23.4实际问题与一次函数 同步练习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，通过基础概念辨析、图像分析到综合问题解决的三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-3、填空8-9）|一次函数概念及简单表达式|结合生活情境（如蜡烛燃烧、油箱加油），强化模型意识| |中档层（选择4-6、填空10-13）|图像分析与几何应用|涉及坐标系平移（如三角形平移）、行程图像，培养几何直观| |提升层（选择7、填空14、解答15-20）|综合应用与拓展延伸|函数与不等式综合（如解答19）、动态几何问题（如选择7），发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 2．我国某颗遥感卫星在太空中执行数据传输任务，其信号传输速率恒定，地面测控站记录了几组传输时间与传输数据量的数据如下表．已知传输时间（单位：）与传输数据量（单位：）满足某种函数关系，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 传输时间 传输数据量 A． B． C． D． 3．在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数，它们之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．某快递公司每天上午9:30至10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（）之间的函数关系图象如图所示，则从开始，当两仓库快递件数相同时，经过了（   ） A． B． C． D． 6．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 二、填空题 8．某汽车的油箱可装汽油，原装有汽油，现再加汽油．如果每升汽油价格为7.6元，则油箱内汽油总价y（元）与x（L）之间的函数关系式为____，自变量x的取值范围是____． 9．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 10．如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴上方作等腰直角三角形，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，则平移的距离是__________． 11．甲、乙两种物质的质量与体积的关系如图所示，已知当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多，则x的值为______． 12．为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 13．如图，直线的解析式是，点的坐标是． （1）________； （2）连接，为一次函数图象上的一点（），过点分别作轴，轴，若，则点的坐标是________． 14．如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题 15．某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 16．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在直线上，连接． (1)求直线对应的函数表达式； (2)点为直线上一动点，的面积与的面积相等，求出点的坐标． 17．在某次虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器（如图①）．实验开始时，高位容器内水面高度一定，实验开始的短时间内，由于水流速度恒定，高位容器内水面高度随时间均匀下降，高位容器内水面高度与实验时间之间的关系如图②所示． (1)实验开始时，高位容器内水面高度为________； (2)求实验开始的短时间内，与之间的函数关系式； (3)若实验进行到第时，水流速度发生变化，求此时高位容器内的水面高度． 18．已知小明的家，体育馆，超市依次在同一条直线上，体育馆离家，超市离家，小明从家出发，先匀速骑行了到体育馆，在体育馆锻炼了，之后匀速骑行了到超市，在超市停留了后，再用匀速骑行回家．下面图中表示时间，表示小明离家的距离，图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小明离开家的时间 小明离开家的距离 ②填空：小明从超市匀速骑行回家的速度为_____； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)小明的爸爸在小明离开家后从体育馆以的速度匀速步行去超市，在小明的爸爸离开体育馆后到他到达超市前的过程中，两人相遇，求相遇时小明离开家的时间是多少？（直接写出结果即可） 19．【活动回顾】 在一元一次不等式和一次函数中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，一次函数的图象经过点，且，则不等式的解集是__________； (2)如图2，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是__________； 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________； ②连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标，如不存在，说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于B，D两点．直线的图象与x轴交于C．直线与直线交于点． (1)求点A的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 参考答案 1．D 【详解】解：∵蜡烛原长为，点燃后每小时燃烧， ∴小时燃烧的长度为， 又∵剩下长度 = 原长 燃烧的长度， ∴，整理得． 2．B 【分析】本题考查正比例函数的实际问题．由传输速率恒定可知，传输数据量与传输时间成正比例关系，设出正比例函数解析式，代入表中数据计算比例系数即可得到函数关系式． 【详解】解：∵信号传输速率恒定， ∴与成正比例函数关系， 设， 将，代入解析式得，解得， 验证其余数据：当时， ，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴与的函数关系式为． 3．A 【分析】先根据函数图象，利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入一次函数解析式求出函数值，即可得出答案． 【详解】解：设弹簧的长度y（单位：）是所挂物体质量x（单位：）的一次函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 把代入得：， 即当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为． 4．C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 5．C 【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴； 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为：， 根据题意得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴当两仓库快递件数相同时，经过了． 6．C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 7．