23.2一次函数的图象和性质 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学八年级下册《23.2一次函数的图象和性质》同步练，以基础巩固为核心，通过三级分层设计实现从概念理解到综合探究的递进，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数定义、图像性质、简单运算|单选题1-6、填空题9-13聚焦概念辨析，如正比例函数定义与图像象限判断，夯实运算能力| |中档|性质应用、参数问题、实际情境|单选题7-8结合二元一次方程，填空题14-16涉及含参最值与平移，解答题20-22以弹簧、行程问题发展模型意识| |拔高|综合探究、跨知识整合|解答题23-25含函数图像翻折、周长最小化、等腰直角三角形存在性，培养几何直观与创新意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.2一次函数的图象和性质》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若正比例函数的图象经过点，则这个图象一定也经过点（    ） A． B． C． D． 2．已知点和点都在直线上，比较与的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 4．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 5．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知点，，将直线向上平移个单位长度后恰好经过线段的中点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知关于、的二元一次方程的一组解为，则一次函数（为常数，且）的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 二、填空题（满分24分） 9．如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 10．写出一个函数表达式，使它的图象经过，且时，y随x的增大而增大，这个函数表达式可以是______． 11．一次函数无论k取何值，它的图象总是过一个定点，此点坐标为_________． 12．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 13．将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____． 14．一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 15．如图，直线过，两点，则解为______． 16．正方形按如图的方式放置，和点,分别在直线和轴上，则点的横坐标是__________，则点的横坐标是__________． 三、解答题（满分72分） 17．（5分）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 18．（5分）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求该一次函数的解析式； (2)求该直线与x轴的交点坐标． 19．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 20．（8分）我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)弹簧不挂重物时的自然长度为___；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是___． (2)根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 21．（8分），两地相距，甲、乙两车同时从地出发，甲车到达地后立刻原路返回，乙车与甲车相遇后立刻原路返回地．从地到地过程中，甲车比乙车每小时多行驶，甲车到达地时，乙车距地，乙车比甲车早小时回到地，甲、乙两车距离地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，回答下列问题： (1)_____，_____； (2)求乙车返回地过程中与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出两车在行驶过程中，出发多长时间相距． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，且直线与轴，轴交于点，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的解析式； (2)若点在直线上，点在直线上，求的值； (3)在第三象限内是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 23．（10分）小明探究函数的图象和性质的过程如下．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)函数的自变量的取值范围是_______，的取值范围是______； (2)由设计如下画图方案：将直线在轴下方的部分沿轴翻折，直线的其余部分保持不变，得到函数的图象．在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)利用函数图象解决问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________； ③若对于的每一个值，函数的值都小于函数的值，直接写出的取值范围． 24．（10分）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)如图2，把直线沿y轴向上平移5个单位，与直线相交于点M，连接，求的面积； (3)在直线上是否存在一点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，点为正比例函数图象上一点，点的坐标为． (1)求正比例函数的表达式： (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为与轴交于点．求证：四边形是菱形； (3)在直线下方是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由， 参考答案 1．D 【分析】先设正比例函数解析式为，将已知点代入求出的值，得到函数解析式，再判断各选项的点是否在函数图象上，即可得出结果． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， 选项A：当时，，所以不在该函数图象上，A不符合题意； 选项B：当时，，所以不在该函数图象上，B不符合题意； 选项C：当时，，所以不在该函数图象上，C不符合题意； 选项D：当时，，所以在该函数图象上，D符合题意． 2．B 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化规律，再比较两点横坐标的大小，即可得出a和b的大小关系． 【详解】解：∵直线的一次项系数为， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴对应纵坐标满足． 3．D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 4．C 【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．令，得，解得，因此图象与轴交点为，A错误，不符合题意． B． 一次函数中， 随的增大而减小，B错误，不符合题意． C． ，，图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意． D． 的图象向上平移个单位长度得到，不是，D错误，不符合题意． 5．A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 6．D 【分析】首先确定线段的中点的坐标，设平移后直线的表达式为，然后将代入求解即可． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为， 由题意，可设平移后直线的表达式为， 将代入中， 可得，解得． 7．C 【详解】解：∵是二元一次方程 的一组解 ∴将代入方程得 解得 ∴一次函数解析式为 ∵， ∴一次函数的图象经过第一、第二、第四象限 ∴图象不经过第三象限 8．C 【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点． 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标规律、一次函数．掌握图形规律题的常见类型，如差不变、比不变、周期等；能够结合图形，最终把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 9． 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 10．（答案不唯一） 【分析】设所求函数为一次函数，根据一次函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式，答案不唯一． 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为． 时，随的增大而增大， ． 令，可得函数为． 将点代入得，解得． 因此符合条件的函数表达式可以为（答案不唯一）． 11． 【分析】将一次函数解析式整理为关于的等式，根据无论取何值等式恒成立，令的系数为零，即可求解得到定点坐标． 【详解】解：对进行整理得， ∵无论取何值，等式恒成立， ∴令， 解得， 将代入解析式，得 因此该定点坐标为． 故答案为：． 12．5 【分析】先根据两直线平行，斜率相等求出的值，再将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为． ∵直线经过点， ∴将，代入解析式，得： ， 解得． 13． 【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：由函数的图象向左平移个单位长度，根据平移规律得新函数表达式为 化简得 ． 14．2或/或2 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，确定区间内最大值的位置，列方程求解即可. 【详解】解：函数 是一次函数，则， 当 时，一次函数 随 增大而增大， 当时，函数最大值取在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件； 当 时，一次函数 随 增大而减小， 当时，函数最大值在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件. 15． 【详解】解：∵直线过，两点， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴解为． 16． 7 【分析】根据正方形的性质得出相等的边，根据一次函数得出各正方形的边长，得出规律求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； ∴， ∴点的横坐标是； ∴点的横坐标是． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入表达式即可求解． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得， ∴x的值为． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数，当时，；当时， ∴ 解得：， 解析式： （2）令，即 解得： ∴该直线与x轴的交点坐标为 19．(1) (2)或或 【分析】（1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当函数过时，，然后分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入上式，得：，解得：， ∴； （2）解：当时，， 则当函数过时，， 当时，两个函数图象交点在直线的右侧； 当时，直线与直线平行， 当且时，两个函数图象交点在直线的右侧； ∴m的取值范围为：或或． 20．(1)12，8 (2) 【分析】（1）根据表格可得弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加，由此计算即可得出结果； （2）由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数，设，利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得：弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加， 当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是； （2）解：由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数， 设， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式为． 21．(1)5，300 (2) (3)或或 【分析】（1）设甲，乙两车从A地去B地时，乙车的速度，则甲车的速度，根据甲乙两车所需时间相等列出分式方程，求出解得出两车的速度，进而得出答案； （2）先求出点，点，再将两个点的坐标代入关系式为，求出解即可； （3）分三种情况：当甲，乙两车从A地出发，甲车到达B地之前，两车相距，列出方程求出解即可；当甲车到达B地后，两车继续行驶，两车相距，列出方程求出解；当两车相遇后，乙车返回A地，两车相距，先求出返回时乙车的速度，再列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：设甲，乙两车从A地去B地时，乙车的速度，则甲车的速度，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以， 则甲，乙两车从A地去B地时，乙车的速度，甲车的速度， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，可知甲车返回时的速度是， ∴， ∴点． 设乙车返回A地时y与x的关系式为，将点代入，得 ， 解得， 所以关系式为； （3）解：当时间为或或时，两车相距． 当甲，乙两车从A地出发，甲车到达B地之前，两车相距， ， 解得， 两车行驶过程中，出发相距； 当甲车到达B地后，两车继续行驶，两车相距， ， 解得， 则， 两车行驶过程中，出发相距； 当时，，即两车相遇时距离A地， 所以返回时乙车的速度是． 当两车相遇后，乙车返回A地，两车相距， ， 解得， 则， 两车行驶过程中，出发相距． 所以当出发或或时，两车相距． 22．(1)， (2)7 (3)存在， 【分析】（1）先求出m，得到点A的坐标，再利用待定系数法求出解析式； （2）将点E，点F的坐标代入解析式，列式计算即可； （3）若的面积与的面积相等，则过点，的直线与直线平行，由此直线的解析式可设为．将代入，求出解析式，再将代入即可求出的值 【详解】（1）将点代入中，解得， 点的坐标为． 设直线的解析式为．将点代入中， 解得， ∴直线的解析式为； （2） （3）解：存在，a的值为 若的面积与的面积相等，则过点，的直线与直线平行， 则直线的解析式可设为． 将代入，解得． 将代入，解得 23．(1)全体实数； (2)见详解 (3)①；②或；③． 【详解】（1）解：函数，根据绝对值的性质可知，x的取值范围是：全体实数，y的取值范围是：； （2）解：函数的图象，如下图所示： （3）解： ①观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是； ②观察（2）中函数的图象，当时，的取值范围是或； ③可以由平移得到，如果都小于，只能向下平移，所以． 24．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）先利用求出A，B两点的坐标，然后根据点B的坐标求出的函数解析式，最后求出点C的坐标即可求解； （2）先利用函数图象平移的规律，求出平移后直线的解析式以及点M的坐标，根据求解即可； （3）由于是定值，只要满足最小即可．先作点A关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点Q，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得，所以点B的坐标为． 把代入，得，所以点A的坐标为． 把代入，得，即． 把代入，得，所以点C的坐标为． 所以线段； （2）解： 设平移后的直线与y轴交于点D，则由题意可知 直线的解析式为． 把，联立，得    解得 所以点M的坐标为． 如图1，连接，过点M作，垂足为H，则 ； （3）解：存在，，理由： 如图2，作点A关于直线的对称点，连接，与直线交于点Q， 由对称性知，周长，即此时周长最小． 故点Q满足使周长最小． 由题意可知点的坐标为． 设直线的解析式为， 把点，代入，得   解得 所以直线的解析式为． 把代入，得 ． 所以点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、用待定系数法求函数的解析式、平移、轴对称等．熟练掌握在坐标系中如何求线段的长度以及图形的面积的方法；熟悉常见的最值模型是解决问题的关键． 25．(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的长，由折叠的性质可得，则可证明，据此可证明结论； （3）分三种情况：点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点为正比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴正比例函数的表达式； （2）证明：∵， ∴； ∵点的坐标为， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：①如图，当点为直角顶点时，   ，， 过作轴于点，过作轴于点， ， ， ∵， ， 在和中 ， ， ，， 四边形是菱形， ，即轴， ∴点C的横坐标为4， ∵， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， ， ， ， ； ②如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴，， ， ； ③如图，当点为直角顶点时，    过作轴于点，过作交的延长线于点， 同理可证明， ∴， 设，则，， 又∵， ∴， ∴， ； 综上所述：点坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $