七年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（11类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

七年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（12类题型） 人教版七下数学期末解答题分代数、几何、统计三类。代数重运算与实际应用，几何重推理证明及图形变换，统计重图表分析与数据处理。本专题使用人教版期末地区期末考题型特点精选细编出两大部分十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】实数及其简单的运算（6题）....................................................................................................1 【题型二】解二元一次方程组（6题）........................................................................................................5 【题型三】解一元一次不等式（5题）......................................................................................................12 【题型四】二元一次方程组与一元一次不等式综合（5题）..................................................................15 【题型五】几何推理与证明（6题）..........................................................................................................20 【题型六】二元一次方程组的应用（5题）..............................................................................................27 【题型七】一元一次不等式的应用（5题）..............................................................................................32 【题型八】平面直角坐标系与几何问题（5题）......................................................................................36 【题型九】数据的收集、整理与描述（5题）..........................................................................................42 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】二元一次方程组探究性压轴题（2题）..................................................................................48 【题型十】不等式与不式组探究性压轴题（2题）..................................................................................53 【题型十一】相交线与平行线压轴题（5题）..........................................................................................55 【题型十二】平面直角坐标系中的几何压轴题（5题）..........................................................................66 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】实数及其简单的运算（6题） ★1．（24-25七年级下·山东德州·期中） （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算乘法、化简绝对值，再计算加减即可； （2）方程整理得到，直接开平方得到，进而求解，即可解题． 解：（1） ； （2） 整理得：， 直接开平方得：， 解得：或． ★2．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）计算或求的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握平方根、立方根的意义是解答本题的关键． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）先计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算除法，最后计算加减即可． 解：（1）解：，   ， ， ， ； （2）解：原式 ． ★3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查实数的混合运算，立方根，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，然后根据实数的加减运算进行计算即可求解； （2）先算乘方与开方，再算乘除，后算加减，即可解答． 解：（1）解： ； （2）解： ． ★4．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查的是实数的混合运算，求解算术平方根，立方根，掌握以上运算的运算方法是解题的关键． （1）先分别求解算术平方根与立方根，再合并即可得到答案； （2）先化简算术平方根与绝对值，再合并同类即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． ★★5．（24-25七年级下·天津·期中）已知正数的两个平方根分别为和，的整数部分为．求 （1），，的值； （2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，代数式求值，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解得，求出，由得到，得出； （2）将代入计算即可． 解：（1）解：正数的两个平方根分别为和， ， 解得， ， ， ， 的整数部分为， ； （2）解：， ． ★★6．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． （1）直接写出a，b，m的值； （2）求的平方根； （3）若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 解：（1）解：∵a的平方根是它本身， ∴， ∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：； （2）解：∵，，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是； （3）解：∵，， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 【题型二】解二元一次方程组（6题） ★1．（24-25七年级下·四川南充·期中）用指定的方法解下列方程组： （1）（代入法） （2）（加减法） 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握消元的方法． （1）运用代入法解答即可； （2）运用加减法解答即可． 解：（1）解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：③， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． ★★2．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法，灵活运用适当的方法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先将第二个方程去分母，再应用加减消元法，求出方程组的解即可． 解：（1）解： ①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解： 方程①去括号，整理得：③ 方程②去分母，整理得：④， ④×2③得：， 把代入④得：， 解得：， ∴方程组的解为． ★★3．（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程组： （1） （2） 【答案】（1） ； （2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解：， 由①得， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． ★★4．（24-25八年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： （1）求出正确的，的值； （2）求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值． 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程中求出，把乙求出的方程组的解代入方程中，求出的值即可； 由（1）可得原方程组为，解方程组求出正确的、的值，再把求出的正确的解代入代数式中求值即可． 解：（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得原方程组为， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 解得原方程组的正确解为， ． ★★5．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）请求出这个相同的解； （2）求a，b的值； （3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）正确，理由见分析 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组． （1）联立，利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入含有a，b的方程得到方程组再求解即可； （3）将代入原方程，可得恒等式，进而与m无关，即可得出结论． 解：（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得， 这个相同的解是； （2）解：将代入含有a，b的方程得： ， 解得：， ∴a，b的值分别为6，4； （3）解：正确，理由如下： 将代入中，得： ， ∴无论m取何值，都是方程的解． ★★6．（2023七年级上·全国·专题练习）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． ★【题型三】解一元一次不等式（5题） 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组， （1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解：（1）解：     数轴表示如下： （2）解： 解①得：，         解②得， 不等式组的解为：． ★★2．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）解下列一元一次不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） 【分析】本题考查求一元一次不等式和一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是关键． （1）移项，系数化1即可求解； （2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可求出解集． 解：（1）解：， 移项得， ∴， 解得：； （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． ★3．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集． （1）； （2）． 【答案】（1），详见分析；（2），详见分析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式（组）的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，会在数轴上表示不等式（组）的解集． （1）根据解一元一次不等式的方法解答，并把解集表示在数上即可； （2）根据解一元一次不等式组的方法解答，并把解集表示在数上即可． 解：（1）解： 不等式两边同乘以6，得， 去括号得，， 移项及合并同类项，得 ∴原不等式的解集是， 在数轴表示如图所示， （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 在数轴上表示如图所示， ★★4．（20-21八年级下·广东深圳·期末）解不等式（组） （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的正整数解． 【答案】（1），在数轴上表示见分析；（2）不等式组的正整数解为3，4． 【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化1，在数轴上表示解集 （2）解不等式①，②得解集，取不等式组公共解，再求整数解捐款 解：（1）去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的解集为， 在数轴上表示如图所示： （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解为3，4． 【点拨】本题考查解一元一次不等式与解不等式组，掌握解一元一次不等式方法与步骤，会用数轴表示解题，解不等式组，会求公共解与整数解是解题关键． ★★5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）（1）解不等式，并将解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并写出它的所有的正整数解． 【答案】（1），数轴见分析；（2），不等式组的正整数解为1，2，3，4 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． （1）先求出两个不等式的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上，求其公共解； （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解即可． 解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 不等式组的解集为； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集是， 不等式组的正整数解为1，2，3，4． 【题型四】二元一次方程组与一元一次不等式综合（5题） ★★1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足， （1）求的取值范围． （2）在的取值范围内，当为何整数时，关于的不等式的解集为？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式的整数解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）先求出方程组的解，根据得出不等式组，再求出不等式组的解集即可； （2）根据不等式的解集为得出，求出m的范围，再根据（1）的结论求出，再求出整数m即可． 解：（1）解：将两个方程相加，得， 则， 根据题意，得：， 解得． （2）由，得． 因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 则 所以符合条件的整数m的值为 ★★2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． （1）若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； （2）若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】（1）所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4；（2）所有符合条件的整数a的和为15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 解：（1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． ★★3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． （1）求a的取值范围； （2）化简． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题综合性较强，综合考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质： （1）用解二元一次方程组的知识把当做已知，表示出、的值，根据x是负数，y是正数建立关于a的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围即可； （2）根据的取值范围及去绝对值符号的法则去掉绝对值符号再计算即可． 解：（1）解：， 得：，解得：， 将代入得：，解得：， ∵x是负数，y是正数． ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ． ★★4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”． （1）下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 【答案】（1）方程只与不等式②存在“完美解”，见分析；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程,解二元一次方程组等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 解：（1）解： 解得：； ①不等式的解集为，但不在该解集范围内； ②不等式的解集是，在该解集范围内； ③不等式组的解集是，但不在该解集范围内． 综上所述：方程只与不等式②存在“完美解”． （2）解：解方程组得： ，             ， ∵方程组的解是不等式组的“完美解”， ， ． ★★★5．（24-25七年级下·四川内江·期中）阅读理解： 对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1． 观察数轴，得到不等式的解集为：或 （1）根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______； （2）不等式的解集为______； （3）已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值． 【答案】（1）小于；；（2）或；（3） 【分析】（1）根据甲同学提供的方法，解答即可； （2）将不等式转化为或，解答即可； （3）先解得方程组的解，后代入不等式，解不等式即可． 本题考查了绝对值的化简，解不等式，解方程组，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 解：（1）解：不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离小于1， 不等式的解集为：． 故答案为：小于，． （2）解：表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离大于1， 得到不等式的解集为：或，即或． 故答案为：或． （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴，即，表示的意义：数轴上，数表示的点与数表示的点的距离小于4， 不等式的解集为：， ∵是整数， ∴的最小值为． 【题型五】几何推理与证明（6题） ★1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． （1）根据题意，补全图形； （2）图中和的数量关系是 ； （3）在上画出一点P，使得． 【答案】（1）图见分析；（2）互补；（3）见分析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 解：（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． ★2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）不是真命题，见分析 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据平行线的性质证明即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题， 如图②，， ，． ， ． 即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题． ★3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于，． （1）若平分，求的度数； （2）若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据垂线的定义，得到，再根据角平分线的定义及，求出，，由即可求解； （2）同理（1）求出，根据题意得到，进而得到，求出，进而求出，即可得出结论． 解：（1）解：于， ∴． ∵，， ∴； ∵平分，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵于， ∴． ∵， ∴， ∵的度数比的度数的3倍多， ∴即， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ★★4．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． （1）与平行吗？为什么？ （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）与平行，见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质求角的度数等知识． （1）先根据已知条件得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，进而可得出． （2）由（1）可得出，，由平行线的性质得出，根据角的和差关系以及角的等量代换可得出，进而可得出答案． 解：（1）解：与平行，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）解∶由（1）得． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． ★★5．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ★★6．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． （1）如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； （2）在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】（1）；（2）；（3）图形见详解， 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，四边形的内角和等知识点，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质． （1）利用角平分线的性质得出，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用角平分线的性质得出，再利用（1）中结论和四边形内角和可求出的度数； （3）根据题意画出图形，过点作，利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解． 解：（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 【题型六】二元一次方程组的应用（5题） ★1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． （1）若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ （2）如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】（1）小贵每小时走，小港每小时走；（2）后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 解：（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． ★2．（2024七年级下·全国·专题练习）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． （1）求原计划拆、建面积各是多少平方米； （2）如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 【答案】（1）原计划拆、建面积分别是、；（2）在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 【分析】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解， （2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解， 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 解：（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：， 故答案为：原计划拆、建面积分别是、， （2）解：， ， ． 故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约． ★★3．（24-25七年级上·云南临沧·期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）． （1）若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？ （2）若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用． 【答案】（1）该学校购买了10盒乒乓球；（2）去乙商店购买划算，更省钱方案的费用为1176元 【分析】本题考查了一元一次方程得应用及求代数式的值，正确找出等量关系列方程是解题的关键， （1）根据两家商店购买所需商品的费用一样列方程求解即可； （2）分别求出甲、乙两个商店购买费用可求得哪个商店更划算，根据在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球得到更省钱的方案。 解：（1）解：由题意得，在甲商店购买的费用为（元）； 在乙商店购买的费用为（元）. ∵费用一样， ∴， 解得，. ∴该学校购买了10盒乒乓球. （2）解：由（1）可得，全部在甲商店购买，费用为：（元）； 全部在乙商店购买，费用为：（元）； ∵， ∴去乙商店购买划算. 更省钱方案：在甲商店购买6副乒乓球拍（赠送6盒乒乓球），在乙商店购买24盒乒乓球.费用如下：（元）. ∴更省钱方案的费用为1176元. ★★4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． （1）求每辆，车型各有多少个座位？ （2）要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ 【答案】（1）每辆型车有个座位，每辆型车有个座位；（2）有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，根据“若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租辆型车，辆型车，根据租用的两种客车的总载客量是人，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为非负整数，即可得出结论． 解：（1）解：设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆型车有个座位，每辆型车有个座位； （2）解：设租辆型车，辆型车， 根据题意得：， ∴， 又∵，为非负整数， ∴或或， ∴有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车． ★★5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （1）【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． （2）【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】（1）①，；②；（2）公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；（3）①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 解：（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 【题型七】一元一次不等式的应用（5题） ★★1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． （1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ （2）该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ 【答案】（1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元；（2）最多采购大型纪念品20套 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用，理解题意，正确的列出方程和不等式是解题的关键． （1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元，依题意列出方程即可得解； （2）设采购大型纪念品能套，依题意列出不等式即可得解； 解：（1）设采购每套小型纪念品的价钱分别为元． 根据题意得． 解得． ． 答：采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为80元、40元． （2）设采购大型纪念品能套． 根据题意得． 解得． 答：最多采购大型纪念品20套． ★★2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在陕西省的西南部，隐匿着一个自然风光与人文历史交相辉映的宝地——洋县，这里不仅是中国“朱鹦之乡”，更是众多游客心中的旅游胜地．某校准备组织180名师生到洋县旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人． （1）求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人； （2）若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案． 【答案】（1）甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人；（2）一共有2种方案即方案一租用6辆乙种客车；方案二、租用3辆甲种客车，2辆乙种客车 【分析】（1）设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 本题考查了方程组，不等式的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． 解：（1）解：设甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人， 根据题意，得， 解得． 答：甲种客车载客量为40人，乙种客车载客量为30人． （2）解：根据题意，得， 即， ， 解得， 为整数， 取0，1，2，3，4， ，符合题意，，不符合题意，，不符合题意， ，符合题意，，不符合 答：一共有2种方案即方案一租用6辆乙种客车；方案二、租用3辆甲种客车，2辆乙种客车． ★★3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【分析】本题考查的是不等式组的实际应用．设购买型污水处理设备台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， ， 解得且， 该不等式组无解， ∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． ★★4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】（1）A型50元，B型100元；（2）A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 解：（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． ★★5．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． （1）求第一次购进的足球和篮球的单价． （2）如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 【答案】（1）第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元；（2）购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；找到等量关系与不等关系列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意列出方程组，解方程组，然后作答即可． （2）设第三次采购个篮球，则采购了个足球，依题意得，，解不等式，进而实际问题，篮球与足球数量均为正整数，求得的值，即可求解． 解：（1）解：设第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元，则第二次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元， 依题意得，， 解得，， ∴第一次购进的足球的单价为元，篮球的单价为元． （2）解：设第三次采购个篮球，则采购了个足球， 依题意得：， 解得：； ∵为正整数，为正整数， ∴或15； ∴购买方案为：购买个篮球，个足球；购买个篮球，个足球． 【题型八】平面直角坐标系与几何问题（5题） ★★1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）直线轴，且点的坐标为． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握y轴上点的坐标特征和平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0求出m值，即可求解； （2）根据与x轴平行的直线上点的纵坐标相等，求出m值，即可求解． 解：（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵直线轴，且点的坐标为， ∴ 解得：， ∴ ∴点的坐标为． ★★2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与两点，若点C在x轴上，且． （1）直接写出点C的坐标为 ； （2）在图中画出，并求其面积． 【答案】（1）或；（2）见分析，6． 【分析】本题主要考查了平面直角系中坐标与图形，两点之间的距离公式等知识． （1）根据两点之间的距离公式求解即可． （2）根据（1）中点C的坐标分别画出并求面积即可． 解：（1）解：∵，点C在x轴上， ∴， 解得：或， 故点C的坐标为：或； （2）解：如下图所示： 则 ★★3．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． （2）若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； （3）若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． 【答案】（1）；；（2）向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，或向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点，；（3）， 【分析】考查了坐标与图形性质、平移的性质、三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得出点C的坐标，由点B的横坐标的绝对值即可得出点B到y轴的距离点B 到y轴的距离； （2）分两种情况分别讨论：①点在y轴上，点在x轴上；②点在x轴上，点在y轴上，由平移的性质即可解答； （3）设，由围矩法求出，得出，由平移的性质即可得出点N的坐标． 解：（1）解：∵点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴． 点到y轴的距离为． 故答案为：； （2）解：当，点，点， 分两种情况讨论： ①如图， 点A、点B同时向左平移2个单位，再向下平移2个单位，可得点，； ②如图， 点A、点B同时向左平移4个单位，再向下平移3个单位，可得点，． （3）解：当时，，， 过A作y轴的垂线，过M作x轴的垂线、过B作x轴的垂线，交x轴于G，交前面垂线点P、Q，如图所示： 设， ∴，，，，， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∵点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到M， ∴点向左平移4个单位，再向下平移2个单位到N， ∴点． ★★4．（20-21七年级下·广东广州·期末）如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见分析，；（2）；（3） 【分析】1）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，确定变换后的坐标即可． （3）利用分割求面积，解答即可． 本题考查了坐标的平移，分割法计算面积，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 解：（1）解：根据题意，得．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新坐标为，画图如下： ． 则即为所求，且． （2）解：根据题意，点经过以上平移后的对应点为，且． （3）解：由， 故的面积为：． ★★5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； （3）若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）秒；（3）点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 解：（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 【题型九】数据的收集、整理与描述（5题） ★1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）某校组织开展了丰富多彩的主题活动，设置了“A．诗歌朗诵表演；B．歌舞表演；C．书画作品展览；D．手工作品展览”四个专项，每个学生只能报名参加其中一个专项．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）本次随机调查的学生人数是__________人． （2）请你补全条形统计图． （3）求扇形统计图中“B歌舞表演”所对的圆心角的度数． 【答案】（1）60；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息． （1）从两个统计图中可得“A组”的有15人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出C组的人数，即可补全条形统计图； （3）样本中“B组”占调查人数的，因此圆心角占的，可求出圆心角的度数． 解：（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：C组人数是（人），补全条形统计图如图所示： （3）解：依题意，“B”所在扇形的圆心角为： ， ★2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）某校体育设施向社会免费开放，该校体育部成员对一周到校运动健身的市民人数进行了统计，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题： （1）一周内到校健身的市民总人数为多少？ （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中，求健走所对应扇形的圆心角的度数； （3）为了给运动健身的市民提供更多的便利，你认为学校可以在哪些运动项目的场地加大投入，请结合数据说明理由． 【答案】（1）一周内到校健身的市民总人数为500人；（2）图见分析，健走所对应扇形的圆心角的度数为；（3）见分析 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由跑步的人数和所占百分比求出调查总人数； （2）求出羽毛球的人数及健走的百分比，再补全条形统计图，用360度乘以健走的百分比可求出健走所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据统计图给出的数据，得出结论合理即可 解：（1）解：（人）， 答：一周内到校健身的市民总人数为500人； （2）解：人， 补全统计图如下， ， 答：健走所对应扇形的圆心角的度数为； （3）解：例如：跑步的占比是总体的，在所有运动项目中占比最多，所以我认为可以在跑步项目的场地加大投入． ★3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2024年月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：，，，四个等级，并绘制如图两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）________月份测试的学生人数最少，________月份测试的学生人数最多； （2）若该校2024年5月份九年级在校学生有500名，请你估计测试成绩是等级的学生人数． 【答案】（1）1；4；（2）估计测试成绩是等级的学生有50人 【分析】本题主要考查了用样本估计总体，折线统计图，熟练掌握折线统计图的特点，是解题的关键． （1）根据折线统计图进行解答即可； （2）用样本估计总体即可． 解：（1）解：根据折线统计图可知：1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生人数最多； （2）解：， （人）， 答：估计测试成绩是等级的学生有50人． ★★4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某品牌牛奶供应商提供，，，四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，从全校订牛奶的学生中随机选择部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图的信息解决下列问题： （1）本次调查的学生有多少人？ （2）补全上面的条形统计图； （3）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_________； （4）若该校有800名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，，口味的牛奶共约多少盒？ 【答案】（1）200人；（2）见分析；（3）；（4）360盒 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识，结合生活实际，绘制条形统计图，能从扇形统计图或从统计图中获取有用的信息是解题的关键； （1）利用A类别人数及其百分比可得总人数； （2）用总人数减去A、B、D类别人数，求得C的人数即可补全图形； （3）用360度乘以C类别人数所占比例可得； （4）用总人数乘以样本中A、B人数占总人数的比例即可． 解：（1）解：本次调查的学生有人； （2）解：C类别人数为人， 补全条形图如下： （3）解： （4）解：（盒）． 答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，，口味的牛奶共约360盒． ★★5．（24-25七年级上·山西运城·期末）近十年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写人国家级政策文件．某校学生会负责计划本校学生在本学期的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）补全条形统计图与扇形统计图； （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为_________； （3）本校共有3600名学生，请你估计对“研学＋历史”最感兴趣的学生人数； （4）请结合山西著名景点及统计结果，帮他们设计一条合适的研学路线． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）900人；（4）答案不唯一，见分析 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、用样本估计方差等知识点，从统计图获取所需信息成为解题的关键． （1）先求出调查的学生总数，再求得“D”的人数，然后求得“C”、“D”所占的百分比，据此补全统计图即可； （2）用乘以“B”与“C”所占的百分比之和即可； （3）利用样本估计方差即可； （4）分析统计图并结合实际情况解答即可． 解：（1）解：参与调查的学生数为：， 则D的人数为：人， 则D所占的百分比为：，C所占的百分比为：， 故补全条形统计图和扇形统计图如下： （2）解：． 故答案为：． （3）解：人． 答：对“研学+历史”最感兴趣的学学生人数为900人． （4）解：由于选择研学+历史路线的人数最多，则可以选择一条有关历史方面的研学路线，比如： ①到太原探访古都文化；②到平遥古城体验明清晋商文化；③到大同云冈石窟领略佛教艺术瑰宝；④到应县木塔探索古代建筑奇迹． 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】二元一次方程组探究性压轴题（2题） ★★★1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，…… 如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对， 例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m， （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）： ． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，写出直线m与直线n的交点M的坐标 ；则方程组 的解是   ． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B，写出的面积． 【拓展提高】 （2）已知关于，的二元一次方程组无解，则这两条直线 ．（填位置关系） （3）请在图2中画出（2）中符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是C、D，方程②图象与，轴的交点分别是E、F，计算的度数．    【答案】（1）①，，；（答案不唯一）②图象见分析；；；③；（2）平行；（3）见分析； 【分析】（1）①根据题意写出二元一次方程的三对整数解即可； ②先描出三个点，然后再连接即可得出直线n，根据交点位置，得出交点坐标，即可得出方程组的解； ③先求出点A、B的坐标，再求出的面积即可； （2）根据两条直线的交点坐标即为方程组的解，要使方程组无解，即两条直线无交点，根据同一平面内，不相交的两条直线平行，即可得出答案； （3）先找出两个方程中的两对整数解，得出直线上的两个点，根据两点确定一条直线，画出两条直线即可；根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余得出答案即可． 解：（1）①二元一次方程的三对整数解为：，，；（答案不唯一） ②如图，直线n即为所求，根据图象可知：直线m与直线n的交点M的坐标；则方程组 的解是；    ③把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴， ∴； （2）∵两条直线的交点坐标即为方程组的解， ∴要使方程组无解，则需要使两条直线无交点， ∵同一平面内，不相交的两条直线平行， ∴这两条直线平行； （3）方程的两组整数解为：，， ∴方程①图象经过点，； ∵是方程的一组解， ∴方程②图象平行于方程①图象，且经过点，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程的解，方程组的解，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握点的坐标与方程解的关系． ★★★2．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　　 ． 【答案】（1）；（2）；（3），2，3 【分析】（1）仿照题干中给出的解方程组的方法，解方程组即可； （2）用整体代入法解方程组即可； （3）根据方程组得出，根据，得出，解不等式组得出，即可得出答案． 解：（1）， 由①得：， 把代入②得， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为； 故答案为：； （2） 由①得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的所有正整数值为，2，3． 故答案为：，2，3． 【点拨】本题主要考查了整体代入法解方程组，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的一般方法，准确计算． ★★★【题型十】不等式与不式组探究性压轴题（2题） 1．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式； （1）先解一元一次方程，根据方程的解是负数，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）先解二元一次方程组，得出，根据，列出不等式，解不等式，即可求解． 解：（1）由，解得． ∵关于的方程的解是负数， ∴，解得，即的取值范围为．     （2） 由①，得③． 由②③，得，解得．    由题意，得，解得，    ∴的最大整数值是． ★★★2．（23-24七年级下·广西河池·期末）综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【答案】（1），，；（2）甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米；（3）0.4万元 【分析】本题主要考查列代数式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意可得答案； （2）根据若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，列出方程组，解方程组求解即可； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元，根据甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元列不等式，解不等式可求解． 解：（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是米， 故答案为：；；； （2）由题意得：， 解得：， 答：甲工程队每天施工30米，乙工程队每天施工20米； （3）设乙工程队每天的施工费用为a万元， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多为0.4万元． 【题型十一】相交线与平行线压轴题（5题） ★★1．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点C作， ∴（ ）． 又∵，， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴， 即 ； 应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数； 拓展：如图③，，于点C，，，则 ． 【答案】探究：两直线平行，内错角相等；；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；  应用：  拓展： 【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键． 探究：过点C作，可以得到，然后得到，即可解题； 应用：根据垂直的定义得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用探究结论解题； 拓展：过点作，过点作，得到，，，然后根据角的和差解题即可． 解：探究：解：如图①，过点C作， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵，， ∴（同平行于一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即； 应用：∵， ∴， 又∵， ∴， 根据探究结论可得：； 拓展：如图，过点作，过点作， 又∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ★★★2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． 【答案】（1）；；（2），理由见分析；（3）A；（4）；（5）45或75或165 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到 ，于是得到结论； （3）小明与小丽解决以上问题的方法，用到的是由特殊到一般的数学思想； （4）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论． （5）分三种情况画出图形求解即可． 解：（1）图2中，， 图3中， ； 故答案为：；； （2）猜想：，理由如下： 图中，， ， 和是和的角平分线， ， ； （3）明明和丽丽解决以上问题的方法，用到了由特殊到一般的数学思想， 故选：A． （4）， ， ， ， ． 故答案为：； （5）如图，当时，则； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴； 如图，当时，设交于点E， 则， ∴, ∴， ∴． 综上可知，旋转的角度为或或． 故答案为：45或75或165． 【点拨】本题考查了角的计算，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，通过图形直观得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键． ★★★3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设． （1）【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分； （2）【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算是解决问题的关键． （1）先由，得进而得，则，继而得，再根据即可得出，由此根据角平分线的定义可得出平分； （2）由得，再由得，根据角平分线的定义得，即，由此可得的度数； （3）由（2）得，即，再根据邻补角的定义得，进而得，由此可得和存在的数量关系． 解：（1）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， ， ， ， 平分， ， 即， ； （3）解：与存在的数量关系为：． 由（2）得：， ， ， 又，， ， ， 与存在的数量关系为：． ★★★4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． （1）感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； （2）问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 解：（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． ★★★5．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 解：过点作， 所以______， 因为， 所以， 所以______， 因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________． 【方法应用】 （3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查平行公理的应用，涉及平行线的判定与性质，角平分线的性质，是重要考点，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据题干的推理信息可得答案； （2）过点作，由平行线的性质得到，，继而证明； （3）过点作，则，由平行线的性质得到，结合等式的性质解答即可； （4）由角平分线的性质解得，，过点作，接着由平行线的性质得到，，再根据，整理解答即可． 解：（1）过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）过点作， ∴， ∵ ， ∴，    ∴， ∴， ∴； （3）过点作，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∵，， ∴． （4）∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 【题型十二】平面直角坐标系中的几何压轴题（5题） ★★★1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． （1）求A，B两点的坐标； （2）将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； （3）如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）理由见分析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案； （2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可； （3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案． 解：（1）解： 又 解得： ∴； （2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G， ， ， ， 即， 解得： ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点 ∵点在线段上，其对应点为， ； （3）解：理由如下： 如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M， 设， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ． ★★★2．（23-24七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． （1）直接写出点，点的坐标； （2）若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； （3）若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）①，理由见分析；②或 【分析】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，熟练的利用数形结合与方程思想解题是关键． （1）根据平移的性质可以直接写出点，点的坐标； （2）设点，根据三角形面积等于列出关于的方程，解此方程可得到点的坐标； （3）①依据，两个动点的运动速度之比为，可得到，，，，由此便可计算三角形之间的关系，最终得到；②由小问①可以直接写出点的坐标． 解：（1）解：点，，且将线段平移得到线段，由于点的对应点在轴上，点的对应点在轴上， 可判断线段先向下平移个单位，再向右平移个单位， ，； （2）如图所示，设点， ，， ，， ， ， 或， 或； （3）① ， 理由：由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是，设，，当点在第二象限时，如图所示： ，，，， ， ， ， ，， ； ②由题意可知，存在两种情况，分别是在第二象限和在第四象限的情况； 当点在第二象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，，此时，，，， ， ， ， ，， ，设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ，， ， ∵， ， ， 解得：， 故点； 当点在第四象限时，如图所示： 由题意可知：点、在运动过程中的速度之比是， 设，， 此时，，，， ， ， ， ，， ， 设点， 则可得：， 整理得到：， 故设点， ， 解得：， 故点； 综上所述，点的坐标为或． ★★★3．（21-22八年级下·贵州黔西·期末）【阅读】已知平面直角坐标系中有两点，，根据勾股定理，可知两点间的距离．特别地，如果点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为或．例如：已知点，，则这两点间的距离． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知，，则A，B两点间的距离为________． （2）已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点间的距离为________． （3）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试探究在x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；（3）存在；； 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据平行于y轴的两点间的距离公式进行计算即可； （3）先做出点B关于x轴的对称点 ，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值． 解：（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：5； （3）解：存在．如图所示：作B关于x轴的对称点 ，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值． 设直线的解析式为： 则： 解得： ∴直线的解析式为： 当 时， ∴P的坐标为： 【点拨】本题考查两点间的距离公式，以及求线段和的最小值．在坐标系下求线段和的最小值，属于将军饮马问题，需要作已知点的对称点，然后将对称点与另一个已知点连接所成的线段即为最短． ★★★4．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． （1）已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为______； ②点，；如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知点，，，，．如果关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据“双轴对称图形”的含义求解即可； ②求出M、N关于轴，直线的“双轴对称图形”的对应点的坐标，则可得线段关于点成中心对称，借助图形求出线段的端点与在y轴上时，s的值，即可求得s的范围； （2）设关于轴对称的图形为，关于直线的轴对称图形为，当第一象限的角平分线与的边有交点时，此交点到两坐标轴的距离相等，结合图形即可求解t的取值范围． 解：（1）解：①∵直线过点且与轴垂直， ∴直线为直线； ∵点关于轴对称的坐标为，点关于直线对称的点坐标为， ∴点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为； 故答案为：； ②由点M、N的坐标知，点M、N分别在平行于y轴的直线上， ∵点M、N关于轴对称的点的坐标分别为，这两点关于直线对称的对应点的坐标分别为， 由于线段与的中点都为， ∴线段关于点成中心对称， 如图，当线段的端点在y轴上时，则，此时； 当线段的端点在y轴上时，则，此时； 综上，当时，线段与y轴有公共点； （2）解：设关于轴对称的图形为，关于直线的轴对称图形为； ∵点E向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点F， ∴直线与第一象限的角平分线平行； ∵，且， ∴是等腰直角三角形，并且点G在第一象限的角平分线上； 如左图，当的顶点M在第一象限的角平分线上时，则点M到两坐标轴的距离相等， 此时点F在边上，且恰好为的中点， ∵的中点坐标为， ∴， ∴； 如右图，当点E向左平移，点P恰好在第一象限的角平分线上时，只要把左图中点P向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度即可，相应地，点E也向左平移2个单位长度， ∴； 综上，当时，关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点． 【点拨】本题考查了坐标与轴对称，等腰三角形的判定，平移的性质，角平分线的性质等知识，理解新定义、数形结合是解题的关键． ★★★5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． （1）下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． （2）若点为的“系矩点”，则_____，_____． （3）若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 【答案】（1）②③④；（2）或；；（3）． 【分析】本题考查了坐标与图形，去绝对值，解一元一次方程，理解系矩点”的含义是解题的关键． （1）根据“系矩点”的定义，即可求解． （2）由题意可得，可得，再求解，即可得出的值． （3）由题意可得的最大值和最小值为：，，即可求得的取值范围． 解：（1）解：∵， 根据题意可得的“系矩点”都有：，，，， 故答案为②③④． （2）解：∵点为的“系矩点”， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：或，． （3）解：∵点的纵坐标分别为，点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”， ∴，， ∴的取值范围为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级下册期末数学复习专题三（解答题）（综合压轴篇）（12类题型） 人教版七下数学期末解答题分代数、几何、统计三类。代数重运算与实际应用，几何重推理证明及图形变换，统计重图表分析与数据处理。本专题使用人教版期末地区期末考题型特点精选细编出两大部分十二类题型进行高效复习，供大家参考使用！ 第一部分 题型目录 【基础夯实+综合提升】 【题型一】实数及其简单的运算（6题）....................................................................................................1 【题型二】解二元一次方程组（6题）........................................................................................................2 【题型三】解一元一次不等式（5题）........................................................................................................3 【题型四】二元一次方程组与一元一次不等式综合（5题）....................................................................4 【题型五】几何推理与证明（6题）............................................................................................................5 【题型六】二元一次方程组的应用（5题）................................................................................................7 【题型七】一元一次不等式的应用（5题）................................................................................................9 【题型八】平面直角坐标系与几何问题（5题）......................................................................................10 【题型九】数据的收集、整理与描述（5题）..........................................................................................11 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】二元一次方程组探究性压轴题（2题）..................................................................................14 【题型十】不等式与不式组探究性压轴题（2题）..................................................................................15 【题型十一】相交线与平行线压轴题（5题）..........................................................................................16 【题型十二】平面直角坐标系中的几何压轴题（5题）..........................................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前面★代表基础夯实，★★代表巩固提升，★★★代表拓展培优 【基础夯实+综合提升】 【题型一】实数及其简单的运算（6题） ★1．（24-25七年级下·山东德州·期中） （1）计算：； （2）解方程：． ★2．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）计算或求的值： （1）； （2）． ★3．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）计算： （1） （2） ★4．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）计算： （1） （2） ★★5．（24-25七年级下·天津·期中）已知正数的两个平方根分别为和，的整数部分为．求 （1），，的值； （2）的值． ★★6．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． （1）直接写出a，b，m的值； （2）求的平方根； （3）若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值． 【题型二】解二元一次方程组（6题） ★1．（24-25七年级下·四川南充·期中）用指定的方法解下列方程组： （1）（代入法） （2）（加减法） ★★2．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）解方程组： （1）； （2）． ★★3．（24-25七年级下·四川南充·期中）解方程组： （1） （2） ★★4．（24-25八年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： （1）求出正确的，的值； （2）求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． ★★5．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解． （1）请求出这个相同的解； （2）求a，b的值； （3）请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由． ★★6．（2023七年级上·全国·专题练习）情境  珍珍在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组： 尝试  （1）若用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体如下. 请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为______，解关于，的方程组，得，所以解这个方程组，得______； 应用  （2）利用上述方法解方程组 ★【题型三】解一元一次不等式（5题） 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）（1）解不等式：，并将解集表示在下列数轴上； （2）解不等式组： ★★2．（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）解下列一元一次不等式（组）： （1）； （2）． ★3．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）解下列不等式，并在数轴上表示解集． （1）； （2）． ★★4．（20-21八年级下·广东深圳·期末）解不等式（组） （1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式组的正整数解． ★★5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）（1）解不等式，并将解集表示在数轴上． （2）解不等式组：，并写出它的所有的正整数解． 【题型四】二元一次方程组与一元一次不等式综合（5题） ★★1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若关于，的二元一次方程组的解满足， （1）求的取值范围． （2）在的取值范围内，当为何整数时，关于的不等式的解集为？ ★★2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． （1）若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； （2）若有解，求所有符合条件的整数a的和． ★★3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x是负数，y是正数． （1）求a的取值范围； （2）化简． ★★4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”． （1）下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． ★★★5．（24-25七年级下·四川内江·期中）阅读理解： 对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1． 观察数轴，得到不等式的解集为：或 （1）根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______； （2）不等式的解集为______； （3）已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值． 【题型五】几何推理与证明（6题） ★1．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． （1）根据题意，补全图形； （2）图中和的数量关系是 ； （3）在上画出一点P，使得． ★2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由． ★3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于，． （1）若平分，求的度数； （2）若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． ★★4．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，连接，，，延长与交于点H，，． （1）与平行吗？为什么？ （2）若，且，求的度数． ★★5．（21-22八年级上·广东揭阳·期末）如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． ★★6．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． （1）如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； （2）在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【题型六】二元一次方程组的应用（5题） ★1．（24-25七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． （1）若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ （2）如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ ★2．（2024七年级下·全国·专题练习）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． （1）求原计划拆、建面积各是多少平方米； （2）如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ ★★3．（24-25七年级上·云南临沧·期末）甲、乙两家商店出售同品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店的乒乓球拍的售价均为每副100元，乒乓球的售价均为每盒30元．现在两个店都在搞促销活动： 甲商店：买一送一，即每购买一副乒乓球拍，就赠送一盒乒乓球； 乙商店：所有商品一律打八折． 某学校需要购买乒乓球拍6副，乒乓球x盒（）． （1）若该学校在两家商店购买所需商品的费用一样，该学校买了多少盒乒乓球？ （2）若该学校要买30盒乒乓球，请你通过计算说明去哪家商店购买划算？小智同学认为还有更省钱的方案，请你帮他计算该方案的费用． ★★4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． （1）求每辆，车型各有多少个座位？ （2）要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ ★★5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （1）【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． （2）【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【题型七】一元一次不等式的应用（5题） ★★1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）亚冬会即将来临之际，某纪念品商店分别采购大、小两种型号的亚冬会吉祥物纪念品“滨滨和妮妮”40套、60套，共花费5600元，其中采购每套大型纪念品的价钱是每套小型纪念品的价钱的2倍． （1）采购每套大、小两种型号的纪念品的价钱分别为多少元？ （2）该商店决定再次采购两种型号的纪念品共60套，且采购费用不超过3200元，那么最多采购大型纪念品多少套？ ★★2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）在陕西省的西南部，隐匿着一个自然风光与人文历史交相辉映的宝地——洋县，这里不仅是中国“朱鹦之乡”，更是众多游客心中的旅游胜地．某校准备组织180名师生到洋县旅游参观，现有甲、乙两种客车可供选择，已知3辆甲种客车的载客量比2辆乙种客车的载客量多60人，2辆甲种客车与1辆乙种客车的总载客量为110人． （1）求每辆甲种客车和每辆乙种客车的载客量分别为多少人； （2）若该校准备租用辆甲种客车和辆乙种客车，将180名师生一次送到目的地，且每辆车都恰好坐满，请你帮助学校设计出所有的租车方案． ★★3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． ★★4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． （1）求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ （2）考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ ★★5．（24-25八年级上·山西运城·期末）综合与实践：某学校计划购进一些足球和篮球，采购员第一次购进了足球个，篮球个，共花费元；第二次购进时，足球每个涨价，篮球每个优惠，采购员又购进了个足球和个篮球，共花费元． （1）求第一次购进的足球和篮球的单价． （2）如果第三次采购是以第一次的价格进行采购，采购员花了元购进若干篮球和足球，问在第三次购进的足球数量不低于个且不多于个的情况下，采购员有哪几种购买方案？ 【题型八】平面直角坐标系与几何问题（5题） ★★1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上； （2）直线轴，且点的坐标为． ★★2．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知与两点，若点C在x轴上，且． （1）直接写出点C的坐标为 ； （2）在图中画出，并求其面积． ★★3．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点，点，将点A向右平移3个长度单位，再向下平移4个长度单位得到点C． （1）用t 表示点C的坐标为 ；用t表示点B 到y轴的距离为 ． （2）若时，平移线段，使点A、B到坐标轴上的点、处，指出平移的方向和距离，并求出点、的坐标； （3）若时，如图，平移线段至（点A与点M对应），使点M落在x轴的负半轴上，的面积为4，试求点M、N的坐标． ★★4．（20-21七年级下·广东广州·期末）如图，的顶点．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标； （3）求的面积． ★★5．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； （3）若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【题型九】数据的收集、整理与描述（5题） ★1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）某校组织开展了丰富多彩的主题活动，设置了“A．诗歌朗诵表演；B．歌舞表演；C．书画作品展览；D．手工作品展览”四个专项，每个学生只能报名参加其中一个专项．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）本次随机调查的学生人数是__________人． （2）请你补全条形统计图． （3）求扇形统计图中“B歌舞表演”所对的圆心角的度数． ★2．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）某校体育设施向社会免费开放，该校体育部成员对一周到校运动健身的市民人数进行了统计，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题： （1）一周内到校健身的市民总人数为多少？ （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中，求健走所对应扇形的圆心角的度数； （3）为了给运动健身的市民提供更多的便利，你认为学校可以在哪些运动项目的场地加大投入，请结合数据说明理由． ★3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2024年月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：，，，四个等级，并绘制如图两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）________月份测试的学生人数最少，________月份测试的学生人数最多； （2）若该校2024年5月份九年级在校学生有500名，请你估计测试成绩是等级的学生人数． ★★4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某品牌牛奶供应商提供，，，四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对不同口味的牛奶的喜好，从全校订牛奶的学生中随机选择部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图的信息解决下列问题： （1）本次调查的学生有多少人？ （2）补全上面的条形统计图； （3）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_________； （4）若该校有800名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，，口味的牛奶共约多少盒？ ★★5．（24-25七年级上·山西运城·期末）近十年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写人国家级政策文件．某校学生会负责计划本校学生在本学期的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． （1）补全条形统计图与扇形统计图； （2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为_________； （3）本校共有3600名学生，请你估计对“研学＋历史”最感兴趣的学生人数； （4）请结合山西著名景点及统计结果，帮他们设计一条合适的研学路线． 【拓展延升+压轴培优】 【题型九】二元一次方程组探究性压轴题（2题） ★★★1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，…… 如果我们将方程的解（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标）看成一组有序数对， 例如是方程的一个解，用一个点来表示．探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．如图1所示． 【问题探究】 在平面直角坐标系中，方程的图象是图1中的直线m， （1）仿照材料完成下列各题： ①写出二元一次方程的解（写出三对整数解）： ． ②在图1中的同一平面直角坐标系中找出以上三点（x的值记为横坐标，y的值记为纵坐标），并画出这个方程的图象，记为直线n，写出直线m与直线n的交点M的坐标 ；则方程组 的解是   ． ③过点且垂直于x轴的直线与m，n的交点分别为A、B，写出的面积． 【拓展提高】 （2）已知关于，的二元一次方程组无解，则这两条直线 ．（填位置关系） （3）请在图2中画出（2）中符合题意的两条直线，设方程①图象与，轴的交点分别是C、D，方程②图象与，轴的交点分别是E、F，计算的度数．    ★★★2．（22-23七年级下·江苏·阶段练习）（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　　 ． ★★★【题型十】不等式与不式组探究性压轴题（2题） 1．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． ★★★2．（23-24七年级下·广西河池·期末）综合与实践 某乡政府为巩固脱贫攻坚与乡村振兴有效衔接赋能，营造营销便利环境，促进乡村特色产品的销售；准备在辖区内新建一条长600米的公路，计划由甲、乙两个工程队来完成；若甲工程队先单独施工10天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程；若甲、乙两个工程队同时共同施工，则12天可以完成该工程，设甲、乙两个工程队每天分别施工x和y米． 【问题分析】（1）甲工程队单独施工10天完成的工程量是 米；乙工程队单独施工15天完成的工程量是 米；甲、乙两个工程队同时共同施工m天完成的工程量是 米；（用含有字母的代数式表示） 【问题解决】（2）求甲、乙两个工程队每天各施工多少米？ 【问题拓展】（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，当甲、乙两个工程队同时共同施工10天后甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独施工完成，若甲、乙两个工程队完成全部工程的总费用不超过12万元，则乙工程队每天的施工费用最多是多少万元？ 【题型十一】相交线与平行线压轴题（5题） ★★1．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空： 解：如图①，过点C作， ∴（ ）． 又∵，， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴， 即 ； 应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数； 拓展：如图③，，于点C，，，则 ． ★★★2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）将一副三角板按图1方式摆放，分别作出的平分线，求的度数． 【初步认识】 （1）小明与小丽将这副三角板分别按图2、图3所示摆放，分别平分、．图2中，在同一条直线上，则 　　°；图3中，，则 　°； 【深度理解】 （2）受此启发，小明与小丽求出图1所示的一般情况下∠MON的度数．请你猜想图1中的度数并说明理由； （3）你觉得明明和丽丽解决以上问题的方法，用到的数学思想是 　 ； A．由特殊到一般     B．方程    C．分类讨论     D．整体 【拓展应用】     （4）若将条件“分别作出的平分线改为“在和内部分别作出射线，使得”（n为正整数），请你直接写出的度数 °（用含n的代数式表示）； 【大胆创新】 （5）善于思考的小明同学在本题基础上设计了一道新题：将图2中的三角板绕点O逆时针旋转（旋转角度不超过），使得边与另一块三角板的一边平行，则旋转的角度为 ° ． ★★★3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图1，在同一个平面上，已知点O为直线上一点，将三角板按如图所示放置，且直角顶点与O重合，点P在线段上，设． （1）【问题探究】已知：且，，通过计算说明：平分； （2）【类比探究】当三角板按图2放置时，平分，求的度数（结果用含α的代数式表示）； （3）【拓展应用】在（2）的条件下，请直接写出与存在的数量关系． ★★★4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． （1）感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； （2）问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． ★★★5．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 解：过点作， 所以______， 因为， 所以， 所以______， 因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________． 【方法应用】 （3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． 【题型十二】平面直角坐标系中的几何压轴题（5题） ★★★1．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． （1）求A，B两点的坐标； （2）将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； （3）如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． ★★★2．（23-24七年级下·上海·期末）如图（1），在平面直角坐标系中．已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上． （1）直接写出点，点的坐标； （2）若是轴上的一个动点，当三角形面积等于时，求点的坐标； （3）若动点从点出发向左运动，同时动点从点出发向上运动，两个点的运动速度之比为，运动过程中直线和交于点． ①当点在第二象限时，探究三角形和三角形面积之间的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积等于，直接写出点的坐标． ★★★3．（21-22八年级下·贵州黔西·期末）【阅读】已知平面直角坐标系中有两点，，根据勾股定理，可知两点间的距离．特别地，如果点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为或．例如：已知点，，则这两点间的距离． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知，，则A，B两点间的距离为________． （2）已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点间的距离为________． （3）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试探究在x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由． ★★★4．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于图形和直线，，给出如下定义：如果图形关于的对称图形为图形，图形关于的对称图形为图形，那么称图形是图形关于直线，的“双轴对称图形”． （1）已知直线过点且与轴垂直． ①点关于轴，直线的“双轴对称图形”的坐标为______； ②点，；如果线段关于轴，直线的“双轴对称图形”与轴有公共点，直接写出的取值范围； （2）已知点，，，，．如果关于轴，直线的“双轴对称图形”上存在到轴和轴距离相等的点，直接写出的取值范围． ★★★5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若点、点满足，则称点与点互为“系矩点”，如点与互为“系矩点”．如图，已知． （1）下列选项中，是的“系矩点”的有_____． ①；②；③；④． （2）若点为的“系矩点”，则_____，_____． （3）若点的纵坐标为，且在线段上存在点的“系矩点”；求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$