D 【分析】先求得点M的坐标，进而求得的长，由函数图像可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断选项A；由函数图像可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断选项B；由，可得直线的解析式为，可判断选项C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断选项D． 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 8． 【分析】根据题意列函数关系式即可． 【详解】解：根据题意可得：, ∵油箱可装，原装有汽油， 则自变量的取值范围为：． 9．或 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 10．4 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得、的长度，得到点B的纵坐标，代入函数解析式求出横坐标，即可求出平移的距离． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：，即， 过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，即点的坐标是， ∴将代入得， 解得 ∴，平移的距离是4． 11．28 【分析】分别求出甲和乙的表达式，然后根据“甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多”列方程求解即可． 【详解】解：设甲的表达式为 将代入得， 解得 ∴甲的表达式为 同理可得，乙的表达式为 ∵当甲、乙两种物质的体积均为时，甲物质的质量比乙物质的质量多 ∴ 解得． 12． 【分析】本题考查了一次函数的解析式，根据图像列一元一次方程求解；分别求出小亮和小明的路程解析式，再令二者相同，即可求出两人第一次相遇时出发的时间． 【详解】解：设直线的解析式为： ，将点代入， ， 解得.   ∴直线的解析式为. 设直线的解析式为 ，将点 ， 代入，得   ， 解得 ∴直线的解析式为 ， 令 ， 解得， ∴当两人第一次相遇时，出发的时间是 h． 13． 【分析】（1）将点的坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据勾股定理求出，结合已知条件求出的值，设点的坐标，利用两点间距离公式列方程求解，最后根据确定点的位置 【详解】解：（1）点在直线上 解得； （2）， ，即 由（1）知直线的解析式为 设点的坐标为 解得， 当时，，此时点坐标为 当时，，此时点坐标为 直线与轴交于点，与轴交于点 点为线段的中点 若点为，则点在线段上，此时，不符合题意． ∴． 14．①② 【分析】根据一次函数的增减性可判断①和②，把代入，求出与的关系，解不等式可判断③与④． 【详解】解：∵点在第一象限且满足， ∴点在线段(不包括端点)上， ∴一次函数图象经过， 随的增大而增大， 结论①：当时，，当时，；①正确； 结论②：当时，，时，同理，随增大而增大，因此时，，②正确； 结论③：当时，，由，时，，因此，即，与结论矛盾，③错误； 结论④：当时，， 题目规定在第一象限，因此，，不存在满足的符合条件的一次函数，该结论不成立，④错误； 综上，正确结论的序号是． 15．(1)，，且为整数 (2)获利总额的最大值为元，生产A产品60件，B产品20件 【分析】（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可； （2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得：，且，为整数； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵中， ∴随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴（件）， ∴生产A产品60件，B产品20件，获利总额最大，最大总额为元． 16．(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式 （2）利用三角形面积公式求的面积，确定点坐标，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， （2）解：设， 当时，，解得，则， 的面积； ∵的面积与的面积相等， ， 解得或， 点坐标为或． 17．(1)30 (2) (3)此时高位容器内的水面高度为 【分析】（1）通过图②函数与轴的交点即可解决， （2）用待定系数法即可求出与的函数关系式， （3）将代入第二小问求出的函数关系式求出即可． 【详解】（1）解：观察图象可知实验开始时，高位容器同水面高度为； （2）设与之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为； （3）当时，， 答：此时高位容器内的水面高度为． 18．(1)①，，；②；③小明离家的距离关于时间的函数解析式为； (2)相遇时小明离开家的时间是． 【分析】（1）①②由函数图象即可求解；③分三段进行讨论求解函数关系式即可； （2）先求出小明的爸爸的距离关于时间的函数解析式，与小明对应的两段函数解析式进行联立求解即可． 【详解】（1）解：①小明从家到体育馆的速度为：， 先匀速骑行了到体育馆， 时，； 由题意以及函数图象可得，当时，小明在超市，则； 当时，小明在超市，则； ②由题意以及函数图象可得，小明从超市返回家的速度为：； ③当时，小明匀速骑行，速度为，则； 当时，小明在体育馆停留，距离不变，则； 当时，设距离关于时间的函数解析式为，则代入，得，解得， ， 综上：小明离家的距离关于时间的函数解析式为； （2）小明的爸爸在小明离开家后从体育馆以的速度匀速步行去超市， 小明的爸爸到达超市的时间为：， 设小明的爸爸的距离关于时间的函数解析式为，则代入，得，解得， ， 由题意以及函数图象可得，当时，在小明的爸爸离开体育馆后到他到达超市前的过程中，两人相遇， 此时，解得， 相遇时小明离开家的时间是． 19．(1) (2) (3)①；②存在，点坐标为或 【分析】（1）不等式的解集即为直线在轴下方时对应的交点的横坐标取值范围； （2）不等式的解集即为直线在直线下方时，对应交点的横坐标的取值范围； （3）①不等式组的解集即为直线与直线在轴下方对应交点的取值范围； ②先由待定系数法求解两个函数的表达式，再求出交点坐标，然后设，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴不等式的解集是； （2）解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴ 解得 ∴， ∴不等式的解集是； （3）解：①∵一次函数与轴相交于点，与轴相交于点， ∴不等式组的解集为； ②存在， ∵直线与轴相交于点，一次函数与轴相交于点 ∴， 解得， ∴直线，， 联立两条直线的表达式得到， 解得， ∴ 设 ∵ ∴， 解得或， ∴点坐标为或． 20．(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）由的面积，解方程即可求解； （3）当点P在y轴左侧时，证明，设点，即可求解；当点在y轴右侧时，则点、P关于对称，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 即点， 将点A的坐标代入得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：如图 设直线和y轴交于点， 设点， 由知，点， 则， 则的面积， 解得：或 即点或 即点E的坐标为：或； （3）解：存在，理由如下： 由函数的表达式知，点， 分以下两种情况： 当点P在y轴左侧时，如图2， ∵，则， 即， 设点， 由点A、P、C的坐标得，，， 解得：， 即点， 当点在y轴右侧的点时，则点、P关于对称， 由中点坐标公式得：点， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $