期末巅峰冲刺核心考点深度解析与压轴题精讲------实数 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------实数 一、知识框架：数的扩展 有理数​ → 无理数​ → 实数 核心矛盾：解决像这样的数“是什么”和“怎么算”的问题。 二、核心概念详解 1. 平方根与算术平方根（基础之基础） (1)算术平方根 ( a≥0)： 定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根。规定0的算术平方根是0。 核心性质：双重非负性——被开方数a≥0，结果≥0。 (2)平方根 (± a≥0)： 定义：若一个数x的平方等于a，则x是a的平方根。 核心性质：一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 关键区分：算术平方根是平方根中非负的那一个。例如，9的平方根是±3，而算术平方根是3。 2. 立方根 () 定义：若一个数x的立方等于a，则x是a的立方根。 核心性质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 与平方根对比：立方根没有“非负性”限制，且结果唯一。 3. 无理数与实数 无理数：无限不循环小数。常见三类：①开方开不尽的数（如）；②与π有关的数；③有规律但不循环的无限小数。 实数：有理数和无理数统称为实数。至此，数系从有理数扩展到实数。 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应。这是实数几何意义的基石，意味着每一个实数都可以在数轴上找到唯一对应的点，反之亦然。 三、核心运算与性质 1. 开方运算 开平方与开立方是乘方的逆运算。 重要公式： ()² = a (a≥0) ()³ = a = -a 2. 实数的运算 运算律：在实数范围内，加法、乘法的交换律、结合律、分配律依然成立。 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内。 结果处理：若运算中含无理数，结果可保留根号形式（如2+），此为精确值；若题目要求，再取近似值。 3. 实数的估算与比较 估算：将无理数平方，找到它前后两个最接近的完全平方数，确定其整数部分。例如，∵9<15<16，∴3<<4。 比较大小： 数轴法：右边的数总比左边的大。 平方法：适用于比较两个正数的大小。 作差法： 计算两数之差，判断正负。 四、贯穿始终的核心思想方法 1. 分类讨论思想：处理、绝对值时，必须根据a的符号进行讨论。 2. 数形结合思想： 利用数轴理解实数的有序性、比较大小。 利用勾股定理在数轴上表示无理数（如）。 3. 类比思想：将有理数的运算律、运算顺序、比较大小方法，类比迁移到实数运算中。 总结：学习本章，需紧扣“扩展”与“统一”两个关键词：理解数系从有理数到实数的扩展，掌握实数概念、运算及性质在更高层次上的统一。重点厘清平方根与算术平方根的区别，掌握实数与数轴的一一对应关系，并熟练进行含无理数的精确计算与估算。 1. 平方根与算术平方根 1．若，其中a，b均为整数，则______． 2．我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 3．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，． （Ⅰ）如图，若，已知点． ①连接AC，当轴时，求m的值： ②若的面积是8，求m的值： （Ⅱ）如图，若，射线BA以每秒9°的速度绕点B顺时针方向旋转至射线BA1，点M为x轴正半轴上一点，射线MO以每秒6°的速度绕点M逆时针方向旋转到MO1，设运动时间为t秒，求t为多少秒时，直线？ 5．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 2. 立方根 1．若与互为相反数，则t的值为____． 2．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 3．快递自取柜某格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，能否将该纸箱完全放入其中？为什么？ 4．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 5．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 6．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 3. 无理数与实数 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 2．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 3．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 4．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 5．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体的棱长： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的小数部分是________；的整数部分是________． 【类比应用】 (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【思维拓展】 (3)如图，已知直线，，，射线，的反向延长线交于点，若，且、分别为和的整数部分，求出的值． 6．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 4. 实数的运算与估算 1．计算：. 2．计算、在数轴上表示数并比较大小： (1)． (2)把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ． 3．已知的小数部分为，的小数部分为． (1)求的值； (2)求的值． 4．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 5．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；________． (2)若，写出满足题意的的一个整数值． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 6．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 7．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 8．小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． (1)请用上述方法估算的值． (2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 9．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，e是的整数部分，求的平方根 1. 混淆平方根与算术平方根。 1．下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 2．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 3．的平方根是（   ） A． B． C． D． 2. 误判无理数。 4．有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④0的倒数是0；⑤16的算术平方根是4．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 6．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 3. 在去绝对值或化简时，忽略a的符号。 7．已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 8．数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简 (2)若数轴有、两点分别表示数和，且有与互为相反数，求的平方根． 4.估算时范围找错。 9．已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 10．绝对值不大于的所有整数是________． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------实数 （解析版） 一、知识框架：数的扩展 有理数​ → 无理数​ → 实数 核心矛盾：解决像这样的数“是什么”和“怎么算”的问题。 二、核心概念详解 1. 平方根与算术平方根（基础之基础） (1)算术平方根 ( a≥0)： 定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根。规定0的算术平方根是0。 核心性质：双重非负性——被开方数a≥0，结果≥0。 (2)平方根 (± a≥0)： 定义：若一个数x的平方等于a，则x是a的平方根。 核心性质：一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 关键区分：算术平方根是平方根中非负的那一个。例如，9的平方根是±3，而算术平方根是3。 2. 立方根 () 定义：若一个数x的立方等于a，则x是a的立方根。 核心性质：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 与平方根对比：立方根没有“非负性”限制，且结果唯一。 3. 无理数与实数 无理数：无限不循环小数。常见三类：①开方开不尽的数（如）；②与π有关的数；③有规律但不循环的无限小数。 实数：有理数和无理数统称为实数。至此，数系从有理数扩展到实数。 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应。这是实数几何意义的基石，意味着每一个实数都可以在数轴上找到唯一对应的点，反之亦然。 三、核心运算与性质 1. 开方运算 开平方与开立方是乘方的逆运算。 重要公式： ()² = a (a≥0) ()³ = a = -a 2. 实数的运算 运算律：在实数范围内，加法、乘法的交换律、结合律、分配律依然成立。 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内。 结果处理：若运算中含无理数，结果可保留根号形式（如2+），此为精确值；若题目要求，再取近似值。 3. 实数的估算与比较 估算：将无理数平方，找到它前后两个最接近的完全平方数，确定其整数部分。例如，∵9<15<16，∴3<<4。 比较大小： 数轴法：右边的数总比左边的大。 平方法：适用于比较两个正数的大小。 作差法： 计算两数之差，判断正负。 四、贯穿始终的核心思想方法 1. 分类讨论思想：处理、绝对值时，必须根据a的符号进行讨论。 2. 数形结合思想： 利用数轴理解实数的有序性、比较大小。 利用勾股定理在数轴上表示无理数（如）。 3. 类比思想：将有理数的运算律、运算顺序、比较大小方法，类比迁移到实数运算中。 总结：学习本章，需紧扣“扩展”与“统一”两个关键词：理解数系从有理数到实数的扩展，掌握实数概念、运算及性质在更高层次上的统一。重点厘清平方根与算术平方根的区别，掌握实数与数轴的一一对应关系，并熟练进行含无理数的精确计算与估算。 1. 平方根与算术平方根 1．若，其中a，b均为整数，则______． 【答案】0，2，4 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【详解】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 2．我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】 【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键． 3．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，． （Ⅰ）如图，若，已知点． ①连接AC，当轴时，求m的值： ②若的面积是8，求m的值： （Ⅱ）如图，若，射线BA以每秒9°的速度绕点B顺时针方向旋转至射线BA1，点M为x轴正半轴上一点，射线MO以每秒6°的速度绕点M逆时针方向旋转到MO1，设运动时间为t秒，求t为多少秒时，直线？ 【答案】（Ⅰ）①；②m的值为－4或；（Ⅱ）t为2稍或14稍或26稍时，直线． 【分析】（1）①根据绝对值和二次根式的非负性可得的值，由此得点的坐标，根据可得的值； ②分两种情况：点在第二、四象限，根据的面积是8,利用三角形面积列出等式可得结论； （Ⅱ）存在三种情况：分别画图，根据平行线的性质列出等式可得对应的值． 【详解】解：（Ⅰ）①∵，，， ∴，， ∴，． ∴，． ∵轴， ∴点A的横坐标与点C的横坐标相等． ∴． ②当时，点在第二象限， i当C在AB上方时，如图，连接OC， ∵， ， ， ， ∴． ∴． ii当C在AB下方时，如图，连接OC， ∵，， ∴（舍）． 当时，点在第四象限，如图，连接OC ∵， ， ， ， ， ∴． ∴． 综上所述，m的值为－4或． （Ⅱ）①如图，过O点作， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 即． ∴． ②如图，过O点作，设直线BA1与x轴交点为F， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 即． ∴． ③如图，过O点作， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 综上所述，t为2稍或14稍或26稍时，直线． 【点睛】本题考查了三角形的综合问题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质，解题的关键是：学会利用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 5．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 2. 立方根 1．若与互为相反数，则t的值为____． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和立方根的性质，得到两个被开方数之和为，列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 2．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 3．快递自取柜某格口尺寸为，现有一个体积为的正方体纸箱，能否将该纸箱完全放入其中？为什么？ 【答案】不能将该纸箱完全放入格口中，理由见解析 【分析】本题考查了立方根、正方体体积，根据体积公式求出正方体的棱长，再和快递柜最小边长比较大小，若正方体纸箱的棱长小于或等于快递柜格口的三条边长才能放入． 【详解】解：不能将该纸箱完全放入格口中，理由如下： ， ∵， ∴不能将该纸箱完全放入格口中． 4．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 5．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 6．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 3. 无理数与实数 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 2．观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第_____数． 【答案】 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2025个数， ， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第个数， 故答案为：． 3．由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 5．【阅读理解】我们都知道，是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完整地写出来，于是有同学用来表示的小数部分，这个方法是因为，所以的整数部分是1，而对于任意一个正实数，用这个数减去它的整数部分，所得的差就是它的小数部分，所以可以用来表示的小数部分． 再比如，我们要估算一个体积为的正方体的棱长： ，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据上面问题的思路与方法，解决下列问题： (1)的小数部分是________；的整数部分是________． 【类比应用】 (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【思维拓展】 (3)如图，已知直线，，，射线，的反向延长线交于点，若，且、分别为和的整数部分，求出的值． 【答案】(1)，3 (2)0 (3)3 【分析】（1）根据[阅读理解]的方法求解即可； （2）根据[阅读理解]的方法求出a、b的值，然后代入计算即可； （3）同（1）求出，，则，设，，则，，如图，过F作，过C作，根据平行线的判定与性质可得出，，则，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是3，的小数部分是； ，即， 的整数部分为3； （2）解：，即， 的整数部分是2，的小数部分； ，即， 的整数部分， ∴； （3）解：∵x、y分别为和的整数部分， ∴同法可求，， ∵， ∴， ∵，， ∴设，，则，， 如图，过F作，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可求， ∴， 整理得， 又， ∴． 6．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 4. 实数的运算与估算 1．计算：. 【答案】 【分析】根据算术平方根定义，立方根定义，二次根式性质，乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 2．计算、在数轴上表示数并比较大小： (1)． (2)把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ． 【答案】(1) (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据平方根、立方根的计算法则化简各项，再计算减法，即可解题； （2）先化简各个数，再在数轴上表示各数，最后利用数轴比较大小即可． 解题关键在于正确掌握实数运算的基本法则． 【详解】（1）解：原式． （2）解：实数在数轴上表示如下： 它们的大小关系为． 3．已知的小数部分为，的小数部分为． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用平方数估算得到的取值范围，进而确定和的整数部分，根据小数部分原数整数部分即可得到的值； （2）将（1）中结果代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵的整数部分为， ∴， ∵的整数部分为， ∴； （2）解：将，代入得： ． 4．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 5．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；________． (2)若，写出满足题意的的一个整数值． (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是________． 【答案】(1)2，5 (2)中任意一个即可 (3)255 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴符合题意的值可以是，写出任意一个即可； （3）解：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 6．有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可； （2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可； （3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 7．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续． （1）点表示的数是______． （2）______． 【答案】 / 【分析】本题考查实数与数轴、估算无理数大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解决本题关键． （1）利用，右侧最近的整数点为求解即可； （2）根据实数与数轴的关系，逐一计算各点对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：（1）根据题意得：表示在数轴上点处， ∵右侧最近的整数点为， ∴点表示的数为2； 故答案为：； （2）∵点表示的数为，点表示的数为2 ∴ ∴ ∴ ∴点表示的数为 ∵ ∴ ∴ ∴点表示的数为3， 同理可得，，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，； ． 故答案为：． 8．小金在学习平方差公式时，得到了估算一个数的算术平方根的近似公式：（其中是与接近的完全平方数，且）其推理过程见下图． 推理过程： 若接近于，则有， ． 例如，估算的近似值，此时，取，即，则． (1)请用上述方法估算的值． (2)在估算近似值时，小金发现取6或7，所得估值都相同． ①请验证小金的发现． ②求取13或14时，所得近似值相同的无理数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意，估算的近似值，此时，取，即，代入求值即可； （2）①或7，分别代入求值即可； ②根据题意或14，代入然后列方程即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得此时，取，即， ； （2）①解：当，时， ； 当，时， ； 所以小金的发现正确； ②解：当时， ； 当时， ； ∴ 解得， ． 9．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为． (1)实数m的值是________； (2)求的值． (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，e是的整数部分，求的平方根 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式，直接右边的数减去距离即得左边的数； （2）代入m求值即可； （3）根据非负数的性质，求得c，d的值，根据无理数的估算，求出e的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，则点A所表示的数为． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∵17的平方根是， ∴的平方根是． 1. 混淆平方根与算术平方根。 1．下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 2．以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【详解】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 3．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 的平方根是， 故选D． 2. 误判无理数。 4．有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④0的倒数是0；⑤16的算术平方根是4．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据无理数、有理数、立方根、倒数和算术平方根的定义逐一判断每个说法即可求解． 【详解】解：①带根号的数是无理数，错误，例如是有理数； ②不带根号的数一定是有理数，错误，例如是无理数； ③负数没有立方根，错误，负数有立方根，例如； ④的倒数是，错误，没有倒数； ⑤的算术平方根是，正确； 综上，正确的说法共有个． 5．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 6．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 3. 在去绝对值或化简时，忽略a的符号。 7．已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 8．数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简 (2)若数轴有、两点分别表示数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可； （2）先根据非负性的性质求得，再求得代数式的值，最后求平方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，则， ． （2）解：∵与 互为相反数， 又∵， 均为非负数， ∴且，即， ∴， ∴的平方根为． 4.估算时范围找错。 9．已知（其中为相邻的两个正整数），则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，确定出最接近它的正整数和，再代入计算的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，为相邻的两个正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．绝对值不大于的所有整数是________． 【答案】，，1， 0， 1， 2 【分析】根据绝对值的意义，找出所有整数满足绝对值不大于 ，需计算 的近似值以确定整数范围． 本题考查了无理数的估算，绝对值，不等式的性质，熟练掌握估算是解题的关键． 【详解】解：由得， 故， 故； 由于即， 故的整数部分为为2， 故绝对值不大于的整数为绝对值小于或等于2的整数，即， 故答案为：． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $