根． 6．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______； （2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值； （3）任务三：，其中是整数，且，求的值． 【题型 6】平面直角坐标系+二元一次方程组 + 一元一次不等式（组）综合 1．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25七年级下·重庆合川·期末）已知关于x、y的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（   ） ①当时，方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系的第二象限； ②x，y均为正整数的解有且只有1对； ③若x和y互为相反数，则； ④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）平面直角坐标系中的点在第四象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m有______个． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法正确的是______（填序号）． ①内错角相等，两直线平行；②的平方根是；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，则点P的坐标为；⑤若在平面直角坐标系内，点的坐标满足，则点P表示原点；⑥已知关于x，y的二元一次方程组，无论a取什么实数，的值始终不变． 5．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）已知是平面直角坐标系中的一点． （1）若点A在y轴上，求a的值； （2）若点A在第二象限，求a的取值范围； （3）若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 6．（24-25七年级下·河南商丘·期末）综合与实践 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“平面直角坐标系中点的变换”主题下设计的问题，请你解答． 观察发现 （1）在平面直角坐标系中，将点变换为（k，b为常数），我们把这种变换称为“k变换”．当时，点经过“k变换”得到的点的坐标为________． 探究迁移 （2）已知点，，经过“k变换”的对应点分别是，，．若点，且，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $